高数一
高数（一）复习题
一、选择题
1、设f(x)的定义域是[-1，1]，则f(2x)的定义域是（ C ） （A ）[-1，1]； （B ）[-2，2]； （C ）]2
1,21[-； （D ）]2
1,1[-。
2、设函数f(x)与g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是（ A ） （A ）偶函数； （B ）奇函数；
（C ）非奇偶函数； （D ）可能是奇函数也可能是偶函数。 3、函数f(x)=2x +2-x 是（ A ）
（A ）偶函数； （B ）奇函数；
（C ）非奇非偶函数； （D ）既是奇函数又是偶函数。 4、若f(x)=x 2-1,g(x)=x+1,则f(g(x))=（ C ） （A ）x 2-1; （B ）x 4+1; （C ）x 2+2x （D ）x 2+x 。
5、函数y=1
1
+-x x e e 是（ B ）
（A ）偶涵数； （B ）奇函数；
（C ）非奇非偶函数； （D ）既是奇函数又是偶函数。
6、若f(x)=
=-=+-))((,1)(,11x g f x x g x x
则（ B ） （A ）x x +12； （B ）x
x
-2；
（C ）x; （D ）x
x
+1。
7、当x →0时，涵数sinx 是x 2的（ C ） （A ）高阶无穷小量； （B ）等价无穷小量；
（C ）低价无穷小量； （D ）同阶穷小量。 8、下列说法正确的是（ B ） （A ）无穷大量可能是有界变量； （B ）无穷大量一定不是有界变量； （C ）有界变量可能是无穷大量； （D ）不是有界变量就一定是无穷大量。 9、lim(x1)sin =-x
11
（ A ） （A ）1； （B ）0； （C ）-1； （D ）极限不存在。 10、如果limf(x)与limf(x)存在，则（ C ） （A ）limf(x)存在且limf(x)=f(x 0);
（B ）limf(x)存在，但不一定有limf(x)=f(x 0); （C ）limf(x)不一定存在;
（D ）limf(x)一定不存在;
11、设limf(x)存在，则下列极限一定存在的是（ B ） （A ）limf(x)[f(x)]a (a 为实数)；
（B ）lim|f(x)|;
（C ）limf In f(x);
（D ）lim arcsin f(x)。
12、下列函数中x →0时是无穷小量的是（ C ） （A ）e -x ; （B ）
2
1
x -； （C ）ln(1+x); （D ）In|x|。 13、设limx n 存在，而limy n 不存在，则（ A ）
（A ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )一定都不存在；
+
→x
x
1→x
-→x
x
0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。
0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。
0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。
0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。 0x x →错误！未找到引用源。
∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。
∞→n 错误！未找到引用源。
（B ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )一定都存在；
（C ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )中前一个存在，而后一个不存在； （D ）lim(x n +y n )及lim(x n -y n )中前一个不存在，而后一个存在。 14、设f(x)在x=x 0处连续，则下列函数中在x=x 0处不一定连续的是（ C ）
（A ）|f(x)|; （B ）f 2(x); （C ）f(f(x)); （D ）e f(x)。
15、如果u,v 都是x 的二阶可导函数，则(uv)"=（ C ） （A ）u"v=uv" （B ）u"v'=u'v" （C ）u"v=2u'v'=uv"; （D ）u'v=2u'v'=uv'。 二、填空题
1、函数y=x x -的定义域是1≥x 。
2、lim 3622
7422-++-n n n n = 2 。
3、已知lim
x ax
sin =2，则a= 2 。 4、曲线y=x 3-3x+1的拐点是 x=0 。 5、设y=xe x ，则y"= (2+x)e x 。 6、设y=lnx+3在[2，5]上的最大值是35ln +。 7、dx x
x )1213(
22-++?= 3arctanx+2arcsinx+c 。 8、?-dx e x x ||311= 0 。
9、设z=x 2y 2，则dz= 2xy 2dx+2x 2ydy 。
10、微分方程xy 1=21y -的通解是 y=sin(lnx+c) 。
∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。
∞→n 错误！未找到引用源。
0→x 错误！未找到引用源。
11、函数y=arccos
2
11
x +的定义域是R x ∈。 12、lim 3622
7432-++-n n n n = 0 。
13、f(x)=x-ln(1+x)在[0，1]上满足拉格朗日定理的ξ=
2
ln 2
ln 1-。 14、若f'(x 0)=2，则lim =--h
x f h x f )
(3(00 -6 。 15、lim x x 2tan = 2
1 。 16、?-xdx x sin 211 0 。 17、?
=dx x
x 2
c x +25
52
。
18、设z=x 2y-xy 2，则dz= (2xy-y)dx+(x 2-2xy)dy 。 19、微分方程x(1+y 2)dx=y(1+x 2)dy 的通解是 。 20、函数y=ln(1+x)的反函数是 y=e y -1 。 21、lim （n n -+1）= 0 。
22、已知lim (1+ax)x
1=e 2，则a= 2 。
23、曲线y=x+e x 在x=1处的切线方程是 。 24、若f'(x)=2，则lim
h
x f h x f )
()(00--= -2 。
25、设y=(x-1)2+3的极小值是 3 。 26、?xdx 2tan = 。
27、?dx x
220
= 。 28、设z=x 2y ，则dz= 。
30、函数y=ln(1-x)+2+x 的定义域是 。
∞→n 错误！未找到引用源。
0→h 错误！未找到引用源。 0→x 错误！未找到引用源。 ∞→n 错误！未找到引用源。
0→x 错误！未找到引用源。
0→h 错误！未找到引用源。
三、计算题（极限）
1、求极限lim(1+x 3)x-1
2、求极限lim x
x
4tan 3sin
3、求极限lim(12+-x x )x
4、lim x
x
2sin 4tan
四、计算题（导数与微分）
1、设y=5x 4-3x+x 1
，求y"
2、设y=3x 2+3x-x
1
，求dy
3、设y=2
15x
x
+求dy 4、设y=(3x 4+4x)7-2x 2，求y' 五、计算题（积分） 1、求不定积分?-dx x 5
2)32( 2、求不定积分?+dx x x 522
)12(
3、求不定积分?dx x
x 1)(ln 2 4、求不定积分?xdx x arcsin 5、求定积分?+dx x
1141
6、求定积分?
-∏
xdx x 3sin sin 0
7、求定积分?dx x
31271
8、求定积分?
-dx e x
10
2ln 六、计算题（偏导数）
1、求函数z=(1+3y)4x 对x 和y 的偏导数。
∞→x 错误！未找到引用源。 0→x 错误！未找到引用源。 ∞→x 错误！未找到引用源。
0→x 错误！未找到引用源。
2、求函数z=tan
x
y对x和y的偏导数。
3、求函数z=x2y+y2x对x和y的偏导数。
4、求函数z=x2
2y
x+对x和y的偏导数。
七、计算题（重积分）
1、求函数??
D
ydxdy
x2
3，共中D由直线y=1-x,y=x-1,x=0围成的区域。
2、求??
D
xydxdy，其中D由直线x=0,y=2,y=x围成的区域。
3、求函数z=??+
D
dxdy y
x)
cos(，其中D由直线x=0,y=x,y=∏围成的区域。
4、求函数z=??
D
dxdy
x2，其中D由曲线xy=2和直线y=x-1,y=x+1围成
的区域。
八、计算题。
1、求由曲线求由曲线y=x(x-1)(x-2)和x轴所围成的平面区域的面积。
2、y2=x+2和直线x-y=0所围成的平面区域的面积。
高数（一）复习答案
三、计算题 （一）类：求极限： 1、lim(1+x 3)x-1
解：原式= lim x
x x x
)
1(33)
31(-?
?+
= lim x
x e
)1(3- =e 3
2、lim
x
x
4tan 3sin
解： 原式 =x
x x x x x x 44tan 433sin 3lim 0
→ =43
3、lim(12+-x x )
x
解：原式=x
x x x )131(
lim +-+∞
→ =x
x x )1
31(lim +-+
∞
→ =1
331)131(lim +?-?+-+-+
∞
→x x
x x x =e -3 4、)11(
lim 1
tnx
x x x --→ 解：原式=)0
(/)1(1lim
1
x x tnx x tnx x x -++-?→
∞→x 错误！未找到引用源。
0→x 错误！未找到引用源。 ∞→x 错误！未找到引用源。
∞→x 错误！未找到引用源。
=)0
(/)1(11lim
1
x x tnx tnx x -+-+→
=21
1lim
1
-+→x x
x x
=21
5、lim x
x
2sin 4tan
解：原式=x x x x x
x 22sin 24tan 4
=x
x
24
=2 （二）类，求导： 1、y=5x 4__3x+x
1，求y 解：y=(5x 4__3x+x
1)1 =20x 3__3 __x -2
2、设y=3x 2+3x __x 1，求dy
解：y'=(3x 2+3x __x
1
)'
=6x+3+x -2
dy=(6x+3+x -2)dx 3、设y=
2
15x
x
+，求dy 解：y'=2
2'
22)1()1(5)1()5(x x x x x x ++?-+? =2
22)1()
20(5)1(5x x x x ++?-+?
0→x 错误！未找到引用源。
=-+-+2
22
2)1(1055x x x =2
22)
1(5
5x x ++- 4、设y=(3x 4+4x)7-2x 2，求y' 解：y'=[(3x 4+4x)7-2x 2]' =7(3x 4+4x)6(12x 3+4)-4x （三）类，不定积分 1、?-dx x 5
2)32(
解：原式=-?+-)23()32(5
2x d x
=c x +-?-57)32(7
5
2、?+dx x x 5
22
)12(
解：原式=?+252
2)12(2
1
dx x
=)12()12(2
1
21252
2++??x d x
=c x c x ++=++?75
275
2)12(28
5
)12(7541
3、?dx x
x 1)(ln 2 解：原式=x d x ln )(ln 2? =3)(ln 3
1x ? 4、?
-dx x
x
1 解：原式=?
?---=----dx x
dx x x )11
1(111 =-ln|1-x|-x+c
5、?xdx x arcsin 解：原式
=???--=-?=dx x x x x x d x x x xdx 2
22222
121arcsin 21arcsin 21arcsin 2arcsin 21 =??---?+?=---+?dx x
x x x dx x x x x 22222211121arcsin 2111121arcsin 21 =?-+
-?dx x x x x 2
212
1arcsin 21arcsin 21 =c x x x x x x ++-+-?arcsin 21
21arcsin 21arcsin 2122 =c x x x x x +--+?4
arcsin 41arcsin 2122 （四）类：定积分 1、?+dx x
114
1
解：设x=dt dx x x x 22=?=?
原式=[]
???+-=+-=+-+=+2
12121212
1||)1|(|21112111212t tn x dt t
dt t t dt x x =[]3
2
222312tn tn tn -=+-
2、?-∏dx x x 3
sin sin 解：原式 =??
?
?∏∏∏∏∏
-?=?=-dx xd dx x x x x cos sin cos sin |cos |)sin 1(sin 2
2
1
2/0
02
=??∏∏∏
-x xd x xd sin sin sin sin 2
12
/2
120
=
4、dx e x ?-12
ln 0
解：全x=dt t
t
dx x x e x 2
212)1ln(1+=
+=?-
原式=?
??+-?=+-+?=+?dt t
dt x x dt t t x 21022
10210
1112111212 =2
2)04(
22|2|21
010∏
-=-∏-=?-arctamx t 5、?-dx x 2
101
解：全x=sin2 则dx=cosd2
原式=??????==+=?????
∏
∏∏∏
2222cos 212)12(cos 2122cos 202
0202
2
d d d d d
=4
)02()00(21[21]||)2(sin 21[212
2
00∏=-∏+-=+∏∏θθ 6、?
+dx x x 2
2
1
1 解：原式=?
?-=+-=+-+1
010*******
|arctan |111111x x dx x
dx x x =41041∏-=??
?
?
??-∏-
7、?-dx x 22
4 解：设2sin 2?=x 22cos 2d dx ?= 原式=2222cos 20
d s co ???∏
=?∏?22cos 2220d （解法同T5） 8、dx x x )3(2311-?-
解：原式=??-=-=----2)|(0311*******x dx x dx x
9、?+dx x
x 14
解：全tdx dx x x x x 22=?=?=
原式=?
??+++-=?=?++dt t
x t dt tdt t t x )1111(2)(22212
20122020
=?++-?dt t
x )11
1(22
=2
20202||1|ln |2|t t x ++- =4-4+ln3=ln3 （五）类：求编导 1、Z=（1+3y ）4x ，求x z 22，y
z
22 解：
1414)31(123,)31(422--+?=+?=x x y x y x y
z
4)31ln()31(224?+?+=y y x
z
x 2、y z x z x
y
z 2222,,tan 求=
解：
)sec()(cos 1
22212
x y x y x y x
y x
z x ?-=?= )(sec 1)()(sec )(tan 222121x
y x x y x y x y y z y y ?=?== 3、1
122y x x y ，z z ，y x z 求+=
解：
y y x y x y y yx x
z x y x x y ln 22)2(ln 22221
21212?+?=?+=-- x x y
x z y x y ln 2221
21?+?=- 4、1
122y x ，z z ，y x x z 求+?=
解：2
2
222222
2
1221(y
x x y x y
x x
x y x x z y
++
+=+??++=
21
)()(121)(221222
21
221-+?=+?+=
+=y x xy y x y x x y x x z y y y 5、1
1)(ln y y xy ，z z ，y z 求=
解：[])ln(ln )
(ln )()ln(ln ln )(ln 11
1y y y xy y y y z xy
x xy x xy x ??=??== ∵)ln(ln )ln(ln )(ln y xy xy y xy e e y ?== ∴[][]1)ln(ln 1
)(ln 1)(y y xy y y tn xy y tny xytn e e z ?==??
=（ln ）xy
??χ??????+y y ln 1)ln(ln 6、)sin(3xy xy -=Z 求1
1y x Z ?Z
解：y xy y x ?-=Z
)cos(302
x xy x y ?-=Z
)cos(322
7、x -=Z 12y3+ y
8、x =Z 2y3 求y x 22222
?
解：3
22y x x ?=?Z
2
132)2(2xy y x y x y ?=?=???Z
（六）类 1、求函数??
D 3x2dxdy ．其中D 由直线y=1-x 、y=x-1 、x=0围成
解：
ydy
x dx ydxdy x x
x D
211
1
2
33?
???
--=
=00|23(1011221
==???
--dx y s dx x
x
2、dxdy
xy D
???
0:=x d y=2 y=x
解：dx xy sydy ds ydxdy x x D
222
02
2
0|21
(?????
==
=
224|81|)212(2
0420232
=-=-=-
?
x s dx x x
（七）类：求平面图形面积
1、P302 例2
2、P303 例3 （1）证明
1、证明：2
arccos arcsin π
=
+x x
2、证明：原f （x ）=arcSinx+arccosx ∵011_
11)('2
2
=--=
x
x
x f
∴f （x ）=c 又2
0arccos 0arcsin )0(π
=+=f
即2
π
=
c ∴ 2
a r c c o s a r c s i n π
=+x x
2、证明：arctam b –arctam a ≤b-a
证明：设f （x ）=arctamx 、已知：f （r ）在（a 、b ）连续、在（a 、b ）内可导 又、f 1
)
(x =2
11x + 有f
21
)(11 += 由拉格朗的中值定理用：
2
11
+=--arctam a b arctab ≤1
即：arctam b-acrtam a=b-a
高等数学中常用的初等数学知识(第一章)
第一章 函数、极限与连续 第一节 函数及其特性 （一）集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。 我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。 如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a ?A 。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合中元素的个数 有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 （二）常量与变量 ⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 ⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示。 闭区间 a ≤x ≤b [a ，b] 开区间 a ＜x ＜b （a ，b ） 半开区间 a ＜x ≤b 或a ≤x ＜b （a ，b]或[a ，b ） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a ，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a ≤x ＜+∞； (-∞，b)：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x ＜b ； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x ＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 ⑶、邻域：00000{}(, (,) )-----x x x x x U x x δδδδδ=-<-+=一维 以为中心，以为半径的邻域 0000000{}(, )(, )------x 0(,)x x x x x x x U x δδδδδ=-<=-?+<以为中心，以为半径的空心邻域 00(),()U x U x -----0x 的某个邻域、某个空心邻域
高数习题集(附答案)
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
高等数学(上册)-第一章教案
第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。
高等数学1(理工类)第1章答案
高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）
高数公式大全(全)
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学全套公式
高等数学（1） 一、三角函数 1．公式 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系： tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系： tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2．特殊角的三角函数值 θ ) (θf 0 ) 0( 6 π ) 30 ( 4 π ) 45 ( 3 π ) 60 ( 2 π ) 90 ( θ cos 1 2/32/22/10 θ sin0 2/12/22/3 1 θ tan0 3 /1 1 3不存在θ cot不存在3 1 3 /10
高等数学第一章练习题答案
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
大一高数公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数第一章答案
第一章 函数，极限与连续 第一节 函数 一、集合与区间 1.集合 一般地说，所谓集合（或简称集）是指具有特定性质的一些事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。 由有限个元素组成的集合称为有限集。 由无穷多个元素组成的集合称为无限集。 不含任何元素的集合称为空集。 数集合也可以称为（数轴上的）点集。区间是用得较多的一类数集。 设a,b 为实数，且a0。开区间),(δδδ+-a a 称为点a 的δ邻域，记作),(δa U ，即}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U 。其中a 叫作这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。 在点a 的领域中去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作),(),(}||0|{),(),,(0 0δδδδδ+?-=<-<=a a a a a x x a U a U 即 二、函数概念 定义：设x 和y 是两个变量，若对于x 的每一个可能的取值，按照某个法则f 都有一个确定的y 的值与之对应，我们称变量y 是变量x 的函数，记为y =)(x f .这里称x 为自变量，y 为因变量。自变量x 的所以可能取值的集合称为定义域，记为D(f)；因变量y 的相
高数作业本答案(上册)
第一章 答案 习题1.1 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 5）× 6）× 7）× 8）× 2．1）不同；2）不同；3）相同；4）不同；5）不同； 3．1）],0[],4(ππ?--；2）? ?????±±=-π+π≠+∞-∞∈ 2,1,0,12),,(|k k x x x 且； 3）当]1,[21a a a -≤ 时，为,当φ时，为2 1 >a 。 4.1）13-=x y ；2）]2,2[,3arcsin 31-∈=x x y ；3）)1,0(,1log 2 ∈-=x x x y ； 4）? ??≤<-≤≤-+=10,1 1,1x x x x y . 5.? ??≠==1,01,1))((x x x g f ;1,21 ,1))((>≤???=x x x f g . 习题1.2~1.3 1． 1)(lim 0 =- →x f x ,1)(lim 0 =+ →x f x ,1)(lim 0 =→x f x ; 1)(lim 0 -=?- →x x ,1)(lim 0 =?- →x x ,)(lim 0 x x ?-→不存在. 2. 1)极限不存在；2）2 )1cot 1(arctan lim 0 π=+→x arc x x . 3. 略 习题1.4 1．判断题：1）× 2）× 3）√ 4）× 2.C ；D. 习题1.5 1.1)1；2） 21；3）21；4）21. 2. 1)41；2）)(21m n mn -；3）2 1 ；4）6. 3.1）0；2）1；3）0；4）1；5）不存在；6）1；7）0 习题1.6 1.1）1；2） 2 5 1+； 2.1）2 e ；2）4 -e 3.1）2；2） 32；3）2 2-；4）e ；5）e 1；6）6π.
大学高数常用公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学第一章1
高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ]
7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2)
A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f
高数公式大全1
高等数学公式 ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
高数1全套公式
一、三角函数 1．公式 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系： tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系： tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
高数答案(全集)第一章
第一章随机事件和概率 1某城市有三种报纸A,B,C.该城市中有60%家庭订阅A报，40%的家庭订阅B报，30% 家庭订阅C报，又知有20%的家庭同时订阅A报和B报，有10%的家庭同时订阅A报和C报，有20%的家庭同时订阅B报和C报，有5%的家庭三份报都订阅，试求该城市中有多少家庭一份报也没订。 2从0，1，2，…，9等十个数字中任选出三个不同的数字，试求下列事件的概率。①{三个数字中不含0和5}；②{三个数字中含0但不含5}；③{三个数字中不含0或5}。 3一口袋中共有5个红球2个白球，从中有放回地取2次，一次取一个球，求： ⑴第一次取得红球，第二次取得白球的概率；⑵红白球各一个的概率； ⑶第二次取得红球的概率。 在无放回的取球方式下，上述各事件的概率各是多少？ 、
概率论与数理统计作业集 2 4 在线段AD 上任取两个点B 、C ，在B 、C 处折断而得三个线段，求这三个线段能构 三角形的概率。 5 已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=1/4，P （AB ）=0，P （AC ）=P （BC ）=1/16，求事件A ，B ，C 全不发生的概率。 6 设A ，B 是两事件，且7.0)(,6.0)(==B P A P ,问： (1) 在什么条件下)(AB P 取得最大值，并求此最大值； （2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，并求此最小值。
),(B A P ? 8 已知41)(= A P ，31)(=A B P ，21)(=B A P ，求)(B A P ? 9． 已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P 求)(B A B P ?
《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
高数一全套公式
初等数学基础知识 一、三角函数 1 .公式 同角三角函数间的基本关系式： 平方关系： sin A2( a )+cos A2( a )=tan^2( a )+1= sec A2( ；cOt A2( a )+1= csc A2( a) 商的关系： tan a =sin a /cos a ot a =cos a /sin a 倒数关系： tan a? cot a; =sin a? csc a =1cos a? sec a =1 三角函数恒等变形公式： 两角和与差的三角函数： cos( a + 3 )=cos a? coin Ba? sin 3 cos( a 3 )=cos a? cos 3 +sin a? sin 3 sin( a±3 )=sin a? cos 3 土 cos a? sin 3 tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a^ tan 3) tan( a 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a? tan 3) 倍角公式： sin(2 a )=2sin a? cos a cos(2 a )=cosA2( -s)n人2( a )=2cosA2( -a=1- 2si门人2( a) tan(2 a )=2tan a #1 门人2( a )] 半角公式： sinA2( a /2X1-C0S a )/2 cosA2( a /2)=(1+cos a )/2 tan A2( a /2)=(1cos a )/(1+cos a) tan( a /2)=sin a /(1+cos ot-()os1a )/sin a 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+ta门人2( a /2)] cos a =[1-tanA2( a /2)]/[1+ta门人2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/{t1a门人2( a /2)] 积化和差公式： sin a?cos 3 =(1/2){sin(a + 3-)+s]n( a cos a?sin 3=(1/2){sin(-si a+ a))] cos a?cos 3 =(1/2){cos( a + 3 )+^$1 a
高等代数习题解答(第一章)
高等代数习题解答 第一章 多项式 补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？ 提示：比较系数得6136,,555 a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈?，2232()()()f x xg x x h x =+，证明： ()()()0f x g x h x ===． 证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ?为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈?，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ?+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ?为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===． 1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法． 由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式， 所以商q (x )必是首项系数为13 的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 q (x ) =13 x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即 x 3-3x 2 -x -1 = (13 x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-, 1123 a b -=-++, 1a c -=+ 解得 79a =- , 269b =- , 29 c =- ，故得
高数第一章答案
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1.解:⑴相等. 因为两函数的定义域相同，都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同；所以两函数相 (2)相等. 因为两函数的定义域相同，都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同，所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同，所以两函数不相等. 2.解:(1)要使函数有意义，必须 4x0 x 0 所以函数的定义域是( (2)要使函数有意义 x 3 0 lg(1 x) 0 x 4 即x 0 ,0) U(0,4] ■必须 即 所以函数的定义域是［-3,0) U (0,1). (3)要使函数有意义x2 1 0 即x 1 所以函数的定义域是( (4)要使函数有意义
1 x 0 ,1)U( 1,1)U(1, 必须 1 s i n x 1 2si nx 1 即 2 n 5 n 7 n 2k n x 2k n 2k n x 2k n 6 或6 6 必须 ,(k 为整数).
所以函数的定义域是［i k n ,6k n , k 为整数. 3. 解:由已知显然有函数的定义域为 (-s ,+x), i . i 又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sin x 可以取遍［-1,1］上所有的值,所以函数的值域为 [-1,1]. 为反函数. 1 X x 1 __y 8.解:(1)由y 「解得 1 y , 1 x 1 x 所以函数y 「的反函数为y c (x 1) . (2)由 y ln(x 2) 1 得 x e y 1 2, 所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x1 2 (x R). 也即 n k n x n k n 6 6 (k 为整数). 4.解: 1 f(0) - 1 0 1 0 f( x) 1 ( x) 1 ( x) 1, 1 x 1 0 5.解: f(x 1) (x 1) 1, 0 x 1 2 6.解: f (g(x)) 2g(x) ?xl nx 1 丄 X x 1 Fl g(f(x)) f(f(x)) g(g(x)) g(x)ln g(x) xlnxln(xln x). 7.证:由y 2x 3 1 解得x 故函数 f (x) 2 x 3 g(x) G 1 是同一个函数,所以f(x) 1 的反函数是 x 1 2 (x R) ,这与 2x 3 1 和 g(x) 1 x' 1, 0 x 1 x, 1 x 3 f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x , 2f(x) ?2x y 1 y
大一高数第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤