湘教版-数学-七年级上册-与角的平分线有关的典型例题

与角的平分线有关的典型例题

对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点：

（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分．

（2）要掌握角平分线的数学表达式．

下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题

例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数．

解：因为OD 、OE 分别是∠AOC 、∠COB 的平分线，

所以∠COD=

21∠AOC ，∠COE=2

1∠COB ， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2

1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数．

分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找

到角与角之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求

出∠COD 的度数即可．

解：因为∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-35°=55°,

又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°,

所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解．

例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ．

（1）求∠MON 的度数；

（2）如果（1）中∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数；

（3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数；

（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？

图1 图2

图3

（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法． 请你模仿（1）～（4）设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来．

析解：此题是从特殊化的图形中，寻求解题的思路．然后回到一般图形中，探求一般规律，这也是我的解决数学问题的一种常用的思考方法．

（1）因为∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°．

因为OM 平分∠BOC ，所以∠COM=12 ∠BOC=60°．

因为ON 平分∠AOC ，所以∠CON=12 ∠A OC=12 ×30°=15°．

所以∠MON=∠COM －∠CON=60°－15°=45°；

（2）当∠AOB=α，其它条件不变时，仿（1）可得∠MON= 12 α；

（3）仿（1）可求得∠MON=∠COM －∠CON= 90°+β2 －β2 =45°

； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，可以得出一般规律：∠MON 的大小总等于∠AOB 的一半，与锐角∠AOC 的大小无关．

（5）问题可设计为：如图4，线段AB=a ，延长AB

到C ，使BC=6，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点，

求MN 的长．

规律是：MN 的长度总等于AB 的长度的一半，而与BC 的长度无关

点评：角的有关问题与线段的有关问题有许多类似之处，如数线段的方法同样适用了数角，用方程进行线段的有关计算也同样适用于角度的计算等． 图4