一次函数之等腰三角形存在性
一次函数之等腰三角形存在性（北师版）
1. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是 x 轴上的动点， )
若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
A. C.
B. D.
1
2
3
4
2. 如图，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 A，与直线 x=1 交于点 B，点 P 是直线 x=1 上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是()A.
?
B. D.
C. 3.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的动点， )A. B.
若使△OAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. 4.( 如图，直线 D.
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，点 P 是线段 OA 上的动点， )A. D. B.
若使△PAC 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
?
C.
5. 如图，直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是直线 AB 上的动点，若使△BOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. )A. D. B.
5 6.(本小题 18 分) 如图，直线 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有(
6 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是坐标轴上一动点，若使△ABP ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
一次函数应用题（四）（北师版）
1. 甲、乙两辆摩托车同时从相距 60km 的 A，B 两地出发，相向而行．图中 ， 离 s（km）与行驶时间 t（h）的函数关系，则两车相遇时乙车行驶了( )km. A. 分别表示甲、乙两辆摩托车到 A 地的距 B. 6 C. 24 D. 36
1
2
3
4
2.(本小题 12 分) A，B，C 三地位于一条笔直高速公路的同侧，B 地在 A 地与 C 地之间，A，C 两地相距 560 千米，A，B 两地相距 20 千米．甲、乙两车分别从 A 地、B 地前往 C 地．如图，分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s（千米）与乙 车行驶时间 t（小时）之间的关系，则两车相遇时甲行驶了( )小时． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
3.(本小题 12 分) 甲、乙两地距离 300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段 OA 表示货车离 甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关系，折线 BC-CD-DE 表示轿车离甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关 系，根据图象，轿车从甲地出发后经过( )小时追上货车．A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 4.(本小题 12 分) 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线 OA-AB-BC 反 映了每户每月用电电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系．在每月用电量超过 200 度时，每多用 1 度电要比第 二档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 207 元，则 m=( )．A. 0.1 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.9 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x(h)，两车之间的距离 为 y(km)，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，则两车相遇之后又经过( )小时，两车相距为 270km．
A. 1
B.
C.
D.
或
5
6
7 、
8 （千米）与甲车行驶时
6.(本小题 13 分) 甲、乙两车出发去 A 地，乙提前出发，甲、乙两车到出发地的距离
间 x（小时）的函数关系如图所示，若甲到达 A 地后则立即按原路线原速度返回，则甲车在返回途中与乙车相遇时距离 A 地( )千米． A. 24 B. 60 C. 120 D. 156 7.(本小题 13 分) 甲、乙两地相距 60 千米，上周日上午小明骑自行车从甲地前往乙地，2 小时后，小明的父亲骑摩托 车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程 y（千米）与小明行驶的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示， 小明父亲出发( )小时后，行进中的两车相距 12 千米． A. B. C. D.
8.(本小题 13 分) 教室里放有一台饮水机,饮水机上有两个放水管.课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过 程中水不发生泼洒,每个同学所接的水量都是相等的.两个放水管同时打开时,他们的流量相同.放水时先打开一个水管, 过一会儿,再打开第二个水管,放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量 y(升)与放水时间 x(分钟)的函数关系如图所 示.如果打开第一个水管后,2 分钟时恰好有 4 个同学接水结束,接着打开第二个水管， 则课间 10 分钟内最多还有( ) 个同学能及时接完水？ A. 42 B. 32 C. 29 D. 25
一次函数单元测试（五）（北师版）
1.(本小题 10 分) 直线 y=kx+b 过点 （5， 且与直线 y=-2x 相交于点 A 2） （2， ， a） 则两直线与 x 轴所围成的面积为( A. 4 2.如图，一次函数 B. 8 C. 16 D. )
的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ABC， )A. B. C. D.
∠BAC=90°， AC 所在直线的解析式为( 则
2 3 5 6 3. 如图，点 A，B 的坐标分别为（1，0），（0，1），点 P 是第一象限内直线 y=-x+3 上的一个动点，当点 P 的横坐标 逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积( ) A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 先减小后增大 D. 始终不变 4. 已知正比例函数和一次函数的图象都经过 M(3，4)，且正比例函数和一次函数的图象与 y 轴围成的面积为 12，则该 一次函数的解析式为( )A. B. C. D.
5. 如图，把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点 A，B 的坐标分别为（1，0），（4，0）， 将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y＝2x-6 上时，线段 BC 扫过的面积为( 6. 如图，直线 AB： B 与 CD 交于点 P，若 )A. 4 B. 8 C. 16 D.
与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，直线 CD：y=x+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 C，D．直线 A ，则点 P 的坐标是( )A. （8，5） B. （5，8） C. （4，3） D. （3，4）
7. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标是（4，0），点 P 在直线 y＝-x+m 上，且 AP＝OP＝4，则 m 的值 为( ) A. 4 或-4 B. C. 或 D. 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 是线段 AB 的中 )
8.(本小题 10 分) 如图，在平面直角坐标系中，直线
点，连接 OC，然后将直线 OC 绕点 C 逆时针旋转 30°交 x 轴于点 D，则直线 CD 的表达式为( A. B. C. D.
8 9.(本小题 10 分) 如图，直线 于点 去，则 ，过点 y=x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 P， 于点 B. ，再过点 C.
9 两点，直线 经过点 P 且与 y 轴交 ，…，依此规律作下
作平行于 x 轴的直线交 ) A.
作平行于 y 轴的直线交 于点 D. )
的长为(
10 若直线 y＝x+b，x＝1，x＝4 和 x 轴围成的四边形的面积等于 9，则 b 的值为( A. B. -1 C. D. -4 或-1
一次函数之动点问题测试（一）（北师版）
1.(本小题 12 分) 已知：如图，线段 AB 的长为 18 厘米，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 2 厘米/秒的速度向点 B 运动， 动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 以 1 厘米/秒的速度向点 A 运动．P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 同时停止 运动． 设点 P 运动的时间为 t 秒， t 表示线段 PQ 的长度为 用 ； P， 两点相距 6 厘米， 若 Q 则经过的时间 t= ． ( )
? ? ? ?
A. 当 B. 当 C. 当 D. 当
秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当 秒时，PQ=18-3t；当
秒时，PQ=3t-18．t=4 秒 秒时，PQ=3t-18．t=8 秒 秒时，PQ=3t-18．t=4 秒或 t=8 秒 秒时，PQ=3t-18．t=4 秒或 t=8 秒
2.(本小题 12 分) 已知：如图，线段 AB=20 厘米．点 P 自点 A 沿线段 AB 以 2 厘米/秒的速度向点 B 运动，同时点 Q 自 点 B 沿线段 BA 以 3 厘米/秒的速度向点 A 运动，当 Q 运动到点 A 时，两点同时停止运动．设点 Q 运动的时间为 t 秒， 用 t 表示线段 PQ 的长度为 ；若 P，Q 两点相距 5 厘米，则经过的时间 t= ．( )
? ? ?
A. 当
秒时，PQ=20-5t；当
秒时，PQ=5t-20．t=3 秒或 t=5 秒 C. PQ=5t-20．t=5 秒
B. PQ=20-5t．t=3 秒
D. 当 秒时，PQ=20-5t；当 秒时，PQ=5t-20．t=3 秒 3.(本小题 12 分) 如图，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC=4cm，动点 P 以 3cm/s 的速度从 B 点出发，沿 BA 方向向点 A 移动， 同时动点 Q 以 1cm/s 的速度， CD 方向向点 D 移动， 沿 当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动， 设运动时间为 t(s)， 则当 t 为( )s 时，线段 PQ 恰好平分矩形 ABCD 的面积． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3 4.已知：如图，在等边△ABC 中，AB=8，D 为边 BC 上一点，且 BD=6．动点 P 从点 C 出发沿 CA 边以每秒 2 个单位的速度 向点 A 运动，连接 AD，BP，设点 P 运动的时间为 t 秒．若△BPA≌△ADB，则 t 的值为( )A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
4
5
5.(本小题 13 分) 已知：如图，在长方形 ABCD 中，AB=DC=6，AD=BC=12，点 E 为边 AD 上一点，且 AE=10．动点 P 从点 B 出发，沿 BC 边向终点 C 以每秒 2 个单位的速度运动，连接 AP，DP，设点 P 运动的时间为 t 秒．若运动到某一时刻， △DCP≌△CDE，则 t 的值为( ) A. 10 B. 5 C. 2 D. 1
6.(本小题 13 分) 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=12，BC=24，动点 P 从点 A 出发沿 AD 向点 D 以每秒 1 个单位的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以每秒 2 个单位的速度运动，P，Q 同时出发，当点 P 停止 运动时，点 Q 也随之停止，连接 PQ，DQ．设点 P 的运动时间为 t 秒，当 t 为( )秒时，△PDQ≌△CQD． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6
7
7.(本小题 13 分) 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点．点 P 在线段 BC 上以每秒 2cm 的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．设点 P 运动时间为 t 秒，当 t 的值为( )时，
△BPD 与△CQP 全等．
A.
B.
C.
D.
8.(本小题 13 分) 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=6cm，点 E 为 AB 中点，如果点 P 在线段 BC 上以每秒 2cm 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由点 C 向点 D 运动．设点 P 的运动时间为 t 秒，若某一时刻△BPE 与△CQP 全等，则点 Q 的运动速度是( )
?
A.
B.
C.
D.
一次函数之面积问题综合应用（北师版）
1. 如图，已知直线 经过点 A（2，0）与点 B（0，1），另一条直线 经过点 B，且与线段 OA 相交于点 P（a，0），若△A PB 的面积为 ，则 a 的值是( ) A. B. C. 或 D. 或
1
2
3
5
2.(本小题 12 分) 如图，在平面直角坐标系中，有 A(0，5)，B（5，0），C(0，3)，D（3，0）且 AD 与 BC 相交于点 E，
连接 AB，则△ABE 的面积是(
)A.
B.
C.
D. ，若△APB
3.(本小题 12 分) 如图，已知直线 经过点 A（2，0）与点 B（0，1），如果在第二象限内有一点 P 的面积为 3，则 a 的值是( 4.(本小题 12 分) 直线 ) A. B. -2 C. -5 D. -8
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC， ，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，则 a 的值为( )
且∠BAC＝90°．如果在第二象限内有一点 P
?
A.
B.
C.
D.
5.(本小题 13 分) 如图，△AOB 的顶点 A(2，1)，B（10，1），直线 CD⊥x 轴且将△AOB 的面积二等分． 若 D（m，0），则 m 的值为(
?
)
A.
B.
C. 4
D.
6.( 已知直线 y＝2x+3 与直线 y＝-2x-1 交于点 C，点 P 是第二象限内直线 BC 上的动点．若△APC 的面积是 6， 则点 P 的坐标为( ) A. （2，-5） B. （-4，7） C. （2，-5）或（-4，7） D. （-3，5
6 7.(本小题 13 分) 如图，直线 交于点 C，△ABC 的面积为(
7 与 y 轴交于点 A，与直线 ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 交于点 B，且直线 与x轴
8.(本小题 13 分) 如图，A，B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点，且点 B 的坐标为（5，0）， 点 M（2，p）在第一象限，直线 MA 交 y 轴于点 C（0，2），已知△AOM 的面积为 6，则直线 BM 的斜率 k 的值是(
?
)
A.
B.
C. -1
D. 1
一次函数之面积问题（转化法）（北师版）
1.(本小题 14 分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，6），B（3，0），C（0，4），若 点 P 是 x 轴上一动点，且 ，则点 P 的坐标为( )
A. （1，0）或（5，0） B. （2，0）或（4，0） C. （0，1）或（0，5） D. （0，2）或（0，4）
1
2
3
4
2.(本小题 14 分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（0，3），B（-3，2），C（-2，1）， 若点 P 是 y 轴上一动点，且
?
，则点 P 的坐标为( B. C.
) D. ，
A.
3. 如图， 直线 y=2x+4 与 x 轴、 轴分别交于 A， 两点， M 是 OB 的中点， P 是直线 AM 上一动点， y B 点 点 若 则点 P 的坐标为(
)A. （0,0）或（0,8） B. （0,0）或（-4,0） C. （2,4）或（-6,-4） D. （1,3）或（-5,-3）
4.(本小题 14 分) 如图，直线 y=-2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt △ABC，且∠BAC=90°，在 x 轴上找一点 P，使 A. B. C. ，则点 P 的坐标为( D. )
5.(本小题 14 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B 两点，以 AB 为直角边在第二象限内作等腰 Rt ，则点 P 的坐标为( C. （1,4）或（1，-1） )
△ABC，∠BAC=90°，点 P 为直线 x=1 上的动点．若 A. B.
D. （1,3）或（1，0）
5 6. 如图，直线
6
7
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC， )
∠BAC=90°， P 是直线 y=1 上一动点， 点 若△ABP 的面积与△ABC 的面积相等且点 P 在第二象限， 则点 P 的坐标为( A. （-4,1） B. （-8,1） C. （-4,1）或（8,1） D. （-8,1）或（12,1） 7.(本小题 16 分) 如图，直线 等边△ABC，若平面内有一点 P(m， A. B. C. 与 x 轴，y 轴分别交于 A,B 两点，以 AB 为边在 AB 上侧作 )，使得△ABP 与△ABC 的面积相等，则 m 的值为( D. )
一次函数之全等三角形存在性
一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别 存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合 的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D.
3.(本小题16分)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点， 过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过 点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标 轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题18分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)， P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点， 若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( ) A. B. C. D.
一次函数地存在性问题(共13题)
一次函数之存在性问题 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． 几何图形 一次函数坐标 1. 如图，直线2y x = +与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12 OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ． （1）求点P 的坐标； （2）坐标系是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值． （2）若点A （x ，y ）是第一象限的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x 与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD = （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的一个动点，在平面是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0） ，P （x ，y ）是直线1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合） ． （1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标； （3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标； （2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x x
2018年中考数学专题等腰三角形存在性问题(题型全面)压轴题
专题等腰三角形存在性问题 题型一：几何图形 1、如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）直接写出∠ABC的度数； （2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线． ①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程； ②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．
变式一：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t=1时，求△ACP的面积． （2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？ （3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 变式二：如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P开始从点A 开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC 的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，他们同时出发，设运动时间我t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长； （2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由； （3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
变式三：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． （1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由． 变式四：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E 与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA； （3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．
一次函数之存在性问题
一次函数之存在性问题 1. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且，直 线CD⊥AB于点P，交x轴于点D． （1）求点P的坐标； （2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别 与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为（-9，0）． （1）求点B的坐标． （2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表 达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且． （1）求B点的坐标和k的值． （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴 上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=． （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以 O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为 （-3,0），P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重 合）． （1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为，求出此时点P的坐标； （3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数之存在性问题
(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题
一次函数与等腰三角形的存在性问题 一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件 的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0）， 在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标 为． 三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是 否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数存在性问题
一次函数动点问题 1 如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101< 3 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB 上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值； (2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值； (3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在， 请说明理由． 一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2016山东省临沂市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2016山东省日照市）阅读理解： 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹． 问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM 交EF于点P，那么动点P为线段AM中点． 理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点． 由此你得到动点P的运动轨迹是：． 知识应用： 如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长． 拓展提高： 如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△A PC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q． （1）求∠AQB的度数； （2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长． 12．（2016山东省日照市）如图1，抛物线 2 3 [(2)] 5 y x n =--+ 与x轴交于 点A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC． （1）求m、n的值； （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值； （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2016山西省）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 28 y ax bx =+-与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=. 一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点 （Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标； （Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） （Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F． （1）求直线AB的解析式； （2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°． （1）求对角线AC所在的直线的函数表达式； （2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标； （3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度． （1）求直线AB的函数关系式； （2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标； （3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，t=秒； 等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． C 21+23,0() C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=13 34C C 、同理可求，下求5C ． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C 5坐标为（ 196,0） 解得：x = 136 3-x ()2+22=x 2 设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x AH =3， BH =2 而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：5AC = 5BC （3）分类讨论：根据 55AC BC = ， （4）求解得答案：解得：236m =，故5C 坐标为23,06?? ??? ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ； （2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ； （3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）?课前预习 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A， B 是两个格点，若点 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等 腰直角三角形，则符合条件的点C 有个． 2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知 识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征． ②分类、画图 结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等． 2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解． ?精讲精练 1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是 第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为． 2.如图，直线y =-1 x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3 在直线y =-1 x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为 3 ． 3 2 （1）求直线y =-1 x +b 的表达式及点C 的坐标；3 （2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为． 中考压轴题等腰三角形存在性问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等．本专题原创编写面动形成的等腰三角形存在性问题模拟题． 在中考压轴题中，面动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类． 原创模拟预测题1．如图，抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，点D（0，1），点P是 抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为． 【答案】（122）或（122）． 【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标． 【解析】 ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作 PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线 223 y x x =-++与y轴交于点C，∴C （0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在 223 y x x =-++中， 令y=2，可得 2232 x x -++=，解得x=12 ±，∴P点坐标为（122）或（12， 2），故答案为：（122）或（12，2）． 一次函数之存在性问题 1.(2019秋九江期中)如图在平面直角坐标系中,过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点A(4,2),动点M 在线段OA和射线AC上运动. (1)求直线AB的函数关系式 (2)求△OAB的面积 (3)是否存在点M,使△OMC的面积与△OAB的面积相等?若存在求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由 2.(2019春通城县期末)如图,A,B是直线y=x+4与坐标轴的交点,直线y=-2x+b点B,与x轴交于点C (1)求A,B,C三点的坐标; (2)点D是折线A-B-C上一动点 ①当点D是AB的中点时,在x轴上找一点E,使ED+EB的和最小,用直尺和圆规画出点E的位置(保留作图痕迹,不要求写作法和证明),并求E点的坐标 ② 是否存在点D,使△ACD为直角三角形,若存在,直接写出D点的坐标;若不存在,请说明理由 3.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 4 3 OC OB =． （1）求B点的坐标和k的值． （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，直线 1 2 2 y x =+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3,0），P（x，y）是直线 1 2 2 y x =+ 上的一个动点（点P不与点A重合）． （1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式； （2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为 27 8 ，求出此时点P的坐标； （3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． x x 特殊平行四边形存在性 ?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再 做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24 =-与x轴交于点A，与y y x 轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，（2）若P是直线2 B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 等腰三角形存在性问题（两圆一线） 类型一、格点中的等腰三角形 1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） 2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个． 3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于． 4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？ 类型二、定边几何法讨论：两圆一线 5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来 6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB 上，这样的等腰三角形能画个（在图中作出点P） （2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画个，（只写出结果） （3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB=． 7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定（）个． 8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个 直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形． 中考数学专题复习——存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2 ＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， A （－2,0）， B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。 一次函数与等腰三角形存在性问题 重点内容梳理 一、等腰三角形存在 核心思想：——分类讨论（顶点未知，讨论顶点即可） 1. A为顶点：AP=AB→以A为圆心B为半径画圆（E为共线点） 为顶点：BP=BA→以B为圆心A为半径画圆（F为共线点） 为顶点：PA=PB→AB的中垂线（o为共线点） 求取方法：1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点 2.两点之间距离公式表示等长线段，求取点坐标 ￥ 3.最终结论 注：该类问题相对较综合，点坐标的求取方法较灵活，需综合运用几何与代数相关定理。 引例： 已知，平面内点A（0,2），B（2,0）（1）求，AB所在直线解析式 （2）若坐标轴上存在一点，使△ABC ①— ②A为顶点，AB=AC，A为圆心，AB为半径画圆， ③B为顶点，AB=BC，B为圆心，AB为半径画圆 ④C为圆心，AB中垂线 例题 例题1.——x轴上的点 1.（2019秋?金水区校级月考）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝ 8，OB＝6. （1）求直线AB的解析式． （2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． | 【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6， ∴A（8，0）、B（0，6）， 把点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b， ∴b＝6，k＝﹣， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+6； （2）设点Q（s，0）， 则AB2＝100，AQ2＝（8﹣s）2，BQ2＝s2+36， ①当AB＝AQ时，100＝（8﹣s）2，解得：s＝18或s＝﹣2； ②当AB＝BQ时，100＝s2+36，可得：s＝±8（舍去8）； ③当AQ＝BQ时，（8﹣s）2＝s2+36，可得：s＝， 、 综上，点Q的坐标为：（18，0）或（﹣2，0）或（﹣8，0）或（，0）． 易错：1. 两圆一线找交点，看清点的位置保证不重不漏 2.求取点的坐标，注意舍根 一次函数之存在性问题（一）（讲义）?课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为 1)，P为 y轴上一点，且△POA为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为______________． 2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5的正方形网格），以点D，E为两个 顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 _______个． ?知识点睛 1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存 在的题目，主要考查_______________． 2.存在性问题的处理思路： ①分析不变特征 分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类． ②分类画图求解 分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证 回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等． 3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例： 两定一动 连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解． 4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解． ?精讲精练 1.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于点A，B，且 4 3 OB OA ． 点C在第一象限，且在直线y=kx-4上，△AOC的面积是6． （1）求点C的坐标． （2）x轴上是否存在点P，使△POC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线y=2x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B． （1）求点A，B的坐标． 二次函数与等腰三角形存在性问题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 老师 姓名 学生姓名学管师 学科 名称 年级上课时间月日__ :00-- __ :00 课题 名称 等腰三角形的存在问题 教学 重点 教 学 过 程 1.（2011?湘潭）如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交ｙ轴于Ｂ点，过A、Ｂ两点的抛物线交 x轴于另一点C(3，0)． (1）求抛物线的解析式; (2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABＱ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标;若不存在，请说明理由． 2.(2０１1?淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bｘ＋３的图象与x轴的一个交点为A(4，0)， 与ｙ轴交于点B. （1)求此二次函数关系式和点B的坐标； （2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由． 3.(2011?郴州)如图,在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是(0，1)和(1，0),P是线段 AB上的一动点(不与A、Ｂ重合），坐标为（m，1﹣ｍ)(m为常数）. （１）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当P点在线段AB上移动时,过O、Ｐ、Ｂ三点的抛物线的对称轴是否会随着Ｐ的移动而改变; （3）当P移动到点()时,请你在过O、Ｐ、Ｂ三点的抛物线上至少找出两点,使每个点都能与 P、B两点构成等腰三角形,并求出这两点的坐标． 4.（２0１１?重庆市綦江县潭已知抛物线y＝ax２+bｘ＋c（a＞０)的图象经过点B(１2,0）和C（0， -6），对称轴为x＝２． (1）求该抛物线的解析式: （２）点D在线段AＢ上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AＢ以每秒１个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由;(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)
等腰三角形的存在性问题
2017年数学中考专题《存在性问题》
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