西南交大《复变函数与积分变换B》(A卷)(结)

西南交通大学2012－2013 学年第(1)学期测试试卷

课程代码 2100488_课程名称 复变函数和积分变换B 测试时间 120分钟

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总成绩

得分

阅卷教师签字__朱星亮____符伟____张静________________________ 注意: 1. 请将选择题和填空题的答案写在指定位置； 2. 计算题需要写出必要的步骤。 一、选择题(每题3分,共30分)

1. 复数 cos4sin4i + 的辐角主值为【 B 】 （A ）4 （B ）42π- （C ）24π- （D ）4π-

2.下列说法错误的是【 C 】

（A ）设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，000z x iy =+，则()f z 在0z 处连续的充要条件是(,)u x y ，

(,)v x y 均在点00(,)x y 处连续；

（B ）等式 1212ln()ln ln z z z z =+ 不一定成立；

（C ）复变函数 z e 是以 2π 为周期的周期函数；2πi 为周期，第21页 （D ）sin z 在整个复平面内不是有界函数。 3. (1)i

i + 的主值为【 D 】

（A ）1ln224

i e π- （B ）1ln224

i e

π

+ （C ）

ln 242

i

e

π

+ （D ）ln242

i e

π

-

+

4.

()sin 15

2010

1

2ln(5)

z

z e dz z i z ==++??

【 A 】

（A ）0 （B ）i π- （C ）i π （D ）2i π

班 级 学 号 姓 名

密封装订线 密封装订线 密封装订线

5. 级数1(1)11n

n n a i n n ∞

=??-?

?++?? ???????

∑（其中a 为实常数）【 A 】 （A ）发散 （B ）收敛性和a 的取值有关 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛

6.0z =是函数21

cos z z z

-的【 B 】

（A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）二级极点 （D ）本性奇点

7. 1011Re ,0z e s z ??

-=????【 C 】直接展开成洛朗级数找出对应的负一次项

（A ）0 （B ）

199! （C ）1100! （D ）1

101!

8. 函数2,1

()0,1

t f t t ?≤?=?>?? 的傅里叶变换等于【 D 】

（A ）

2cos ω

ω

（B ）

2sin ω

ω

（C ）

4cos ω

ω

（D ）

4sin ω

ω

9. 若函数()f t 的拉普拉斯变换[]()()L f t F s =存在，则下列等式中正确的是【 C 】 （A ）[]11

2()()2

L F s f t -=

（B ）[]1()()L sF s tf t -= （C ）01

()()t L f t dt F s s ??=????

? （D ）[]()sin()()L f t at F s a =-（其中a 为常数）

10.函数11,0()0,0t f t t >?=?

t f t t t -<

12()*()f t f t 等于【 D 】

（A ）0 （B ）0,0,0t t t ≤??>? （C ）0,11,1t t t ≤-??+>-? （D ）0,11,101,0

t t t t ≤-??

+-<≤??>?

二、填空题(每题3分,共15分)

11．函数2()()(2)f z x y i x y =-++在其可导点处的导数值等于 2i + ；

12．设函数()

2223

()f z d z ζζζζ=+=-??（其中圆周2ζ=取逆时针方向），则(0)f '= 4i π ；

13．函数cos ()sin z e z

f z z

=在 01z i =+ 处的泰勒展开式的收敛半径R = ___ ____；

14．函数()sin(2)f t t t =的拉普拉斯变换为

22

4(4)

s

s + ； 15．在拉普拉斯变换意义下，卷积 1*cos t sin t .

三、解答题（共6个题，共55分，要求：写出必要的解题步骤）

16.计算复积分：Re()C

I z z dz =

?

，其中C 为由原点 O 到 12i - 的直线段。（7分）

解：由条件，得曲线C 的参数方程为:,:012x t

C t y t

=?→?=-?……（2分），

则2(12)z t ti i t =-=-，从而

1

12

20

Re()(12)(12)(12)

C

I z z dz i t td i t i t dt ==--=-???

g ……（4分）

1

2

230

(12)(12)413

33

i i t

i --===--……（6分）

17.利用拉普拉斯变换的定义求函数3()2t t f t e e -=+的拉普拉斯变换。（8分）

解：由拉普拉斯变换的定义，得

[]()30

()()2st

t

t st L f t f t e dt e

e e dt +∞+∞---==+?

?

……（2分）

(3)(1)(3)(1)0

2231

s t s t s t

s t

e e e e dt s s +∞

-+--+∞-+--??=+=--?

?+-?

……（5分）

(3)(1)21212

lim 313131s t s t s e e s s s s s s -+--→+∞????=-+++=+????+-+-+-????（Re(3)0s +>且Re(1)0s ->） ……（7分）

故[]312

()231

t t

L f t L e e s s -??=+=

+??+-（Re()1s >） ……（8分） 18. 将函数21

()(1)

f z z z =

-分别在下列圆环域内展成洛朗级数。（10分）

（1）1z <<+∞； （2）011z <-<。

解：（1）因为1z <<+∞，所以

1

1z

<，从而 23

111

()1(1)1f z z z z

z

=

=---g ……（2分） 3300111

n

n n n z z z

∞∞

+==??=-=- ???∑∑……（5分）

（2）因为011z <-<，所以

2211111()(1)11f z z z z z z z '

??==-= ?---??

g ……（2分） 1

011111(1)(1)(1)(1)11(1)11n n n n n n z n z z z z z ∞∞-==''????==--=--????-+---????∑∑……（4分） 21(1)(1)n n n n z ∞

-==--∑ ……（5分）

或 2

2

211111()(1)111(1)f z z z z z z z ????==-=- ???---+-????

2

2011(1)(1)(1)(1)1n n n n n n z n z z ∞∞

-==??=---=--??-??

∑∑ 19. 利用留数计算广义积分：

22

(25)

x

dx x x +∞-∞

-+?

。（10分） 解：因为函数

22

(25)

x

x x -+分母含x 的最高次比分子含x 的最高次高3次，并且作为复变量z 的函数，22

(25)

z

z z -+的孤立奇点为12i ± ……（4分） 即

22

(25)

z

z z -+在实轴上没有孤立奇点，从而 2222

2Re ,12(25)(25)x z

dx i s i x x z z π+∞-∞

??=+??-+-+??

?

g ……（6分） 2

22212122lim (12)2lim (25)(12)z i z i z z i z i i z z z i ππ→+→+''????=--=????-+-+????

g g ……（8分）

3312(12)242(12)2lim 2(12)(4)16

z i z i z i i i i z i i π

ππ→+-+--+===-+g g ……（10分） 20. 计算积分3(1)z

z r e dz z z =-??，其中圆周z r =取逆时针方向，并且01r <≠。

（10分） 解：函数3

(1)

z e z z -有两个孤立奇点0,1。由01r <≠，有 （1） 当01r << 时，有

3

33

(1)22(1)(1)z

z

z z r z r z e e e z dz dz i i z z z z ππ===-===--??

g

蜒

……（5分）

（2） 当1r >时，由留数定理，得

3332Re ,0Re ,1(1)(1)(1)z z z z r e e e dz i s s z z z z z z π=????????=+??????---????????

??……（2分） 3

330112lim lim (1)(1)2!(1)z z z z e e i z z z z z z π→→??''??????=+-??????--????????g g 332011112212lim lim 21lim (1)22z z

z z z z e e

i i e z z

z z z ππ→→→??''????????=-=--+ ? ?????-???????

?

……（4分） 121(2)2i e e i ππ?

?=-=- ??

?……（5分）

21. 利用拉普拉斯变换求解常微分方程初值问题：22,

(0)(0)0.t y y y e y y '''?--=?'==?（10分）

解：记[]()()L y t Y s =，对原方程两边同时取拉普拉斯变换，得

[]2

1()(0)(0)()(0)2()2

s Y s sy y sY s y Y s s '??-----=??-……（4分） 将初值条件(0)(0)0y y '==代入上式，得

21

()()2()2

s Y s sY s Y s s --=

-

解得 2211

()(2)(2)(2)(1)

Y s s s s s s ==----+……（6分）

则[]1()()y t L Y s -=

方法一：因为 222

11(1)(2)111

()(2)(1)3(2)(1)3(2)(2)(1)s s Y s s s s s s s s ??+--=

==-??-+-+--+??

22

1111111111

3(2)3(2)(1)3(2)9291

s s s s s s =

-=-+--+--+ 所以[]11112111111()()3(2)9

291y t L Y s L L L s s s ----??????

==

-+??????--+?????? 2222111111()3

99399

st t t t t t

s e e e te e e --='=

-+=-+ 即22111()399

t t t

y t te e e -=

-+。 ……（10分） 方法二：因为21

()(2)(1)

Y s s s =

-+有一个二级极点2和一个一级极点1-，所以

[]1

22

()()Re ,2Re ,1(2)(1)(2)(1)st st

e e y t L Y s s s s s s s -????==+-????-+-+????

2

2221lim (2)lim (1)(2)(1)(2)(1)st st s s e e s s s s s s →→-'????=-++????-+-+????

g g 22222212(1)131111lim lim lim 1(2)(1)999399st st t t st t t t t s s s e e t s e t e e e te e e s s s ---→→-→'??+--=+=+=+=-+??+-+??

即22111()399

t t t

y t te e e -=

-+ ……（10分）