(完整版)新课标高中数学微积分精选习题
高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的 路程为 （ ） A ．32 0gt B ．20gt C ．22 0gt D ．6 2 0gt [解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ．32 B ．329- C ． 332 D ．3 35 [解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积 3、 若 1 1 (2)3ln 2a x dx x +=+? ，且a ＞1，则a 的值为 （ ） A ．6 B 。4 C 。3 D 。2 [解析] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A ．??a c f (x ) d x B ．|??a c f (x ) d x | C ．?? a b f (x )d x ＋?? b c f (x ) d x D ．??b c f (x ) d x －??a b f (x )d x 5、已知f (x )为偶函数且??0 6 f (x )d x ＝8，则??-6 6f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 6、函数y ＝??-x x (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 7、函数f(x)＝? ??? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图 形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2 D.12 8、???0 3|x 2 －4|dx ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.253 二、填空题： 9．曲线1,0,2 ===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 10．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应 表达为 ． 11、若等比数列{a n }的首项为2 3，且a 4＝??1 4 (1＋2x )d x ，则公比等于____． 12、.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若??-1 1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据
高中数学导数及微积分练习题
1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．
高中数学微积分公式大全
微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C . cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-2 1x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ) csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C # d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C # a b c α β γ R
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一 导数与定积分的关系 f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ). 以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ). 思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1； (3)若f (x )＝1 x ，则F (x )＝ln x (x >0)； (4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ； (5)若f (x )＝a x ，则F (x )＝a x ln a (a >0且a ≠1)； (6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理 一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？ (2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.
高等数学与高中数学的关系
高等数学与高中数学的关系 高中数学与高等数学肯定有联系，这是数学学科特点所决定的。 数学从初中，直到大学，是一套完整的知识体系，其中简单的部分，放在了初中与高中。 仅从知识体系分析，函数（包括三角函数）、数列、解析几何、立体几何是在高中相对完整的知识。这些内容到到大学拓展不是很大，在高中已经学完骨干内容，这也是为什么高考做为重点考查内容的理由之一。到大学，对这部分的拓展，实际上是内容的加深，比如高中函数，大学就学习复变函数，立体几何又新学了几个定理。这部分，大学对高中依赖较强。 近几年，高中新加了不少内容。比如算法、导数、积分、近世概率、统计等等。这些内容实际上是把大学的完整知识结构，硬割出一点放在高中，使高中生提前接触到近世数学内容。但是这部分内容，实际上是鸡肋，对高中生讲，学的太浅，不知所以然，到大学基本没用，还得重学。因此，对今后大学学习没什么作用。 数学=思维能力+应付高考，这种说法有一定道理，尤其对于现代的教育制度。但不可忽视的是，认真学习数学对能力的培养无可替代，而且这种作用潜移默化。但是，高考制度的影响，使自己无法体会其中滋味，胆识以后肯定会起作用的。 数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完
因此有人把它高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。．叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数学之间 的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。比如极限定义、集合和函数等。一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。如果他的数学分析中的映射掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。法国数学家F·克莱因曾经说过：“教师应具备较高的数学 观点，理由是，观点越高，事物就显得越简单。”数学教育专业的学 生绝不可以轻视高等数学对中学数学的指导作用。要使高等数学课
高中数学 微积分
高中数学 微积分 一、导数 1．导数的定义 定义：设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若极限()() 00 lim x x f x f x x x →--存在， 则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限值为函数f 在点0x 处的导数，记为()0f x '（或 000|||x x x x x x dy df y dx dx ==='，，） ．若令0x x x =+?，()()00y f x x f x ?=+?-，则 ()() 00 lim x x f x f x x x →--可改写为()()()0000lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?．所以，导数是函数增量y ?与自变量增量x ?之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差 商），而导数()0f x '则为f 在0x 处关于x 的变化率．若()() 00 lim x x f x f x x x →--极限不存在，则 称f 在点0x 处不可导． 2．导函数 若函数在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f 为I 上的可导函数．此时，对每一个x I ∈，都有f 的一个导数()f x '（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I 上的函数，称为f 在I 上的导函数，也简称为导数，记为f '或y '，即()()() lim x f x x f x f x x I x ?→+?-'=∈?，． 3．导数的几何意义 函数f 在点0x 处的导数()0f x '是曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线斜率．曲线 ()y f x =在点()00x y ，处的切线方程为()()000y y f x x x '-=-． 4．求导法则 （1）基本求导法则
高中数学选修微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系 f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的 s可 s＝t＝s(b)－s t等于 (1) (2) (3) (4)若f(x)＝e x，则F(x)＝e x； (5)若f(x)＝a x，则F(x)＝(a>0且a≠1)； (6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x； (7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.
知识点二微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x ＝F(b)－F(a). 思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？ (2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ (2) 例 解 所以3d x＝(3x)＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3， 所以(2x＋3)d x＝(x2＋3x) ＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
(3)因为′＝4x－x2， 所以(4x－x2)d x＝ ＝－＝. (4)因为′＝(x－1)5， 所以(x－1)5d x ＝( ＝ ① ② (2) ① ②C F′(x)＝f)＝ F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了. 跟踪训练1求下列函数的定积分： (1)2d x；(2)(1＋)d x. 解(1)2d x
＝d x ＝x2d x＋2d x＋d x ＝x3+2x+ ＝×(23－13)＋2×(2－1)－＝. ＝( ＝ ＝ 例 解 f(x ＝ ＝＋＋ ＝＋－＋－ ＝＋.
高中数学微积分公式大全
微积分公式
cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)= βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=β αβ αcot cot cot cot ±μ e x =1+x+!22x +!33x +…+! n x n + … sin x = x-!33x +!55x -!77 x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!66 x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -44 x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1重点高中数学选修2-2微积分基本定理
精心整理 [学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系 f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的改变量F(b)－F(a). 以路程和速度之间的关系为例解释如下： s ＝v(t)d t.]内物体 定积分 思考 (1)若f(x (2)若f(x (3)若f(x (4)若f(x (5)若f(x (6)若f(x (7)若f(x 知识点二微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x＝F(b)－F(a). 思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？ (2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案(1)不唯一.
(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差； ②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)； ③利用微积分基本定理求出定积分的值. 题型一求简单函数的定积分 例1计算下列定积分. (1)3d x； (3)(4x－x2 解(1) 所以3d x (2)因为( 所以(2x ＝22＋3 (3)因为 所以(4x ＝－＝. (4)因为 所以(x ＝(x－1)6 ＝(2－1)6－(1－1)6＝. 反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a).
(2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)的缘故.因为f(x)d x＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)＝F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了. (1)2d x； 解(1)2 ＝d x ＝x2d x＋ ＝x3+2x ＝×(23 ＝. (2)(1＋ ＝(＋x)d ＝ ＝－ ＝. 题型二求分段函数的定积分 例2求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分. 解由定积分的性质知： f(x)d x＝f(x)d x＋f(x)d x＋f(x)d x
高中微积分基本知识
高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1． 数列 定义： 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1, ,, n x x 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列 的第n 项或通项 界的概念： 一个数列{}n x ，若0M ?>，..s t 对*n N ?∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ?∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界 {}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界 2． 数列极限的概念 定义： 设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对?0ε>，总?N ,..s t 当n N >时，有 n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞ =或()n x a n →→∞ 数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义： 从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+ 3． 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系?数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形 ①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε?>， 0δ?>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有 极限A 记作0 lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→
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- 高二数学微积分练习题 一、选择题： 1．已知自由落体运动的速率 v gt ，则落体运动从 t 0 到 t 路程为 （ ） A ． gt 2 B ． gt 02 C ． gt 2 D ． gt 2 3 2 6 [解析 ] 要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功 2、如图，阴影部分的面积是 A ． 2 3 B ． 9 2 3 32 C ． 3 35 D ． 3 [ 解析 ] 让学生理解利用微积分求曲边形的面积 a 1 3 ln 2 ，且 a ＞ 1，则 a 的值为 3、 若 (2 x )dx 1 x A ．6 B 。4 C 。 3 D 。 2 [ 解析 ] 4、用 S 表示图中阴影部分的面积， 则 S 的值 是( ) A ． c f(x)dx B ．| c f(x)dx| a a C ． b f(x)dx ＋ c f(x)dx a b 没有比你更聪明的，只有比你更努力的！ D ． c f(x)dx － b f(x)dx b a 5、已知 f(x)为偶函数且 6 f(x)dx ＝8，则 6 f(x)dx 等于 () 0 -6 t 0 所走的 A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 x (cost ＋ t 2＋2)dt(x>0)() 、函数 ＝ 6 y -x A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．以上都不正确 x ＋1 ( －1≤x<0) 、函数 f(x) ＝ π 的图象与 x 轴所围成的封闭图 7 cosx (0 ≤x ≤ 2 ) 形的面积为 ( ) 3 1 A. 2 B ．1 C ．2 D. 2 |x 2 ) －4|dx ＝( 8、 3 21 22 23 25 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题： （ ） 9．曲线 y x 2 , x 0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 10．由 y cosx 及 x 轴围成的介于 0 与 2π之间的平面图形的面积，利用定积分应 表达为 ． 2 ，且 a 4＝ 4 、若等比数列 n 的首项为 (1 ＋ ，则公比等于． 11 { a } 3 2x)dx ____ 1 、已知函数 ＝ 2＋2x ＋1，若 1 ＝ 成立，则 ＝ f(x) a ________ 12 . 3x f(x)dx 2f(a) - 1
