导数及其应用高考题精选(含答案)知识讲解

导数及其应用高考题精选

1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线2

x

y x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ）

（A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

【规范解答】选 A.因为 2

2

(2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率1

2

2

2(12)

x k y =-'

==

=-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A.

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：

万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3

1812343

y x x =-+-，

则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） (A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故

选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2

x ,y=3

x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）

112

(B)

14

(C)

13

(D)

712

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为(0,0)，

(1,1)，故所求封闭图形的面积为1230x -x )dx=

?（1

11

1-1=34

12

??,故选A. 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P 在曲线y=4

1

x e +上，α为

曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） (A)[0,4

π) (B)[,)42

ππ 3(,

]24

ππ

(D) 3[

,)4

π

π 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan α的范围，再根据正切函数的性质求α的范围。 【规范解答】选D.

[)224,1444'1

1(1)()2121

0'0,1'01tan 0,30D 4

x

x x x x x x x

x x y e e e y e e e e e e x e

y y ααπ

απαπ=

+---∴===≥=-+++++=<∴-≤<-≤<∈∴

≤

又。设倾斜角为，则又，，。故选

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）4

21dx x

?等于（ ）

A 、2ln 2-

B 、2ln 2

C 、ln 2-

D 、ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

【思路点拨】记住x 1

的原函数.

【规范解答】选D .421

dx x

?=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,k N *∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是________

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由0y =，即可求得切线与x 轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x 2(x>0)得，2y x '=，

所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：

22(),

k k k y a a x a -=-

当0y =时，解得2

k

a x =， 所以1135,1641212

k

k a a a a a +=

++=++=. 【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m 正三角形薄片沿一条平

行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2

(S =

梯形的周长）

梯形的面积

,则S 的最小值是____ ____。

【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ，然后用x 分别表示梯形的周长和面积，从而将S 用x 表示，利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ，

则：22

2

(3)(01)1x S x x

-==<<- 方法一：利用导数的方法求最小值。

22(3)()1x S x x -=-

，2222(26)(1)(3)(2)

()(1)x x x x S x x -?---?-'=-

222222

(26)(1)(3)(2)2(31)(3)(1)(1)x x x x x x x x -?---?----==-- 1

()0,01,3

S x x x '=<<=，

当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当

1

[,1)3

x ∈时，()0,S x '>递增； 故当13x =时，S

。 方法二：利用函数的方法求最小值

令

1113,(2,3),(,)32

x t t t -=∈∈，则：222441

8668331t S t t t t

=?=?

-+--+- 故当131,83x t ==时，S 的最小值是3233

。 【答案】

323

3

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。

8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M （x,y ）,则点M 取自阴影部分的概率为 ；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

【规范解答】阴影部分的面积为1

1

23003 1.S x dx x ===?阴影所以点M 取自阴影部分的概率为11

313

S P S =

==?阴影长方形 答案：1

3

9．（2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函

数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分1

0()f x dx ?,先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数1x ,2x …,N x 和

1y ,2y …,N y ,由此得到N 个点(,)i i x y （i=1,2,…,N ）,在数出其中满足1y ≤

1()f x （（i=1,2,…,N ））的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分

1

()f x dx ?

的近似值为 .

【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.

【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.

【规范解答】由题意可知，,x y 所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足i y ≤()i f x 的点(,)i i x y 落在y=f(x)、0y =以及1x =、

0x =围成的区域内，由几何概型的计算公式可知1

0()f x dx ?的近似值为

1

N N

. 答案：

1

N N

10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数f (x )=In(1+x )-x +22

k

x ，

(k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。

【思路点拨】（1）求出'(1)f ，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k 讨论'()f x 的正负，从而确定单调区间。

【规范解答】（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1

'()121f x x x

=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2

f =，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2

y x -=- 即 322ln 230x y -+-=

（II ）1(1)

'()111x kx k f x kx x x

+-=

-+=++，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，

'()1x

f x x

=-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.

当01k <<时，由1()

'()01k

kx x k f x x --

==+，得1

0x =，210k x k

-=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,

)k

k

-上，'()0f x < 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是

1(0,)k

k

-. 当1k =时，2

'()1x f x x

=+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞.

当1k >时，1()

'()01k

kx x k f x x --

==+，得1

1(1,0)k x k

-=∈-，20x =. 所以在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k

k

-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k

k

- 【方法技巧】

（1）()y f x =过00(,())x f x 的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。 （2）求单调区间时要在定义域内讨论'()f x 内的正负。