2020年6月浙江学业水平适应性考试数学学科试题

2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学学科试题

选择题部分

一、选择题：本小题共18小题.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1．已知集合{}

2A x x x ==，{}1,0,1B =-，则A B ?=（ ） A ．{}1

B ．{}0,1

C ．{}1,0-

D ．{}1,0,1-

2．已知向量()1,1a =，则a =（ ）

A ．1

B

C

D ．2

3．623

3log log -=（ ） A ．1

2

B ．1

C ．4

3log

D ．123log

4．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A ．()2,3-

B ．()3,2-

C ．()2,3-

D ．()2,3

5．不等式12x +>的解集是（ ） A ．{}11x x -<< B ．{1x x <-或}1x > C ．{}31x x -<<

D ．{3x x <-或}1x >

6．抛物线24y x =的准线方程是（ ） A ．1y =

B ．1y =-

C ．1x =

D ．1x =-

7．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（ ）

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．三棱柱

D ．四棱柱

8．过点()1,2A -，且与直线210x y -+=平行的直线方程（ ） A ．240x y --=

B ．240x y -+=

C ．230x y +-=

D ．230x y ++=

9．设不等式组0122x x y x y ≥??

-≤??+≤?所表示的平面区域为M ，则下列各点在M 内的是（ ）

A ．点()1,1-

B ．点()1,0

C ．点()1,1

D ．点()1,1-

10．已知平面//α平面β，m α?，n β?，那么下列结论正确的是（ ） A ．m ，n 是平行直线 B ．m ，n 是异面直线 C ．m ，n 是共面直线

D ．m ，n 是不相交直线

11．已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若

::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ） A ．1:1:4

B ．1:1:2

C ．1:1:3

D

．1:1:

12．函数()cos f x x x =+的图像可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

13．已知a ，b 是实数，则“1a b >”是“2a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分

也不必要条件

14．已知双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线方程是2y x =，则该双曲线的离心率为

（ ） A

B ．2

C

D

15．已知平面向量a ，b 的夹角为

3

π

，且对任意实数λ，a b a b λ-≥-恒成立，则:a b =（ ）

A ．1:2

B ．2:1

C ．1:

D

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，3S ，9S ，6S 成等差数列，则下列说法正确的是

（ ）

A ．如果数列{}n a 成等差数列，则2a ，8a ，5a 成等比数列

B ．如果数列{}n a 不成等差数列，则2a ，8a ，5a 不成等比数列

C ．如果数列{}n a 成等比数列，则2a ，8a ，5a 不成等差数列

D ．如果数列{}n a 不成等比数列，则2a ，8a ，5a 不成等差数列

17．抛物线()220y px p =>的准线交x 轴于点C ，焦点为F ，过点C 的直线l 与抛物线交于不同两点A ，B ，点A 在点B ，C 之间，则（ ） A ．2AF AB BF ?= B ．2AF AB BF += C ．2AF AB BF ?>

D ．2AF AB BF +<

18．如图，已知点P 为边长等于4的正方形所在平面外的动点，2PA =，PA 与平面

ABCD 所成角等于45°，则BPD ∠的大小可能是（ ）

A ．

6

π B ．

3

π C ．

2

π D ．

56

π 非选择题部分

二、填空题：本大题共4小题.

19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n =，*N n ∈，则1a =______，d =_______.

20．若()cos cos 22x x ππ??

-++= ???

，则sin 2x =______.

21．如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD ，若正方形ABCD 的面积为2，则线段

AG 的最大值为______.

22．已知函数()()()

25 04 1 0x x f x x x x -?≤?=?-++>??和()1g x ax =+.若对任意的()0,1x ∈，都有1t 、[]21,t a ∈-()12t t ≠使得()()1f t g x =，()()2f t g x =，则实数a 的取值范围是______.

三、解答题：本大题共3小题.

23．已知函数()()2sin cos 0f x x x ωωω=?>的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅲ）若2

43f πα??+= ???

，（02πα<<），求sin2α的值.

24．已知椭圆2222:1x y C a b

+=

的离心率为e =

，右焦点)

F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线():0l y kx m km =+<与圆222:O x y b +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，求MF NF +的最小值.

25．已知函数()22f x x a x b =-+-，其中a ，b ，x R ∈. （Ⅰ）若()y f x =是偶函数，求实数a 的值； （Ⅱ）当1a b ==时，求函数()y f x =的单调区间；

（Ⅲ）若对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立，求实数2a b +的最小值.

2020年6月浙江省学业水平适应性考试数学学科答案

一、选择题（本大题共18小题）

19．1，2 20．12

-

21

22．04a <≤

【22解析】：由题意得，()g x 的值域()f x ?的值域.并且对于()g x 值域中的每一个数

M ，都有至少两个不同数1t 和2t ，使得()()1,2i f t M i ==成立.

①当0a ≤时，()0,1x ∈，()g x 的值域为()1,1a +.由()y f x =图象可知，[]1,t a ∈-，

()1f t ≥，显然，此种情况不成立.

②当02a <≤，()g x 的值域为()1,1a +，由图可知，只要使得()y f x =右端点所对应

的函数值大于或等于1a +，即()021a f a a <≤???≥+??，则202411a a a a <≤??-++≥+?，解得02a <≤.

③当2a >时，()g x 的值域为()1,1a +，由()f x 的函数图象可知，要满足

()[]1,11,5a +?即可，得24a <≤，综上所述，04a <≤.

三、解答题（本大题共3小题） 23．解：（Ⅰ）()sin 2f x x ω= 最小正周期212T π

πωω

=

=?= （Ⅱ）∵()sin 2f x x =，由2222

2

k x k π

π

ππ-+≤≤

+

解得4

4

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，k Z ∈

∴()sin 2f x x =的递增区间为,44k k ππππ??

-++????，k Z ∈

（Ⅲ）∵()sin 2f x x =，∴sin 2cos 242f ππααα???

?+=+= ? ????

?

又2

43

f πα??+= ???，∴2cos 23α=.

又02

π

α<<

，∴sin 20α>

∴sin 23

α== 24．解：

（Ⅰ）右焦点)

F

，所以c =

又c e a =

=

2a =，所以2221b a c =-=， 所以，椭圆2

2:14

x C y +=. （Ⅱ）直线():0l y kx m km =+<与圆222:O x y b +=相切221m k ?=+ 设()11,M x y ，()22,N x y ，则

12MF x ==

=

同理，

222

NF x =

=

=-

∴()1242

MF NF x x +=-

+ 联立22

1

4

y kx m

x y =+???+=??得：()222

148440k x kmx m +++-=，∴122814km x x k +=-+ 又0km <，故

122

814km x x k

+=

=

+241t k =+

则12x x +==≤

所以，)1242MF NF x x +=-

+≥ 25．解：（Ⅰ）()y f x =是偶函数，故()()f x f x -= 即()2

222x a x b x a x b --+--=-+-

0x a x a a ?+=-?=

（Ⅱ）1a b ==时，()22

222,1112,11,1x x x y f x x x x x x x x x ?+-≥?==-+-=--+-<

结合图像易知()y f x =的单调递增区间为11,2?

?--???

?，[)1,+∞，

()y f x =的单调减区间为：(],1-∞-，1,12??

-????

.

（Ⅲ）必要开路，先证21a b +≥

∵对任意[]0,1x ∈，都有()2f x a b ≤+恒成立 ∴()200f a b a a a ≤+?≤?≥

且对任意实数a ，b ，()22111f a b a b =-+-≤+恒成立

当21b >时，()22221111111f a b a b a b a b =-+-=-+-≤++-=+恒成立. 当21b ≤，1a >时，()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立 当21b ≤，01a ≤≤时，由()22211111f a b a b a b =-+-=-+-≤+恒成立：

21a b +≥

当21

2

a b ==

时取等号. 再证，当21

2

a b ==

时，对一切[]0,1x ∈时()1f x ≤恒成立 21

2

a b ==

时，∵[]0,1x ∈，∴202x x ≤+≤∴()22111122f x x x x x =-+-≤+-≤

综上所述，2a b +的最小值为

1.