高考数学 函数的解析式及定义域 专题

高考数学 函数的解析式及定义域 专题

一．课题：函数的解析式及定义域

二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将

一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．

三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含

字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．

四．教学过程：

（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解． （二）主要方法：

1．求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 2．求函数定义域一般有三类问题：

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出． （三）例题分析： 例1．已知函数1()1x

f x x

+=

-的定义域为A ，函数()y f f x =????的定义域为B ，则 ()A A B B =U ()B A B ≠

? ()C A B = ()D A B B =I （ D ）

解法要点：{}|1A x x =≠，121

[()]()(1)11x y f f x f f x x x

+===-+=---， 令2

111x

-+

≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠I ． 例2．（1）已知3

311()f x x x x

+=+，求()f x ；

（2）已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

（4）已知()f x 满足1

2()()3f x f x x

+=，求()f x ．

解：（1）∵3331111

()()3()f x x x x x x x x +=+

=+-+，

∴3

()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．

（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2

()lg (1)1

f x x x =>-．

（3）设()(0)f x ax b a =+≠，

则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．

（4）12()()3f x f x x += ①，

把①中的x 换成1

x

，得132()()f f x x x += ②， ①2?-②得33()6f x x x =-，∴1

()2f x x x

=-．

注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数

法；第（4）题用方程组法． 例3．设函数2

221

()log log (1)log ()1

x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；

（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由101100x x x p x +?>?-??->?

->??

，解得1

x x p >??

当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<， ∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．

（2）原函数即2

2221(1)()log [(1)()]log [()]24

p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112

p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值；

当112

p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值．

例4．《高考A 计划》考点8，智能训练15：已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．

①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上

的解析式．

解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，

∴(1)(4)0f f +=．

②当[1,4]x ∈时，由题意可设2

()(2) 5 (0)f x a x a =-->， 由(1)(4)0f f +=得2

2(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2

()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．

③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，

又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而

2(1)2(12)53f =--=-，

∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，

从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+．

当69x <≤时，154x <-≤，∴2

2

()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--

∴2

315,46

()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤?=?--<≤?

． 例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目

的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3

m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3

m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．

解：设每月用水量为x 3

m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)

c x a

y b x a c x a

+≤≤?=?

+-+>?

由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153

m ，223

m 均大于最低限量a 3

m ，

于是就有198(15)338(22)b a c b a c =+-+??=+-+?

，解之得2b =，从而219 (3)a c =+

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3

m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得

982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤． 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =． （四）巩固练习：

1．已知2

()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x

f 的定义域为(,0]-∞．

2．函数1

sin 21sin 2

x

y x +=-的定义域为{|(1)

,}6k x x k k Z ππ≠+-∈．

五．课后作业：《高考A计划》考点8，智能训练4，5，10，11，12，13．