2015年天津高考数学试题及图片答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合

为

（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 （2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥??-+≥??+-≤?

，则目标函数6z x y =+的最大值为

（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18

（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的

（A ）充分而不必要条件

（B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52

（6）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的 一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为

（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22

143

x y -= （7）已知定义在R 上的函数()2

1x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，

则,,a b c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << （8）已知函数()()22,2,2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是

（A ）7,4??+∞ ??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24?? ???

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积

为 3

m .

（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ??- ??

? 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?

的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .

（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o

,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ

==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ?u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π?

?=-- ???

，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34

p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.

17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =

,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.

(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；

(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13

，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且

233445,,a a a a a a +++成等差数列.

(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；

(II)设*2221

log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b

>>的左焦点为F -c （,0）,

离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4

22

+4b x y =截得的线段的长为c

，. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；

(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.

20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.

(I)讨论()f x 的单调性；

(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；

(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n <+-