学而思高中数学空间几何量的计算.板块七.空间几何量计算综合问题.学生版

【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的

腰，以下四个命题中，假命题是（ ）

A ．等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等

B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

O

H P

D

C

B

A

【例2】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且

总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．线段1

B

C B ．线段1BC

C ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段

D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段

C 1

B 1

A 1

D C B

A

P

【例3】 （2010重庆高考）

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线

典例分析

板块七.空间几何量计算综合

问题

的平面内的轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线

【例4】 （2010福建高考）

如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11EH A D ∥，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．EH FG ∥

B ．四边形EFGH 是矩形

C ．Ω是棱柱

D ．Ω是棱台

A

B C

D E F G

H D 1C 1B 1

A 1

【例5】 （2010江西高考）

过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作 A ．1条 B ．2条 C ．3条

D ．4条

D 1C 1B 1

A 1

D

C

B

A

【例6】 （2010全国卷Ⅱ高考）

11．与正方体1111ABCD A B C D =的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点

A ．有且只有1个

B ．有且只有2个

C ．有且只有3个

D ．有无数个

【例7】 （2009海南）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个

动点，E F ，且2

EF =

） A ．AC BE ⊥

B ．∥EF 平面ABCD

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．异面直线，A

E B

F 所成的角为定值

F E

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例8】 （2008辽宁）

在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条

P

N

M

D 1

C 1

B 1

A D

B

【例9】 （2009安徽文15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 ．（写出

所有正确命题的编号）．

①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；

②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ?的三条高线的交点； ③若分别作ABC ?和ABD ?的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

【例10】 （2010年一模·西城·文·题17）

如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱PC 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；

⑶在ACB ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．

侧（左）视图

正（主）视图P

D

C

B

A

22

22

2

2

4

4

4

【例11】 （2010年二模·宣武·文·题16）

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， ⑴ 求这个组合体的体积；

⑵ 若组合体的底部几何体记为1111ABCD A B C D -，其中11A B BA 为正方形． ⅰ）求证：1A B ⊥平面11AB C D ；

ⅱ）求证：P 为棱11A B 上一点，求1AP PC +的最小值．

俯视图

左视图

主视图

10

812

4

8

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例12】 （2010年二模·宣武·理·题16）

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， ⑴求这个组合体的表面积；

⑵若组合体的底部几何体记为1111ABCD A B C D -，其中11A B BA 为正方形． ⅰ）求证：111A B AB C D ⊥平面；

ⅱ）设点P 为棱11A D 上一点，求直线AP 与平面11AB C D 所成角的正弦值的取值范围．

10

12

4

8

8

左视图

俯视图

主视图

P D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例13】 （2009广雅期中）

已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点．

俯视图

左视图

主视图

2

2

1

111

E

D

C

B

A P

⑴求四棱锥P ABCD -的体积；

⑵是否不论点E 在何位置，都有BD AE ⊥？证明你的结论．

【例14】 （2009江门市一模）

如图，四棱锥P ABCD -，PAB CBA ??≌，在它的俯视图ABCD 中，BC CD =，1AD =，60BCD BAD ∠=∠=?． ⑴求证：PBC ?是直角三角形； ⑵求四棱锥P ABC -的体积．

俯视图

直观图

A (P )

B

C D

P

D

C

B

A

【例15】 （2009安徽文20）

如图，ABCD 是边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，E 和F 是l 上的两个不同点，且EA ED =，FB FC =．E '和F '是平面ABCD 内的两点，EE '和FF '都与平面ABCD 垂直．

⑴证明：直线E F ''垂直且平分线段AD ；

⑵若60EAD EAB ∠=∠=?，2EF =，求多面体ABCDEF 的体积．

l F'E'

F

E

D

C

B

A

【例16】 如图，在矩形ABCD 中，33AB =，3BC =，沿对角线BD 将BCD ?折起，使

点C 移到C '点，C O '⊥面ABD ，且O 在AB 上．

⑴求证：BC '⊥平面AC D '； ⑵求点A 到平面BC D '的距离；

⑶求直线AB 与平面BC D '所成角的正弦值．

D

C

B

A

O

(C )

A B

C '

【例17】 如图，ACD ?和ABC ?都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=o ，把三角形ABC

沿AC 边折起，使ABC ?所在的平面与ACD ?所在的平面垂直，若6AB

⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．

H A

B

D

C

D

C

B

A

【例18】 （2006江苏-19）在正ABC ?中， E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，

满足:AE EB ::CF FA CP ==1:2PB =，将AEF ?沿EF 折起到1A EF ?的位置，使

二面角1A EF B --成直二面角，连结11A B A P 、 ⑴求证：1A E ⊥平面BEP

⑵求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小 ⑶求二面角1B A P F --的余弦值大小．

F

E

C

P

A 1B

P

F E

D C

B

A

【例19】 （07湖南理18）如图1，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是

EF 上的一点，将GAB ?，GCD ?分别沿AB CD ，

翻折成1G AB ?，2G CD ?，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，

如图2．

A B

C

D

E F G

图1A

E B

C

F

D G 1G 2图2

⑴ 证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；

⑵ 当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角；

【例20】 （2009江西）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，

4PA AD ==，2AB =． 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点

M ，交PC 于点N ．

⑴求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

O

P

N M D

C

B

A

⑵求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； ⑶求点N 到平面ACM 的距离．

【例21】 （2003京皖春）

如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为22，侧棱长为4．E F ，分

别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =I ． ⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．

D 1

C 1

B 1

A 1

G

F

E

D

C

B A

【例22】 （2009扬州中学高三期末）

在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=?，60BAC CAD ∠=∠=?，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积V ；

⑵若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ．

F

E

D

C

B

A

P

【例23】 如图，已知PA O ⊥⊙所在的平面，AB 是O ⊙的直径，2AB =，C 是O ⊙上一点，

且AC BC =，PC 与O ⊙所在的平面成45?角，E 是PC 中点．F 为PB 中点．

⑴求证：EF ABC 面∥；⑵求证：EF PAC ⊥面；⑶求三棱锥B PAC -的体积．

O F

E

C

A

P

【例24】 （05-天津-19）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，

11A A A B a ==，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120o ，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点．

⑴求1AA 与底面ABC 所成的角； ⑵证明：1EA ∥平面1B FC ；

⑶求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积．

E F C 1

B 1

C B A

A 1

如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． ⑴ 求证：1AB ⊥面1A BD ； ⑵ 求二面角1A A D B --的大小； ⑶ 求点C 到平面1A BD 的距离；

1

B 1

A 1

D

C

B

A

\

【例26】 如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底边长为2，高为4，过AB 作一截面交侧

棱1CC 于P ，截面与底面成60o 角，

⑴求截面PAB ?的面积；

⑵求点C 到平面ABP 的距离；

⑶求PB 与平面11A B BA 所成的角的正弦值．

P

B

C 1

B 1

A 1

C

A

【例27】 （05-江西-20）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点

E 在棱AD 上移动．

⑴证明：1D E ⊥1A D ；

⑵当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；

⑶AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π

4

．

E

A

C D

A 1

B 1

1

D 1

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，

2AB =．

以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ． ⑴求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

⑵求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； ⑶求点N 到平面ACM 的距离．

O

P

N M D

C

B

A

【例29】 （08北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=?，

AP BP AB ==，PC AC ⊥．

⑴ 求证：PC AB ⊥；

⑵ 求二面角B AP C --的大小； ⑶ 求点C 到平面APB 的距离．

P

C

A

B

D

【例30】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是2AB =，2BC =的矩形，侧面PAB 是等边

三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．

⑴证明：BC ⊥侧面PAB ；

⑵证明：侧面PAD ⊥侧面PAB ；

⑶求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小．

D

C

B

A

P

【例31】 如图，P ABCD -是正四棱锥，

1111ABCD A B C D -是正方体，其中2AB =，6PA ⑴求证：11PA B D ⊥；

⑵求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； ⑶求1B 到平面PAD 的距离．

P B 1

D 1

C 1

A 1

D

C

B

A

【例32】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2侧棱长为4．E F

，分别为棱AB BC ，的中点，EF BD G =I ．

⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ；

⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．

D 1

C 1

B 1

A 1

G

F

E

D

C

B A

【例33】 （07福建理18）

如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． ⑴ 求证：1AB ⊥面1A BD ； ⑵ 求二面角1A A D B --的大小； ⑶ 求点C 到平面1A BD 的距离；

1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例34】 （05-江西-20）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点

E 在棱AD 上移动．

⑴证明：1D E ⊥1A D ；

⑵当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；

⑶AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π

4

．

E

A

C D

A 1

B 1

1

D 1

【例35】 已知111ABC A B C -为正三棱柱，D 是AC 的中点．

⑴证明：1AB ∥平面1DBC ； ⑵若11AB BC ⊥，2BC =． ①求二面角1D BC C --的大小；

②若E 为1AB 的中点，求三棱锥1E BDC -的体积．

H

O E C

B

A

C 1

B 1

A 1

【例36】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD ．

⑴若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60o ，求这个四棱锥的体积；

⑵证明无论四棱锥的高怎样变化，二面角C PD A --恒大于90o

A

C

B

D

P

【例37】 （1999全国-文22）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点E 在棱1DD 上，

截面EAC ∥1D B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45o ，AB a =．

⑴求截面EAC 的面积；

⑵求三棱锥1B EAC -的体积．

O

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

E

【例38】 （08辽宁卷19）如图1，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，

()01AP BQ b b ==<<，截面PQEF A D '∥，截面PQGH AD '∥．

⑴ 证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；

⑵ 证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；

⑶ 若D E '与平面PQEF 所成的角为45?，求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值．

D'B'P

F D H G

C'

Q C

E B A

A'图1

【例39】 （2009西城区一模）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=?，AB CD ∥，

又1AB BC PC ===，2PB =2CD =，AB PC ⊥． ⑴求证：PC ⊥平面ABCD ； ⑵求二面角B PD C --的大小； ⑶求点B 到平面PAD 的距离．

D

C

B

A

P

【例40】 （2009石景山区一模）

如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45°．

⑴求此正三棱柱的侧棱长；

⑵求二面角A BD C --的大小； ⑶求点C 到平面ABD 的距离．

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例41】 （海淀二模）

如图，直三棱柱111A B C ABC -中，12C C CB CA ===，AC CB ⊥．D 、E 分别为棱1C C 、11B C 的中点．

⑴ 求点B 到平面11AC CA 的距离； ⑵ 求二面角1B A D A --的大小；

⑶ 在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

F A B

C

D

E

C 1

B 1

A 1