2019年四川凉山州中考数学试题(附详细解题分析)

2019年凉山州高中阶段教育学校招生统一考试

数学试题

A 卷（共100分）

第Ⅰ卷（选择题共48分）

{题型:1-选择题}—、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是 正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置. {题目}1.(2019年凉山州）-2的相反数是（ ▲ ） A .2 B .-2 C .21 D .2

1- {答案}A .

{解析}本题考查了相反数的定义，数a 的相反数是-a ，解析：-2的相反数是2，因此本题选A . {分值}4

{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2.(2019年凉山州）2018年凉山州生产总值约为153 300 000 000元，用科学记数法表示数153 300 000 000是 （ ▲ ）

A .1.533×109

B .1.533×1010

C .1.533×1011

D .1.533×1012

{答案}C .

{解析}本题考查了科学记数法，将一个数写成a ×10n

的形式，叫做科学记数法.其中a 是整数数位有且仅有一位的数，即a 应满足1≤|a|＜10；当原数的绝对值不小于1时，n 等于原数的整数位数减去1所得的差；当原数的绝对值小于1时，n 等于原数左起第一位非零数字前面所有0的个数的相反数.153 300 000 000用科学记数表示成：111.5310? ，因此本题选C ． {分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3.(2019年凉山州）如图，BD ∥EF , AE 与 BD 交于点 C ，∠B =30°,∠A =75°，则 ∠E 的度数为（ ▲ ）

A . 135°

B .125°

C . 115°

D .105°

{答案}D .

{解析}本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理关于外角的推论，由三角形外角的性质可知∠ACD =∠A +∠B =30°+75°=105°，∵BD ∥EF ，∴∠E =∠ACD =105°，因此本题选D ． {分值}

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:两直线平行同位角相等} {考点:三角形的外角} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}4.(2019年凉山州）下列各式正确的是（ ▲ ）

A . 2a 2

+ 3a 2

=5a 4

B .a 2

?a = a 3

C .( a 2)3

= a 5

D . a a =2

{答案}B .

{解析}本题考查了合并同类项、幂的有关运算以及二次根式的性质，A 项考查了合并同类项，正确结果应该是5a 2；B 项考查的是同底数幂的乘法，结果正确；C 项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a 10；D 项考查了二次根式的性质，结果应为|a|．因此本题选B . {分值}4

{章节:[1-2-2]整式的加减} {章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {章节:[1-16-1]二次根式} {考点:合并同类项} {考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方}

{考点:平方的算术平方根} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5.(2019年凉山州）不等式1–x ≥x -1的解集是（ ▲ ） A .x ≥1 B .x ≥-1 C .x ≤1 D .x ≤-1 {答案}C .

{解析}本题考查了一元一次不等式的解法，移项、合并同类项得22x ≥ ，∴1x ≤，因此本题选C . {分值}4

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

: 人数（人）

3

17 13 7 时间（小时） 7

8

9

10

那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ▲ ） A .17， 8.5 B .17，9 C . 8， 9 D .8， 8.5 {答案}D .

{解析}本题考查了众数和中位数的定义，由于8出现了17次，故这组数据的众数为8；而第20，21位数分别为8和9，这两个数的平均数伟8.5，所以这组数的中位为8.5.因此本题选D ． {分值}4

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．(2019年凉山州）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（▲） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 {答案}A .

{解析}本题考查了点到直线的距离、线段的基本性质、圆心角与弧的关系，垂径定理的逆命题以及命题的真假的判断等几何知识.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故命题①为假命题；两点之间线段最短为线段的基本性质，属于基本事实，故命题②为真命题；命题③漏了“在同圆或等圆中”，因而是假命题；当被平分线的弦是直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，所以命题④为假命题.因此本题选A ． {分值}4

{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明} {章节:[1-4-2]直线、射线、线段} {章节:[1-5-1-2]垂线}

{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径} {章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:垂径定理}

{考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:命题}

{考点:点到直线的距离} {考点:线段公理} {难度:3-中等难度}

{题目}8.(2019年凉山州）如图，正比例函数y =kx 与反比例函数y =

x

4

的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ▲ ） A .8 B .6 C .4 D .2

{答案}C .

{解析}本题考查了反比例函数k 的几何意义，设A 点的坐标为（m ，4m

），则C 点的坐标为（-m ，-4

m

），由双曲线的中心对称性可知，1414422ABC OBC OAB S S S m m m m ???=+=?+-?-=，因此本题选C ．

{分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数的几何意义}

{考点:反比例函数与一次函数的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．(2019年凉山州）如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos C =1

4，则 sinB 的值为（ ▲ ） A ．

10 B ．

15 C ．

6 D ．

10

{答案}D ．

{解析}本题考查了，构造直角三角形求锐角三角函数值，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cosC =1

4

，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD =224115-=，在Rt △ABD 中，AB =22(15)326+，∴sinB =

1510

26AD AB ==

，因此本题选D ． B

{分值}4

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:正弦} {考点:余弦} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10.(2019年凉山州）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ：DC = 1：2，0是BD 的中点，

连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE :EC =（ ▲ ） A . 1:2 B . 1:3 C . 1:4 D . 2:3

{答案}B .

{解析}本题考查了平行线分线段成比例，也可以用相似三角形的性质来解决.过点D 作DF ∥AE ，则

1==OD BO EF BE ,2

1

==CD AD FC EF ，∴BE :EF :FC =1：1：2，∴BE :EC =1：3.因此本题选B .

{分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:平行线分线段成比例} {考点:相似三角形的性质} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}11．(2019年凉山州）如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．

2

π B ．2π C ．

178

π

D ．

198

π

{答案}B .

{解析}本题考查了利用扇形面积求不规则图形的面积，关键在于将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转

知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S △ODB ,∴①式= S 扇形OAB - S 扇形OCD =360

3902?π-3601902

?π=2π，因此本

题选B .

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}12.(2019年凉山州）二次函数y =ax 2

+bx +c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b =0；②b 2

-4ac ＞0；③5a -2b +c ＞0； ④4b +3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

{答案}A .

{解析}本题考查了二次函数的图象性质中系数与图象的关系，以及抛物线与一元二次方程的关系.根据对称轴2

3

2-=-

a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2

-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观

察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 3

4+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.因此本题选A ． {分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:5-高难度}

第Ⅱ卷（非选择题共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

{题目}13．(2019年凉山州）方程10216x y x y +=??+=?

，

的解是 ．

13.??

?==46y x ，解析：{答案}???==4

6

y x .

{解析}本题考查了二元一次方程组的解法.把两个方程相减，得x =6，把x =6 代入x +y =10，得y =4，∴

???==46y x .故答案为?

??==46y x . {分值}4

{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组} {考点:加减消元法} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}14.(2019年凉山州）方程112

1122

=-+--x x x 解是 ▲ . {答案}x =-2.

{解析}本题考查了分式方程的解法，原方程可化为

1)

1)(1(2

112=-+---x x x x ，去分母得（2x -1）(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2，经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x =-2.故答案为x =-2． {分值}4

{章节:[1-15-3]分式方程} {考点:稍复杂的分式方程} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}15．(2019年凉山州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A =30°， CD =23，则⊙O 的半径是 ．

{答案}2.

{解析}本题考查了垂径定理，，接OC ，则OA =OC ，∴∠A =∠ACO =30°，∴∠COH =60°，∵OB ⊥CD ，CD =23，∴CH =3，∴OH =1，∴OC =2.因此本题应填：2．

{分值}4

{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}

{章节:[1-28-2-1]特殊角}

{考点:垂径定理}

{考点:解直角三角形}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}16.(2019年凉山州）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2:3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF:S△CBF是▲ .

（第16题图答图1）（第16题图答图2）

{答案}4：25或9:25.

{解析}本题考查了似三角形的性质中相似三角形面积比与相似比的关系，在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE:DE=2：3时，AE：AD=2:5,∵AD=BC，∴AE：BC=2:5, ∴S△AEF:S△CBF=4:25；如答图2，当AE:DE=3：2时，AE：AD=3:5,∵AD=BC，∴AE：BC=3:5, ∴S :S△CBF=9:25.故本题答案为4：25或9:25.

△AEF

{分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:相似三角形面积的性质}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}17.(2019年凉山州）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．{答案}3.

{解析}本题考查了二次函数图象的平移与系数的关系，设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y=（x-3+m）2-2，将A（2，2）代入，有：2=（2-3+m）2-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故本题答案为：3.

{分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数图象的平移}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}三、解答题（共5小题，共32分）

{题目}18.(2019年凉山州）（5分）计算：tan 45° + （3-2）0

-（-2

1）-2

+ ︱3-2︱. {解析}本题考查了实数的计算，涉及特殊角的锐角三角函数、0指数幂、负指数幂以及绝对值的化简，先根据上述知识分别求出各个项，然后再进行加减即可. {答案}解：原式=1+1-(-2)2

+2-3=2-4+2-3=-3.

{分值}5.

{章节:[1-28-2-1]特殊角} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:特殊角的三角函数值}

{题目}19．(2019年凉山州）（5分）先化简，再求值：(a +3)2- (a +1)（a -1）-2(2a +4)，其中a =-

1

2

． {解析}本题考查了整式的乘法与化简求值，先利用乘法公式以及整式乘法的有关法则进行计算，再代入求值．

{答案}解：原式=a 2

+6a +9-a 2

+1-4a -8=2a +2，当a =-21时，原式==2×（-2

1

）+2=-1+2=1.

{分值}5

{章节:[1-14-2]乘法公式} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:乘法公式的综合应用}

{题目}20. (2019年凉山州）（6分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0，E 是OC 上一点，连接EB .过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F .求证：OE = OF .

{解析}本题考查了正方形的性质．关键是利用正方形的性质找出一对全等三角形来证明OE = OF . {答案}证明：在正方形ABCD 中，∵AC ⊥BD ，AM ⊥BE ，∴∠AOF =∠BOE =∠AME =90°，∴∠F AO +∠AEB =∠EBO +∠AEB =90°，∴∠F AO =∠EBO ，∵AC =BD ，OA =21AC ，OB =2

1

BD ，∴OA =OB ，∴△AOF ≌△BOE （AAS ），∴OE = OF . {分值}6

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:正方形的性质}

{题目}21．(2019年凉山州）（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题.

（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有 ▲ 人； （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ▲ ； （3）将条形统计图补充完整； （4）若获得一等奖的同学中有

14来自七年级，1

2

来自九年级，其余的来自八年级.学校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛．请通过列表或树状图方法求所选两名同学

中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率．

{解析}本题考查了统计图的有关计算，以及求等可能条件下的概率．前三问根据统计图进行分析、计算、作图即可解决问题.最后一问先要进行等可能条件的分析（列表或树状图），再根据概率公式计算即可. {答案}解：（1）鼓励奖人数为18，百分率为45%，所以样本容量为：18÷45%=40（人） （2）三等奖所对应的圆心角=

40

10

×360°=90°； （3）二等奖人数为：20%×40=8（人），一等奖人数为：40-8-10-18=4（人），条形统计图如下：

（4）一等奖有4人，则七年级有1人，八年级1人，九年级2人，，分别记作A ，B ，C ，C ，用树状图，列表如下：

一共有12种等可能事件，其中恰好是一名七年级和一名九所级学生有4种情形，

所以恰好是一名七年级和一名九所级学生的概率为：

124=3

1. {分值}8

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:统计的应用问题} {考点:两步事件不放回}

{题目}22. (2019年凉山州）(8分)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F . （1）求证：DF 是⊙O 的切线；

（2）若OB =BF ，EF =4，求 AD 的长.

{解析}本题考查了切线的判定和利用特殊角的锐角三角函数求线段长．第一问关键是作出经过切点的半径并证明所证直线与这条半径垂直；第二问应借助特殊角的锐角三角函数以及勾股定理来解直角三角形.

{答案}解：（1）证明：连接OD .∵⊙O 的切线，∴BC ⊥OB ，∴∠OBC =90°.∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∵∠ADB +∠CDB =180°，∴∠CDB =90°.∵E 是BC 的中点，∴ED =EB =

2

1

BC ，∴∠EDB =∠EBD .∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∴∠ODF =∠OBC =90°,∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；

（2）由（1）知∠ODB =90°，∵OD =OB =BF ，∴sin ∠F =2

1

=OF OD ,∴∠F =30°，

∵∠DOB +∠F =90°，∴∠DOB =60°，∴△ODB 是等边三角形，∴∠OBD =60°，∴tan ∠OBD =BD

AD

=3，∴AD =3BD .

∵BC ⊥AF ，∴=BF BE sin ∠F =2

1

,∵EF =4，∴BE =2，∴BF =22BE EF -=23=OB =DB ，∴AD =3BD =6.

{分值}8.

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {章节:[1-28-2-1]特殊角}

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:切线的判定} {考点:解直角三角形}

B 卷（共50分）

{题型:2-填空题}四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

{题目}23．(2019年凉山州）当0≤x ≤3时，直线y =a 与抛物线y =(x -1)2-3有交点，则a 的取值范围是 ． {答案}-3≤a ≤1.

{解析}本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，主要是抛物线与相关直线的位置关系问题，由

题知抛物线y =(x -1)2

-3的顶点坐标为（1，-3），当x =0时，y =-2，当x =3时，y =1，∴当0≤x ≤3时，-3≤y ≤1，∴直线y =a 与抛物线有交点时，a 的取值范围为-3≤a ≤1.因此本题答案为-3≤a ≤1． {分值}5

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {类别:思想方法} {难度:4-较高难度}

{题目}24.(2019年凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12, AE =

4

1

AB ，点P 在BC 上运动 （不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 ▲ .

{答案}4

{解析}本题考查了，，因此本题选．在正方形ABCD 中，∵AB =12, AE =

4

1

AB =3，∴BC =AB =12，BE =9，设BP =x ，则CP =12-x .∵PQ ⊥EP ，∴∠EPQ =∠B =∠C =90°，∴∠BEP +∠BPE =∠CPQ +∠

BPE =90°，∴∠BEP =∠CPQ ，∴△EBP ∽△PCQ ，∴

BE PC BP CQ =，∴9

12x

x CQ -=

，整理得CQ =2

1

(6)49

x --+，∴当x =6时，CQ 取得最大值为4.故本题答案为4.

{分值}5

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:几何图形最大面积问题} {类别:思想方法} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题型:4-解答题}五、解答题（共4小题，共40分） {题目}25．(2019年凉山州）（8分）已知二次函数y =x 2+x +a 的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，且

2

2

12

11x x +

=1，求a 的值．

{解析}本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，先利用韦达定理列出方程求出待定系数，再代入根的判别式进行检验，删除不合理的答案，从而得到正确答案．

{答案}解：对于抛物线y =x 2+x +a ，令y =0，∴x 2

+x +a =0,∵抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），（x 2，0），

∴x 1+x 2=-1，x 1x 2=a ，∵222111x x +=22

212

221x x x x +=1，∴x 12+x 22=x 12x 22，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2==x 12x 22

，代入x 1+x 2=-1，

x 1x 2=a ，有：1-2a =a 2，解得a =-1 2±

，∵方程有两个实数根，则△=1-4a ＞0，解得a ＜

4

1

，∴a =-1-2.

{分值}8

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}

{考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{题目}26.(2019年凉山州）（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：

①若ab ＞0（或b a

＞0），则???>>00b a 或?

??<<00b a ；

②若ab ＜0（或

b a

＜0），则???<>00b a 或???><0

0b a . 根据上述知识，求不等式（x -2）（x +3）＞0的解集.

解：原不等式可化为：（1）???>+>-0302x x 或（2）?

??<+<-030

2x x ，

由（1）得，x ＞2，

由（2）得，x ＜-3，

∴原不等式的解集为：x ＜ -3或x ＞2.

请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）不等式0322

<--x x 的解集为 ▲ .. （2）求不等式

x

x -+14

＜0的解集（要求写出解答过程）. {解析}本题考查了一些特殊不等式的解法，解题的关键是先要读懂阅读理解部分的含义，学会其方法，然后利用学到的方法，把所面对的特殊不等式转化为学过的一元一次不等式组来解决．

{答案}解：（1）-1＜x ＜3，解析：原不等式可化为（x -3）（x +1）＜0，从而可化为①?

??<+>-010

3x x 或

②??

?>+<-0

10

3x x ，由①得不等式组无解；由②得-1＜x ＜3，∴原不等式的解集为：-1＜x ＜3.故答案

为：-1＜x ＜3.

（2）原不等式可化为①???<->+0104x x 或②?

??>-<+010

4x x ，由①得x ＞1；由②得x ＜-4，∴原不等式的

解集为x ＞1或x ＜-4.

{分值}10

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}

{类别:发现探究}

{考点:解一元一次不等式组}

{题目}27．(2019年凉山州）（10分）如图，∠ABD =∠BCD =90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．

（1）求证：BD 2

=AD ·CD ；

（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．

{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质。第一问找出两对等角容易证明三角形相似；第二问几何勾股定理，利用相似三角形对应边成比例列出方程，就能求出相关线段的长．

{答案}解： （1）证明：∵BD 平分∠ADC ，∴∠ADB =∠BDC ，∵∠ABD =∠BCD =90°，

∴△DAB ∽△DBC ，∴

CD BD =BD

AD ,∴BD 2

=

AD CD . (2)由（1）可知：BD 2

=AD CD .∵CD =6,AD =8，∴BD =43,∴BC =22CD BD -=3648-=23 .∵BM ∥CD ，∴∠MBD =∠CDA =∠ADB ，∴DM =BM ，∵∠ADB +∠A =∠MBD +∠MBA =90°,∴∠A =∠MBA ，∴AM =BM =DM =

2

1

AD =4,∵△DAB ∽△DBC ，∴∠A =∠DBC =∠MBA ,∴∠MBC =90°, ∴CM =22BC BM +=1216+=27,∵BM ∥CD ,∴

CN MN =CD BM ,即MN MN -72=6

4

， 解得：MN =

5

4

7.

{分值}10

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {难度:4-较高难度} {类别:常考题}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质}

{题目}28.(2019年凉山州）（12分）如图，抛物线y = ax 2

+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

{解析}本题考查了二次函数与一次函数、轴对称知识及三角形面积的有关知识的综合运用．第一问根据相关点的坐标列方程组，即可求得相关参数，从而得到函数解析式；第二问需要利用轴对称的“将军饮马模型”来解决；第三问关键是利用“等底等高的三角形面积相等”发现点M 的位置.

{答案}解：（1）由题知?????==++=+-30390c c b a c b a ，解得??

???==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2

+2x +3；

（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解

得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P

（1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233

+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32； （3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC = S △ABC - S △P AB =

21×4×3-2

1

×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则???=+=+-20n m n m ，解得?

?

?==11

n m ，∴AP :y =x +1. ①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由??

?++-=+=3

23

2

x x y x y 解得???==3011y x ，???==41

2

2y x ，∴M （1,4）； ②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =

2

1

×2×2=2= S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由??

?++-=-=3

21

2

x x y x y 解得??????

?--=

-=2171217

111y x （舍），???

????+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（

2171+,2

17

1+-）.

{分值}12.

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {难度:5-高难度} {类别:常考题} {类别:易错题}

{考点:其他二次函数综合题}