四川泸州市2021届高三第一次诊断性考试理科数学(一模)试题(含答案)

泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．已知集合{

}

2

40A x x x =-≤，{}

21,B x x n n ==-∈N ，则A B ?=（ ） A ．{}3

B ．{}1,3

C ．{}1,3,4

D ．{}1,2,3,4

2．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知3log 5a =，1

ln 2

b =， 1.11.5

c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

4．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ?

?

=?+

???

”，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中

S

N

叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（参考数据：0.2

10 1.58≈）

A ．1559

B ．3943

C ．1579

D ．2512

5．右图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）

A ．10π

B ．8π

C ．9π

D

6．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，2

()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7．A ，B 是函数()2sin (0)6f x x πωω??

=+> ??

?

的图象与x 轴的两个交点，且A ，B 两点间距离的最小值为

3

π

，则ω的值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．函数3e e

x x

x

y -=

+（其中e 是自然对数的底数）．的图象大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点，O ，M 分别为BD ，EF 的中点，则下列说法错误的是（ ）

A ．四点

B ，D ，E ，F 在同一平面内 B ．三条直线BF ，DE ，1C

C 有公共点 C ．直线1A C 与直线OF 不是异面直线

D ．直线1A C 上存在点N 使M ，N ，O 三点共线 10．已知方程22

log 0x

x --=的两根分别为1x ，2x ，则下列关系正确的是（

A ．1212x x <<

B ．122x x >

C ．1201x x <<

D ．121x x =

11．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，且ABD △和BCD △都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．

163π C ．8π D ．203

π

12．已知函数321()(0)3f x ax x a =

+>，若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使()012f x f ??

=- ???

，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2

,53?? ???

B ．2,3(3,5)3??

?

???

C ．18,67??

???

D ．18,4(4,6)7??

?

???

第Ⅱ卷（非选择题共90分） 注意事项：

（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共10个小题，共90分．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）

13．已知函数23,0

()21,0

x

x x f x x +≤?=?

+>?，则()()1f f -的值为______． 14．曲线[]()

sin 0,y x x π=∈与x 轴所围成的图形面积为______．

15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1

tan 3

α=，则tan()αβ-=______．

16．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），给出下列结论：

①平面11A D P ⊥平面1A AP ； ②多面体1CDPD 的体积为定值； ③直线1D P 与BC 所成的角可能为3

π

； ④1APD △可能是钝角三角形．

其中正确结论的序号是______（填上所有正确结论的序号）．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．已知函数2()2cos 12

x

f x x =-+．

（Ⅰ）若()6f παα??

=+

??

?

，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的

1

2

倍得函数()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在0,

2π??

????

上有解，求m 的取值范围． 18．已知曲线()sin f x kx x b =+在点,22f π

π??

?? ?

?????

处的切线方程为230x y --=．

（Ⅰ）求k ，b 的值； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间0,

2π??

??

?

上零点的个数，并证明． 19．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin()sin 2

B C

a A B c ++=． （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =△△，求AD ．

20．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，G 是线段AB 上一点（不含A ，B ），在平面SGD 内过点G 作//GP 平面SBC 交SD 于点P ．

（Ⅰ）写出作GP 的步骤（不要求证明）； （Ⅱ）若3

BAD π

∠=，2AB SA SB SD ====，P 是SD 的中点，求平面SBC 与平面SGD 所成锐二面

角的余弦值．

21．已知函数1

()ln f x x m x m x

=-

--，其中[]1,e m ∈，e 是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）设关于x 的不等式1

()ln f x x x kx n x

≤--+对[]1,e x ?∈恒成立时k 的最大值为[](),1,e c k n ∈∈R ，求n c +的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 是圆心在()0,2，半径为2的圆，曲线2C 的参数方程

为

4x t

y t π?=?

???=- ?

????

（t 为参数且02t π≤≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若曲线2C 与坐标轴交于A ，B 两点，点P 为线段AB 上任意一点，直线OP 与曲线1C 交于点M （异于原点），求

OM OP

的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲

若0a >，0b >，且223a b ab ++=，已知ab 的最小值为k ． （Ⅰ）求k 的值

（Ⅱ）若0x ?∈R 使得关于x 的不等式2x m x k -+-≤成立，求实数m 的取值范围．

泸州市高2018级第一次教学质量诊断性考试

数学（理科）参考答案及评分意见

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题

二、填空题

13．3； 14．2； 15．3

4

； 16．①②④． 三、解答题：

17．解：（Ⅰ）因为2

()2cos 12

x f x x =-+

cos x x =-2sin 6x π?

?=- ??

?，

因为()6f παα?

?

=+

??

?

，所以sin 6παα??

-

= ??

?

，

所以

1sin cos 22ααα-=，即cos αα-=，所以tan 9

α=-； （Ⅱ）把()f x 图象上所有点横坐标变为原来的

1

2倍得到函数()g x 的图象， 所以函数()g x 的解析式为()(2)2sin 26g x f x x π??

==-

??

?

， 关于x 的方程()0g x m -=在0,

2π??

????

上有解求m 范围， 等价于求()g x 在0,2π??

????

上的值域， 因为02

x π

≤≤

，所以526

6

6

x π

π

π

-

≤-

≤

， 所以1()2g x -≤≤，故m 的取值范围为[]1,2-． 18．解：（Ⅰ）因为()sin cos f x k x kx x '=+， 所以sin cos 2222f k k k ππππ??

'=+?=

?

??

， 又因为sin 2222k f k b b ππππ??=?+=+

???

， 曲线()f x 在点,22f π

π??

?? ?

????

?

处的切线方程为230x y --=． 所以2k =，3b =-； （Ⅱ）()f x 在0,

2π??

??

?

上有且只有一个零点， 因为()2sin 2cos f x x x x '=+，

当0,

2x π??

∈ ??

?

时，()0f x '>， 所以()f x 在0,

2x π??

∈ ??

?

上为单调递增函数且图象连续不断， 因为(0)30f =-<，302f ππ??

=->

???

，

所以()f x 在0,

2π??

??

?

上有且只有一个零点． 19．解：（Ⅰ）由A B C x ++=可得：

sin()sin()sin A B C C π+=-=，sin

sin cos 222

B C A A

π+-==， 又sin()sin 2B C a A B c ++=，得sin cos 2A

a C c =，

由正弦定理得sin sin sin cos 2

A

A C C =，

因为sin 0C ≠，所以sin cos 2

A A =， 所以2sin

cos cos 222A A A =，因为022A π<<，所以cos 02A

≠， 所以1sin 22A =，即26A π=，所以3

A π

=．

（Ⅱ）解法一：设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC △的AC 边上的高为2h ， 因为3ABD ADC S S =△△，3c =，1b =， 所以

1211

322

c h b h ?=??， 所以12h h =，AD 是ABC △角A 的内角平分线，所以30BAD ∠=?， 因为3ABD ADC S S =△△，可知3

4

ABD ABC S S =△△， 所以

131

sin 30sin 60242

AB AD AB AC ???=????，

所以AD =

． 解法二：设03BAD παα??

∠=<<

??

?

，则3

DAC π

α∠=

-，

因为3ABD ADC S S =△△，3c =，1b =， 所以

11sin 3sin 223c AD b AD παα????=???- ???

， 所以sin sin 3παα??

=-

???

，

所以1sin cos sin 22ααα=

-，tan 3

α∴=，

因为03

π

α<<

，所以30BAD ∠=?，

3ABD ADC S S =△△，可知3

4

ABD ABC S S =

△△， 所以131

sin 30sin 60242AB AD AB AC ???=????，

所以AD =

．

解法三：设AD x =，BDA α∠=，则ADC πα∠=-，

在ABC △中，由3c =，1b =及余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，

所以a =

因为3ABD ADC S S =△△，可知3BD DC ==

在ABD △中2222cos AB BD AD BD AD α=+-??，

即2639cos 16AD AD α=

+?

在ADC △中，271cos()16AD AD πα=

+?-，

即271cos 162

AD AD α=

++??，

所以4

AD =

． 20．解：（Ⅰ）第一步：在平面ABCD 内过点G 作//GH BC 交CD 于点H ； 第二步：在平面SCD 内过点H 作//HP SC 交SD 于P ； 第三步：连接GP ，GP 即为所求．

（Ⅱ）解法一：因为P 是SD 的中点，//HP SC ，所以H 是CD 的中点，

而//GH BC ，所以G 是AB 的中点，

连接AC ，GD 交于O ，连SO ，设S 在底面ABCD 的射影为M ， 因为SA SB SD ==，所以MA MB MD ==，即M 为ABD △的外心， 所以M 与O 重合，

因为OD =

2SD =

，所以SO =

，23OC AC ==，

过O 作//OE GB 交BC 于E ，分别以OG ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，

则S ? ??

，B ?????

，2,0C ?? ? ???，

所以333SB

??

=-

? ??

?，()

BC =-，设平面SBC 的法向量为(,,)n

x y z =， 则303330n SB x y

z n BC y ??=

+-=??

??=-+=?

， 取z =

1x =，y =

所以(1,3,n =

因为SO ⊥平面ABD ，所以平面SDG ⊥平面ABD ，又AB DG ⊥， 所以GB ⊥平面SGD ，

故()0,1,0GB =

为平面SGD 的法向量，

设平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的大小为θ， 则3

cos 26

n GB n GB

θ?=

=

=， 故平面SBC 与平面SGD 所成锐二面角的余弦值为2

． 解法二：延长DG ，CB 交于I ，连接SI ，

因为//GP 平面SBC ，平面SBC ?平面SGD SI =，GP ?平面SGD ，所以//GP SI ， 又P 是SD 的中点，则G 是DI 的中点，又//GB DC ，所以B 是CI 的中点， 故IB BC SB ==，所以IS SC ⊥，

因为SO ⊥平面ABD ，所以平面SDG ⊥平面ABD ， 又AB DG ⊥，所以GB ⊥平面SGD ，

所以CD ⊥平面SGD ，

所以CD SI ⊥，即SI ⊥平面SDC ， 所以CSD ∠为二面角C SI D --的平面角， 在Rt CSD △中，2SD CD ==，故4

CSD π

∠=

故平面SBC 与平面SGD 所成的锐二面角的余弦值为

2

．

21．解：（Ⅰ）因为[]()1

()ln 0,1,e f x x m x m x m x

=-

-->∈， 所以222

11

()1m x mx f x x x x -+'=+-=，因为0x >，[]1,e m ∈，

所以①当240m ?=-≤即12m ≤≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞， ②当240m ?=->即2m e <≤时，方程210x mx -+=的两根为：

1x =，2x =

()f x 的增区间为()10,x ，()2,x +∞，

综上①当12m ≤≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，

②当2e m <≤时，()f x 的增区间为? ??，?

+∞????

； （Ⅱ）原不等式分(1ln )ln m x x x x n

k x

+-++?≤，

因为[]1,e m ∈，[]1,e x ∈，所以(1ln )ln 1ln ln m x x x x n x x x x n

x x

+-+++-++≥

， 令1ln ln ()x x x x n

g x x

+-++=，

即2ln ()x x n g x x -+-'=

，令()ln p x x x n =-+-，即1

()10p x x

'=-+>，

所以()p x 在[]1,e x ∈上递增； ①当(1)0p ≥，即1n ≤时， 因为[]1,e n ∈，所以1n =，

当[]1,e x ∈，()0p x ≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增， 所以min ()(1)c g x g n ===， 故22n c n +==；

②当(e)0p ≤即[]e 1,e n ∈-时， 因为[]1,e x ∈，()0p x ≤，即()0g x '≤，

所以()g x 在[]1,e 上递减，所以min 2

()(e)e

n c g x g +===， 故21

2e ,e 1e e

e n n c n +??+=

+∈+++????； ③当(1)(e)0p p <，即(1,e 1)n ∈-时， 因为()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，

所以存在唯一实数0(1,e)x ∈，使得()00p x =，即00ln n x x =-， 则当()01,x x ∈时，()0p x <，即()0g x '<； 当()0,e x x ∈时，()0p x >，即()0g x '>， 故()g x 在()01,x 上单减，()0,e x 上单增， 所以()0000min 0000

1ln ln 1

()ln x x x x n c g x g x x x x +-++===

=+，

所以000000

11

ln ln n c x x x x x x +=+

+-=+， 设()0001()(1,e)u x x x x =+∈，则2

200

11()10x u x x x -'=-=>，

所以()u x 在[]1,e 上递增，所以12,e e n c ?

?+∈+

???

．

综上所述，22,e 1e n c ??+∈+

+????

． 22．解：（Ⅰ）解法一：设曲线1C 与过极点且垂直于极轴的直线相交于异于极点的点E ，设曲线1C 上任意点(,)F ρθ，连接OF ，EF ，则OF EF ⊥， 在OEF △中，4cos 4sin 2πρθθ?

?

=-

= ??

?

； 解法二：曲线1C 的直角坐标方程为2

2

(2)4x y +-=， 即2

2

40x y y +-=，

所以曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=；

（Ⅱ）曲线2C

的参数方程为4x t y t π?=?

???=- ?

????

，因为曲线2C 与两坐标轴相交，

所以点(2,0)A ，(0,2)B ，

所以线段AB 的极坐标方程为cos sin 2002πρθρθθ?

?

+-=≤≤

??

?

， 12

sin cos OP ρθθ

==

+，24sin OM ρθ==，

sin cos 4sin 2

OM OP θθ

θ+=?

22sin 2sin cos θθθ=+ 1cos2sin 2θθ=-

+214πθ?

?=-+ ??

?，

所以当38π

θ=

时，OM OP

1．

23．解：

（Ⅰ）由3222ab a b =++≥

，

2

3

20-≥，

≥

3

≤-

（舍去）， 当且仅当1a =，2b =时取得“=”， 即k 的最小值为2；

（Ⅱ）由2k =，2()(2)2x m x x m x m -+-≥---=-， 因为0x ?∈R 使得关于x 的不等式2x m x k -+-≤成立， 所以22m -≤，解得：222m -≤-≤， 即m 的取值范围是[]0,4．