买手机必须看参数解析
买手机必须看参数解析
【摘要】对于当今社会来说，手机早已是每个人必备的数码产品。购买手机也自然就成了所有人都会经过的过程。作为一个普通用户来说，要求每个人都是手机达人显然是不现实的，而这正是因为此，不少朋友在购机的时候难免会对一些手机的参数、性能等等有认识上的误解。
【正文】拍照成像效果就一个被很多朋友所错误理解的手机性能指标之一，很多对手机拍照要求比较高的朋友都会觉得像素数高低就成像效果的决定因素，而这一点显然是被误读了的。除此之外，还有不少手机参数很多朋友都缺乏一个正确的理解，所以今天笔者就罗列几个时下比较常见的并且容易混淆的概念为大家一一解读一下。相信看过本文之后，大家会对很多参数有一个较为全面的了解。
Retina技术与IPS屏幕
苹果iPhone 4屏幕采用Retina Display技术
苹果iPhone 4可以说是目前当之无愧的机皇之一，而它强悍的整机规格也为它出众的性能表现提供了有力的硬件保障。而其所配备的那块3.5英寸触控屏幕正是它的一大亮点。不过，这块屏幕却给很多用户带来了一些概念上的混淆，即Retina技术以及IPS屏幕材质。
苹果iPhone 4表现出色的IPS材质屏幕
对于苹果iPhone 4的屏幕，想必很多人对它的概念比较模糊。甚至有些相关文章中赫然出现“Retina 材质屏幕”的字样，更是让普通用户颇为难以理解。其实对于这个问题是比较简单的，所谓“Retina”是一种显示技术，就是它可以把更多的像素点压缩至一块屏幕里，这也就可以达到更高的分辨率，以及提高屏幕显示的细腻程度。而对于“IPS”，其是一种屏幕材质，相对目前最为常见的TFT材质有着可视角度高、响应速度快，色彩还原准确等优势，综合Retina技术以及IPS屏幕材质，也就让目前苹果iPhone 4的屏幕显示效果非常出众。
除了苹果iPhone 4的屏幕概念混淆，很多朋友对夏普多款手机也同样存在着这样理解误差。就像很多
相关文章会将很多夏普手机屏幕形容成“ASV材质屏幕”，严格的说，这就是一种错误的说法。因为ASV同Retina一样，是一种屏幕显示技术，所以对于夏普手机的屏幕来说，应该是采用ASV技术的CPA材质屏幕或者采用了ASV技术的TFT材质屏幕。
电容屏与电阻屏
随着苹果iPhone的横空出世，可以说大大加速了采用触控操作设计手机的普及速度。以当下的市场来看，几乎所有中高端手机都已经采用触控操作了。但对于触控屏幕的选择上，一些对手机不了解的用户却比较随意，并没有意识到电容屏幕和电阻屏幕在操控体验上的区别。
就目前的手机发展来看，电容屏取代电阻屏已经是大势所趋。电阻屏采用的是受压方式来测算触控操作，而电容屏则更接近“触摸”的方式。以目前非常实用的多点触控操作来说，电阻屏有先天上的劣势。而就使用手感上来看，电容屏幕也有着比较大的优势。
虽然如上文所说，电容屏对比电阻屏有着不小的优势，但就当下的触屏手机来说，电阻屏还是适合一些习惯用指甲操作的用户。因为绝大多数电容屏并不支持指甲或者手写笔的操作方式，所以在很多输入的精准度上会略逊于电阻屏。所以在选择上，要根据自己的操作偏好来选择，并不是电阻屏幕在目前就完全的不实用。
ROM与RAM
HTC Diamond正面图
对于RAM和ROM这两个手机参数来说，其实是比较容易理解的。不过笔者在日常生活中仍然发现很
多朋友并不是充分认识了它们的概念。对于很多人所追求的系统以及处理器主频来说，RAM和ROM来说显然没有得到足够的认识。
HTC Diamond硬件配置
RAM就是我们日常所说的“运行内存”，存储在运行内存中的数据，在手机断电之后会消失。而ROM 则是我们日常所说的“机身内存”，其的作用一用来保存一些数据，这些数据在手机断电之后不会消失。简单的说，运行内存更是电脑上所说的“内存”，更大的机身内存可以运行更多的程序，并且运行速度来不会有明显的衰减。而机身内存则更像是“硬盘”，用来存储数据。
相对处理器主频来说，很多不了解手机的网友并没有给这两个参数给予足够的重视，但这两个硬件参数却实实在在的影响着整机的表现，所以在选购过程中，除了要关注处理器的架构、主频以外，RAM和ROM也要相应的有所重视。不过对于用过智能手机尤其是Windows Mobile系统的机友来说，相信对这两个参数都有着更深的概念，因为Windows Mobile所刷的ROM就要占用ROM的空间，所以RAM和ROM 都非常重要。
趣味小提示：
刷的ROM就要占用ROM的空间：很多不怎么接触过智能手机的朋友可以会觉得这句话难以理解。对于这句话来说应理解为，前面的“ROM”是指手机的“固件”，而固件是安装到机身内存的。如此一来，这句话也就不难理解的。
像素数与传感器
对于手机拍照成像效果来说，是很多人都存在误区的。而这个误区的由来，则与早期的手机摄像头像素数有着很大的关系。最初的11万像素摄像头，到后来的30万，随后的百万像素、320万像素。因为最初的像素数很少以及技术低劣，所以拍出的样张也非常令人失望，而随着像素数的大幅提升，手机拍照样张的分辨率也越加提高，这也必然让图像质量愈加清晰。这样的一个过程，也就让很多人把拍照成像效果单纯的认为是像素数所决定的，而这显然是被误读了的。
目前手机拍照已经发展至了千万像素，我们以诺基亚N8为例，其采用了1200万像素的摄像头，而对于该机的实拍效果不少人觉得是其他千万像素的手机相差不多，而这一点显然是一个错误的认识。
了解数码相机的朋友相信都知道，其实对于成像效果来说，感光元件以及厂商的技术才是决定效果的主因，而像素数的提高只是提高了拍照样张的尺寸，对于效果来说并没有实质的提升。而由于诺基亚N8
采用了尺寸更大的感官元件，甚至其感光元件的尺寸已经超过了目前市售的很多数码相机。这样的配置也就自然让它的拍照效果有了质的飞跃。
综上所述，对于手机拍照的成像效果来说，并不能以单纯的像素数来衡量，而是要根据其所采用的感官元件尺寸以及厂商所配备的相关技术。
WAPI与Wi-Fi
Wi-Fi是终端以无线方式互相连接的技术。简单的说，就是配备Wi-Fi接入功能的手机可以利用无线局域网进行高速上网或者进行其他操作。不过早前一些支持这个功能的该版机所对应的行货手机对这个功能进行了缩水。其中诺基亚诸多机型以及苹果iPhone 3GS 16GB/32GB则最具代表性。不过之后我国推出了WAPI标准，并且已经兼容了Wi-Fi接入。
诺基亚E72i正面图
对于WAPI这个功能上，虽然已经有很多人都了解了WAPI与Wi-Fi的关系，但还是有部分朋友偶尔会询问我的手机这个手机怎么不支持Wi-Fi接入的功能。其实对于用户层面的认识而言，我们完全可以把WAPI和Wi-Fi接入看成是一样的东西。虽然两者的协议并不相同，但在硬件上却是完全兼容的，所以一般来说，在用户的角度来说，WAPI和Wi-Fi是没有区别的。
双卡双网双模单待双待
随着社会的高速发展，越来越多的人在日常生活中都不只有一个电话号码，而这样的情况下，双卡双待手机也就应运而生。不过同样衍生出的概念还有双网双待、双模双待，这些概念无疑让很多用户造成了认知上的障碍。下面，笔者就来为大家简单介绍一下。
双卡双待：顾名思义，就是指手机可以插入两张手机卡，而且能同时待机。不过值得注意的是，一般所说的双卡双待所支持的网络都是单一网络，比如两张卡都只是支持GSM网络，或者只是支持CDMA网络。
双网双待：其实双网双待也是一种双卡双待，不过与其不同的是，双网双待支持的是两种不同的网络同时待机。比如同时支持GSM和CDMA网络，这也方面了很多用户两张SIM卡，并且不在同一制式网络的用户。值得一提的是，其实所谓的双模手机也就是双网手机。
说过双卡、双网、双模之后，“双待”则是很多用户所忽略的一个元素。目前市售的很多机型中都是“单待”，即虽然有两个卡槽，但却只支持其中一张卡在线，这对实用性上有着很大的影响，所以打算购买这类手机的用户，要注意自己买的双卡或者双网手机是不是“双待”。
GPS和A-GPS
对于目前来说，有车一族已经越来越多，而上下班开车以及自驾游的人也越来越多，在这样的情况下
手机GPS功能也就显得尤为重要。但在GPS方面也很多朋友也会对GPS和A-GPS这两个概念有些混淆。笔者身边就有些朋友时常抱怨为什么自己支持A-GPS功能的手机在室内老是搜不到GPS信号，而有着这样困惑的朋友相信不在少数。
对于上面所说的这类情况，就是很多朋友对A-GPS的概念没有完全理解所造成的。所谓A-GPS就是一种结合网络基站信息和GPS信息对移动台进行定位的技术，暨利用全球卫星定位系统GPS，又利用移动基站，解决了GPS覆盖的问题。而通过基站定位的特性也让它的定位精准度相比GPS技术高了不少。但目前所存在的缺点就是在室内由于墙壁的阻碍也影响了A-GPS定位的准确度，所以一般在较为空旷的地方A-GPS对比普通GPS技术精准度上都有着不小的优势。
通过这一番原理的解释，之前那个为什么A-GPS设备在室内无法搜到信号的问题也就迎刃而解了。值得一提的是，A-GPS技术除了具备定位精准这个优势以外，首次定位的时间对比GPS也有着很大的优势。所以在选购过程中，A-GPS有着更高的实用性。
结束语：
本文中，笔者对几个很多网友比较容易弄混或者误读的手机参数。可能在很多手机达人来说这些简单的概念并没有太多的参数价值，但在笔者日常生活中发现，还是有很多朋友对比有些迷糊的，所以对几个比较容易混淆的概念做了一些简单的解释，相信对于打算购买手机的朋友有一些参考作用
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0） 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解. （x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ） 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF?FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（） A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a 得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0 ∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵ y02≥0 而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ） 二、利用判别式构造不等式
参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究
参数方程与齐次化方法在解析几何问题中的应用探究 复旦实验中学 袁青 2013年高考上海理科试卷第22题为解析几何问题，研究讨论直线与曲线位置关系问题，很多学生看着感觉能做，一做却又做错．其实该题并不用于高三阶段一般的解析几何训练题，简单地将问题转化为联立直线与曲线方程，对方程的根进行讨论，与一般直线与圆锥曲线的关系练习题中联立方程之后直接利用根与系数关系研究弦长、面积、定点等问题有是有很大区别的．尤其在（3）中，如果没有办法利用图像先得知1k >，则会很难寻找到与1k ≤的这样一对矛盾关系，而这体现了学生对“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一实质的理解．本文对此题解法做进一步探究，研究一下在把握住“解析几何问题毕竟是个几何问题”这一大原则的基础上，参数方程和齐次化方法可能给解题带来的方便． 考题再现：（2013年理科第22题，文科第23题） 如图，已知双曲线1C ：2 212 x y -=，曲线2C ：1y x =+．P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、 2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”． （1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时，要使 用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 （不要求验证）； （2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证 明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：圆2212 x y +=内的点都不是“12C C -型点”． 标准答案所给解法：（1）1C 的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式： x = (y k x = ，其中k ≥ （2）因为直线y kx =与2C 有公共点，所以方程组1y kx y x =??=+?有实数解，因此1kx x =+，得11x k x +=>． 若原点是“12C C -型点”，则存在过原点的直线与1C 、2C 都有公共点． 考虑过原点与2C 有公共点的直线0x =或y kx =（1k >）． 显然直线0x =与1C 无公共点． 如果直线为y kx =（1k >），则由方程组2212 y kx x y =???-=??得222012x k =<-，矛盾． 所以，直线y kx =（1k >）与1C 也无公共点． 因此，原点不是“12C C -型点”．
解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧
解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12 x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0 x ，常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点 00(,) x y ，常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．
高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的种方法
从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其 上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 =||||2||||||2 12 212221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c -
解析几何中的定点、定值问题(含答案)
解析几何中的定点和定值问题 【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不 变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习 1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0) 【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ， 故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=． 注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出． 令4400x y -=??=? 得定点(1,0). 2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、 分别有斜率12k k 、 ，则12k k ?=______________． 【答案】-2 【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y -- 220001222 000y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?=-+-， 又由A 、P 均在椭圆上，故有：22 0022 21 21 x y x y ?+=??+=??，
两式相减得2 2 2 2 002()()0x x y y -+-= ，22 0122 2 02y y k k x x -?==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24 e 【解析】 设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-, 与椭圆方程联立消去y 整理可得() 22223424361080k x k x k +-+-=, 则22121222 2436108 ,3434k k x x x x k k -+== ++, 所以122 1834k y y k -+= +, 则AB 中点为222129,3434k k k k ?? - ?++?? . 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ?? +=-- ?++??, 令0y =,则2 2334k x k =+,即22 3,034k N k ?? ?+?? , 所以2222 39(1) 33434k k NF k k +=-=++. () 22 36134k AB k += =+,所以14 NF AB =. F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+ 上的动点，若PA PF =常数，则此椭圆的离心率是
解析几何中定值与定点问题
解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
高中数学解析几何中参数的取值范围
近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
解析几何求轨迹方程的常用方法讲解
解析几何求轨迹方程的常用方法 求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4 5 sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、 C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程. 【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆 圆心P 的轨迹方程。 【变式】：⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 二：用直译法求轨迹方程 例3：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？
高中数学解析几何中求参数取值范围的方法-
高中数学解析几何中求参数取值范围的方法 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 ?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 ∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a ∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 ∴tanθ=2S ∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4 又∵0≤θ≤π ∴π4 <θ< p> 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p> 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a 得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0 ∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立 又∵y02≥0 而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )
解析几何中求参数取值范围的方法
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围 常见的策略和方法. 例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆
方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题. 解: 依题意有 tan=2S ∵12 2 1 tan4 又∵0 4 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ||a|,则a的取值范围是 ( ) A a0 B a2 C 02 D 0 p 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ||a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| a 得y02+( y024 -a)2a2 即y02(y02+16-8a) 0
解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中参数范围问题的求解策略 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1、椭圆),0(1 22 22为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点 P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ， 双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。当4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心 率e 的取值范围。 背景之二：曲线自身的范围 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a b y a x (122 22=+>b >0) 中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途 径之一。 例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。 例4、设椭圆 11 22 =++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。 (1)求实数m 的取值范围； (2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若 32| |2-=PF QF ， 求直线PF 2的方程。 背景之三：二次方程有解的条件 直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。 例5、给定双曲线x ２ －2 2 y = 1，过点B (1，1)能否作直线l ，使l 与所给双曲 线交于P 1及P 2，且点B 是线段P 1P 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 例6、已知直线1:+=kx y l 与双曲线12:2 2=-y x C 的右支交于不同的两点A 、B 。 (1)求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。 背景之四：已知变量的范围 利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。 1、双参数中知道其中一个参数的范围； 例7、已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1, 0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m , 0)到直线AP 的距离为1。 (1)若直线AP 的斜率为k ，且]3,3 3 [||∈k ，求实数m 的取值范围； (2)当12+= m 时，APQ ?的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。
(no.1)2013年高中数学教学论文 在解析几何中求参数范围的9种方法
(no.1)2013年高中数学教学论文在解析几何中求参数范围的9种方法
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景 解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。 背景之一：题目所给的条件 利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。 例1：椭圆),0(12 2 2 2 为半焦距c b c a b y a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P(x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。 解：设P(x 1, y )，∠F 1PF 2是钝角?cos∠F 1PF 2 = | |||2||||||212 2 12221PF PF F F PF PF ?-+ 222212221)(||||||0y c x F F PF PF ++?<+?<2)(c x -+2 2224y x c y +?<+22 22222222 2 )(x a b a c x a a b x c -?<-+?<)(2 222222b c c a x b c -
解析几何中的参数方法
参数思想及参数方法在解析几何中的应用 一、知识概要 1．一般曲线的参数方程? ??==)() (t g y t f x （t 为参数）x ，y 分别是参数t 的函数。 2．直线的参数方程 设直线l 过定点P 0（x 0，y 0），α为其倾斜角，P （x 、y ）是l 上任一点，P 0P ＝t （有向线段P 0的数量）， 则直线l 的参数方程是? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x ，当P 点在P 0的上方（右方）时t>0；当P 在P 0的下方（左方）时 t<0。 如果把直线l 看成以P 0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t 是点P 的坐标。设P 1，P 2是直线l 上的两个点，分别对应t 1，t 2（即P 0P ＝t 1，P 0P ＝t 2），则线段P 1P 2的中点对应t 中＝2 2 1t t +；线段P 1P 2的长度为|P 1P 2|＝|t 1－t 2|。 3．圆的参数方程 圆：(x －x 0)2 ＋(y －y 0)2 ＝r 2 的参数方程为：???+=+=α α sin cos 00r y y r x x （α为参数，表θC 的动半径的旋转角） 4．椭圆的参数方程 椭圆：b 2(x －x 0)2＋a 2(y －y 0)2＝a 2b 2 的参数方程为：? ??+=+=θθsin cos 00b y y a x x （θ为参数，表动点P （x ，y ） 的离心角） 5．双曲线的参数方程 双曲线:b 2(x －x 0)2－a 2(y －y 0)2＝a 2b 2 的参数方程为：???+=+=θ θtan sec 00b y y a x x （θ为参数，表双曲线上动点P （x ，y ）的离心角） 6．抛物线的参数方程 抛物线:(y －y 0)2 ＝2p(x －x 0)的参数方程为：?? ???+=+=pt y y pt x x 2202 0（t 为参数，表动点P （x ，y ）与顶点连 线斜率的倒数） 二、典型例题 （一）轨迹问题 例1 （全国高中联赛） 若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点 θ（－2xy ，y 2－x 2 ）的运动方程是 A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动 B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动 C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动 解：将P （x ，y ）表示成???==t y t x ωωsin cos （ω>0，t 为参数）又令θ的坐标为（u ，v ），则u ＝－2xy
解析几何中如何计算参数取值范围
解析几何中如何计算参数取值范围近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2+y2b2=1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多 个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去 表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解 决变量取值范围常见的策略和方法. 例1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0) 求证:-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解:设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆
方程,作差得:y2-y1x2-x1=-b2a2?x2+x1y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y-y1+y22=-x2-x1y2-y1(x-x1+x22) 令y=0得x0=x1+x22?a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2+y2b2=1上的点 ∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a ∴-a2-b2a≤x0≤a2-b2a 例2如图,已知△OFQ的面积为S,且OF?FQ=1,若122,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S 的范围解题. 解:依题意有 ∴tanθ=2S ∵122∴1tanθ4 又∵0≤θ≤π ∴π4p 例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足 |PQ|≥|a|,则a的取值范围是() Aa0Ba≤2C0≤a≤2D0p 分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a|求解. 解:设Q(y024,y0)由|PQ|≥a 得y02+(y024-a)2≥a2即y02(y02+16-8a)≥0
解析几何综合题解题方法总结
解析几何综合题解题方法总结 富源县第一中学 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关. 一、判别式 案例1 已知双曲线12 2:2 2=-x y C ，直线l 过点() 0,2A ，斜率为k ，当10< 简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2 122 12)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //A B 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C B y Ax :l ,0C B y Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C B y A x :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C B y Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ??=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2 122 ))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ2121或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 1121t a n k k k k +-=α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2 , 0(π∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。高中解析几何基本公式