2020年黑龙江省龙东地区中考数学试题及答案

黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试

数学试题

考生注意：

1．考试时间120分钟

2．全卷共三道大题，总分120分

一、选择题（每题3分，满分30分）

1．下列各运算中，计算正确的是（ ） A ．224

22a a a ?=

B ．824

x x x ÷= C ．2

2

2

()x y x xy y -=-+

D ．(

)

3

2639x

x -=-

2．下列图标中是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）

主视图 左视图 A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

4．一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5（x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是（ ） A ．3.6

B ．3.8或3.2

C ．3.6或3.4

D ．3.6或3.2

5．已知关于x 的一元二次方程2

2

(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1

4

k <

B ．14

k ≤

C ．4k >

D ．1

4

k ≤

且0k ≠ 6．如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k

y x

=

的图象上，对角线AC ，BD

的交点恰好是坐标原点O ，已知()1,1B -，120ABC ∠=?，则k 的值是（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

7．已知关于x 的分式方程

422x k x x

-=--的解为正数，则x 的取值范围是（ ） A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠- C ．8k >-且2k ≠- D ．4k <且2k ≠- 8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为（ ）

A ．4

B ．8

C D ．6

9．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、

C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个

且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．12种

B ．15种

C ．16种

D ．14种

10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），

45DAM ∠=?，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，

连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：

①45ECF ∠=?；②AEG ?的周长为12a ?+ ??

；③222

BE DG EG +=；④EAF ?的面积的最大值是2

1

8

a ；⑤当1

3

BE a =

时，G 是线段AD 的中点．

其中正确的结论是（ ）

A ．①②③

B ．②④⑤

C ．①③④

D ．①④⑤

二、填空题（每题3分，满分30分）

11．5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为______． 12．在函数

y =

x 的取值范围是______． 13．如图，Rt ABC ?和Rt EDF ?中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt ABC ?和Rt EDF ?全等．

14．一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为______．

15．若关于x 的一元一次不等式组10

20x x a ->??-

有2个整数解，则a 的取值范围是______．

16．如图，AD 是ABC ?的外接圆

O 的直径，若40BAD ∠=?，则ACB ∠=______?．

17．小明在手工制作课上，用面积为2

150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥

侧面，则这个圆锥的底面半径为______cm ．

18．如图，在边长为4的正方形ABCD 中将ABD ?沿射线BD 平移，得到EGF ?，连接EC 、

GC ．求EC GC +的最小值为______．

19．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3

5

BE a =

，连接AE ，将ABE ?沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为______． 20．如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点

1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为

()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA

于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，

，则点2020B 的坐标______．

三、解答题（满分60分）

21．先化简，再求值：22

169211x x x x x -++??-÷ ?+-?

?，其中3tan303x =?-． 22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，

ABC ?的三个顶点()5,2A 、()5,5B 、()1,1C 均在格点上

（1）将ABC ?向左平移5个单位得到111A B C ?，并写出点1A 的坐标；

（2）画出111A B C ?绕点1C 顺时针旋转90?后得到的221A B C ?，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求111A B C ?在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

23．如图，已知二次函数2

y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于

点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．

24．为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；

（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；

（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

25．为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求ME 的函数解析式；

（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

26．如图①，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．

图① 图② 图③

（1）BE 与MN 的数量关系是______．

（2）将DEC ?绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？

写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

27．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m ，n 的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克，求有哪几种购买方案

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．

28．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是方程2

3180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=?，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从点B 以每秒2个单

位长度的速度沿BD 方向匀速运动到点D 为止；点M 沿线段DA 个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒

()0t >

（1）线段CN =______；

（2）连接PM 和MN ，求PMN ?的面积s 与运动时间t 的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当PMN ?是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1-5：ABBCB

6-10：CBADD

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11．8

310?

12．2x > 13．AB ED =（BC DF =或

AC EF =或AE CF =等）

14．

25

15．68a <≤ 16．50 17．10

18．19 20．(

)2020

202023

1,3?-

三、解答题

21．解：原式2

221(1)(1)

1(3)x x x x x x +-++-=

?++

1

3

x x -=

+

当3tan 3033x =?-=时，

原式=

=

22．（1）画出正确的图形

()10,2A

（2）画出正确的图形

()23,3A --

（3）

4BC ==

211

s 348642

ππ∴=+??=+

23．解：（1）由题意得：

(1)(3)y x x =-+- 223x x =-++

∴抛物线的解析式为223y x x =-++ 1(2,3)P ∴，2(4,5)P -

24．（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少为

604801310019120714051602

100.89950

?+?+?+?+?+?=>

∴超过全校的平均数．

（2）该生跳绳成绩所在范围为100~120 （3）该班跳绳超过全校平均数的概率是

1975233

5050

+++=

25．解：（1）设ME 的解析式y kx b =+()0k ≠经过()0,50，()3,200

50

3200b k b =??

+=? 50

50

b k =??

=? ME ∴的解析式为5050y x =+

()03x ≤≤

（2）设BC 的解析式y mx n =+经过()4,0，()6,200

40

6200

m n m n +=??

+=? 100

400

m n =??

=-? 100400y x =-

设FG 的解析式y px q =+经过()5,200，()9,0

5200

90p q p q +=??

+=? 50

450

p q =-??

=? 50450y x =-+

10040050450y x y x =-??

=-+?

得17

3x h = 同理得7x h =

答：货车返回时与快递车途中相遇的时间17

3

h ，7h （3）100km

26．（1）BE =

（2）图（2）：BE =图（3）：BE =

证明：如图（2）

连接AD ，延长BE 交AD 于H ，交AC 于G

90ACB DCE ∠=∠=? DCA ECB ∴∠=∠ DC EC =，AC BC = ACD BCE ∴???

CAD CBE ∴∠=∠，BE AD = AGH CGE ∠=∠

90CAD AGH CBE CGE ∴∠+∠=∠+∠=?

90AHB ∴∠=?

P 、M 、N 分别是AB 、AE 、BD 的中点

//PN AD ∴，12

PN AD =

//PM BE ，12

PM BE = PM PN ∴=

190MPN AHB ∠=∠=∠=? PMN ∴?是等腰直角三角形

MN ∴=

2BE PM ∴==

图②

27．解：（1）由题意得

1520430

108212

m n m n +=??

+=? 解得10

14m n =??

=?

答：m 、n 的值分别为10和14 （2）根据题意1014(100)1160

1014(100)1168

x x x x +-≥??

+-≤?

解得：5860x ≤≤， 因为x 是整数

所以x 为58、59、60 共3种方案分别为

方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克， 方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克 方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克

（3）方案一的利润为516元，方案二的利润为518元，方案三的利润为520元

∴利润最大值为520元，甲售出60kg ，乙售出40kg

(16102)60(1814)40

20%1160

a a --?+--?≥

解得： 1.8a ≤ 答：a 的最大值为1.8

28、解：（1）（2）

四边形ABCD 是矩形

90DCB ∴∠=? 6CD AB ==

30DCN DBC ∴∠=∠=?

1

32

DN CD ∴==

过N 作NG AD ⊥于G ，则1322

NG DN =

=

2

DG ==

2BP t =

DM =

PQ t ∴=

当9

02

t <≤

时，

2113(6)22224

s t =?--?=-+

当

9

62

t <≤时，

2131(6)22224

s t t =?--=-

22902962t s t ???<≤? ?

???∴=??

-<≤ ???? （3

）(

)1P

273P ?

????