射影几何观点在初等几何中的应用

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(COVER)

课程名称（Subject）：高等几何

编号(No.)：

系别(Department): 信息科学系

专业(Major)：数学与应用数学

姓名(Name)：

学号(Student’s Number)：

注意事项（Notes）

1.考生需按题签将上述有关项目填写清楚

2.字迹要清楚，保持卷面清洁。

3.交卷时请将本答卷和题签一起上交，题签作为封面下一页装订。

1、Candidates should fill in the information appropriately.

2、Keep the handwriting clear and the paper tidy.

3、Candidate should hand in this cover and paper together; the answer sheet should be attached to the cover.

摘要

射影几何在初等几何中的应用是十分广泛的。

射影几何是研究射影性质和射影不变量的几何。如同素性，结合性，交比等。

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。

射影几何最重要的应用是在对初等几何数学的指导，它不仅表现在提高数学思想与观念上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何的性质，指导研究初等几何中的一些问题。

本文就简单介绍了仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比、线束中四条直线的交比在初等几何中的应用。

射影几何观点在初等几何中的应用

摘要：射影几何在初等几何中的应用是十分广泛的。射影几何是研究射影性质和射影不

变量的几何。如同素性，结合性，交比等。本文就简单介绍了仿射变换、笛沙格定理、点列中

四点的交比、线束中四条直线的交比在初等几何中的应用。

关键词：射影几何；仿射变换；笛沙格定理；交比；应用。

一、仿射变换的应用 在初等几何中有大量的命题是离不开图形仿射性质的，即只涉及图形的仿射性质，并不涉及距离、角度等概念。对于这类命题，我们可以充分运用仿射变换的性质化繁为简，转难为易，达到事半功倍的效果。

如果我们把要研究某个图形F 的仿射性质，常根据已知条件或条件的一部分作出图形F 的比

较特殊、性质显而易见的仿射等价图形'F ，转而研究'

F 上的对应性质，然后根据命题的条件变换为所要研究的图形F 的性质。也就是往往先在特殊的仿射等价图形中进行研究，然后再推广到一般图形。如圆和椭圆仿射等价，若要研究椭圆的某个性质，可先研究所具有的某个性质（仿射性质），然后再推广到椭圆上去。

在初等几何中应用仿射变换，是由特殊到一般的研究方法的一个范例。

例1 平行于平行四边形ABCD 的对角线AC 作一直线与,AB BC 相交于,E F 。

求证：AED CDF S S ??=。

证明：如图1所示，设正方形''''A B C D 经过一个仿射变换T 得到ABCD ,即 正方形''''T

A B C D ABCD ??→

图1

由于T 保持平行性，结合性，所以

''',,D E E F F D →→→

且

''F E //''AC

而在正方形''''

A B C D 中 ''''''A E D C D F ?

所以有

''''''A E D C D F S S =

因为两三角形的面积之比是仿射不变量，则有

'''

'''=A E D AED CDF

C D F S S S S 所以 AED CDF S S ??=

二、笛沙格定理的应用

笛沙格定理是射影几何的理论基础，它的应用很广，许多定理以它为依据。

定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形。平面内不共点的三直

线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性。

笛沙格定理 如果两个三点形对应顶点连线交于一点，则对应边的交点在同一直线上。

笛沙格定理的逆定理 如果两个三点形对应边的交点在同一直线上，则对应顶点的连线交于一

点。

定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点，且对应边的交点共线，则两三点形构成透视关

系。对应顶点连线的交点叫做透视中心，对应边交点所在的直线叫做透视轴。

例2 如图2所示，过三角形ABC 的三个顶点，任作三条直线,,AD BE CF ，分别与对边交

于,,,F E D 且CF BE AD ,,共点.求证：若EF BC X ?=, FD CA Y ?=, DE AB Z ?=,则Z Y X ,,三点共线。

证明 在三点形ABC 和DEF 中，因为对应顶点的连线CF BE AD ,,共点。有笛沙格定理知，

其对应边的交点共线，即有Z Y X ,,共线。

图2

三、点列中四点的交比

定义1 共线四点,,,A B C D 的交比定义为两个单比()ABC 与()ABD 的比，记为

()(,)()

ABC AB CD ABD = 其中A ，B 两点称为基点，C ，D 两点称为分点。

根据交比的定义有()(,)()AC

ABC AC BD BC AB CD AD ABD BC AD

BD

?===? 不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。

定理1 两基点与分点交换，交比的值不变。即

(,)(,)CD AB AB CD =

定理2 只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数。即

1(,)(,)(,)

BA CD AB DC AB CD == 定理 3 交换(,)AB CD 中间两字母顺序或交换两端字母顺序所得的交比值与原来交比值和为

常数1，即

(,)(,)1(,)AC BD DB CA AB CD ==-

定理 4 一直线上的无穷远点分其上的任何亮点的单比等于1.

定理 5 已知两个不同的普通点(),(),()A a B b P a tb +为直线AB 上一点，且()ABP λ=，则 33

b t a λ=- 。 推论 1 若共线四点为12(),(),(),()A a B b C a t b D a t b =+，则

12

(,)t AB CD t =

其中 1212()0t t t t -≠

推论 2 若共线四点,,,A B C D 的坐标分别为1234,,,a t b a t b a t b a t b ++++，

则

13242314()()(,)()()

t t t t AB CD t t t t --=-- 其中1234,,,t t t t 互不相等。

在共线四点的交比中，交比值为-1的情况十分重要，若(,)1AB CD =-，则称,C D 调和分离,A B ，或称,A B 与,C D 调和共轭。交比值-1叫做调和比。

例3 设(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1)A B D -为共线三点，且(,)2AB CD =,求点C 的坐标。 解 设

12,C A t B D A t B =+=+

代入坐标可得 21t = 由12

(,)2t AB CD t ==得 12t =

所以2C A B =+,即点C 坐标为(3,1,3)-

四、线束中四条直线的交比的应用

定义 1 若,,,a b c d 为线束S 中的四条直线，则

),sin(),sin(),sin(),sin()()(),(d a c b d b c a abd abc cd ab ==

叫做,,,a b c d 的交比，其中,a b 叫基线，,c d 叫做分线。

定理1 若线束S 中的四条直线,,,a b c d 被任意一直线s 截于,,,A B C D 四点，则

(,)(,)AB CD ab cd =

与点列交比像是，可以得到线束交比的性质，共点四直线的交比也有24个交比值，分为六类，每类中四个交比值相等.

定理2 若12,,,a b a t b a t b ++为四条不同的普通共点直线(1,2,3,4)i l i =的齐次坐标，则 112342

(,)t l l l l t = 1212()0t t t t -≠

定理3 交比经中心射影后不变，即交比为射影性质。

例4 ABC ?中ABC ∠的内、外角分线,AM AN 交BC 于,M N 。求证：

BM BN MC CN

=.。 证明 如图3，记直线,,,AB AC AM AN ，分别为,,,a b c d 则

1),sin(),sin(),sin(),sin(),(-=??=

d a c b d b c a cd ab

由定理1得 (,)(,)ab cd BC MN =

所以

1),(-=??=

BN CM CN BM MN BC

即

CN BN MC BM =

得证。

通过仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比和线束中四条直线的交比在初等几何中的应用，可以看出，射影几何观点在初等几何中的应用是十分广泛的。

参考文献：1.朱德祥.《高等几何》.北京.教育出版社.1983

2.李修昌.《高等几何》.哈尔滨.工业大学出版社.2008

3.钟集.《高等几何》.北京.高等教育出版社.1983