自动控制原理精品课程第三章习题解(1).

3-1 设系统特征方程式：

4322101000s s Ts s ++++=

试按稳定要求确定T 的取值范围。

解：利用劳斯稳定判据来判断系统的稳定性，列出劳斯列表如下：

4

3

210

11002105

100(10250)/(5)

100s T s s T s T T s --- 欲使系统稳定，须有

5025102500

T T T ->??>?->? 故当T>25时,系统是稳定的。

3-2 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为,

21(),t t t 和 时，系统的稳态误差(),()().ssp ssv ssa e e e ∞∞∞和

2210

7(1)8(0.51)(1)()(2)()(3)()(0.11)(0.51)(4)(22)(0.11)

s s D s D s D s s s s s s s s s ++===++++++

解：（1）根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为：

()(0.11)(0.51)100.050.6110D s sz s s s =+++=++=

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。由G(s)

可知，系统是0型系统，且K=10，故系统在21(),t t t 和输入信号作用下的稳态误差分别为： 11(),(),()111

ssp ssv ssa e e e K ∞==∞=∞∞=∞+ (2)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为：

432()6101570D s s s s s =++++=

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且

2212032143450,/16.8a a a a a a a ?=-=>?>=以及，因此系统是稳定的。 227(1)(7/8)(1)()(4)(22)s(0.25s+4)(0.5s 1)

s s D s s s s s s ++==+++++

由G(s)可知，系统式I 型系统，且K=7/8,故系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为：

()0,()1/,()ssp ssv ssa e e K e ∞=∞=∞=∞

(3)根据系统的开环传递函数可知系统的特征方程为：

32()0.1480D s s s s =+++=

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，且21203 3.20a a a a ?=-=>因此系统是稳定的。

由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为： 2()0,()0,()0.25ssp ssv ssa e e e K

∞=∞=∞=

= 3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为 100()(0.11)

G s s s =+ 试求当输入信号2()12r t t t =++时，系统的稳态误差.

解：由于系统为单位负反馈系统，根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为：

2()0.11000D s s s =++=

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由G(s)可知，系统是Ⅱ型系统，且K=8,故系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为10,,K

∞，故根据线性叠加原理有：系统的稳态误差为： 1()0ss e K

∞=++∞=∞ 3-4 设舰船消摆系统如图3-1所示，其中n(t)为海涛力矩产生，且所有参数中除1K 外均为已知正值。如果()10o n t =×1()t ，试求确保稳态误差值

()0.1

o ssn e ∞≤的1K 的值（e(t)在输入端定义）。

图3-1 舰船消除摆系统

解：根据图可知系统的特征方程为：

2212()(1/)(2/)10n n D s s w s K K ωξ=+++=

由赫尔维茨判据可知，n=2且各项系数为正，因此系统是稳定的。

由图可知舰船消摆系统为一负反馈系统，且在扰动N(s)作用下，其前向通道传递函数为

22()2n n

G S s s ωξω=++ 反馈通道传递函数为12()H s K K =

则02212

()1()()()1()()(1/)(2/)1n n G s s N s N s G s H s s w s K K θωξ==++++ 由于e(t)在输入端定义，可得

2202212

()0()()(1/)(2/)1n n n K E s K s N s s w s K K θωξ=-=-+++ 用终值定理来求解系统的稳态误差，有

2222222001212121010()lim ()lim 0.11(1/)(2/)1(1/)(2/)1ssn s s n n n n K K K e s N s s s K K s w s K K s w s K K ωξωξ→→∞=?=?=≤+++++++ 故确保稳态误差值()0.1o ssn e ∞≤的121001/K K ≥-。

3-5 已知单位负反馈的开环传递函数如下：

()(0.11)(0.51)

K G s s s s =++ 试求位置误差系数p K ，速度误差系数v K 和加速度误差系数a K ，并确定输入r(t)=2t 时系统的稳态误差()ss e ∞。

解：根据静态误差系数的定义式可得

00002200lim ()()lim

(0.11)(0.51)

lim ()()lim (0.11)(0.51)

lim ()()lim 0(0.11)(0.51)p s s v s s a s s K K G s H s s s s K K s G s H s s K s s s K K s G s H s s s s s →→→→→→===∞++=?=?=++=?=?=++ 由系统开环函数可知系统为Ⅰ型系统，故在输入r(t)=2t 时，系统的稳态误差

()/2/ss v e R K K ∞==

3-6 设前馈控制系统如图3-2所示，误差定义为e(t)=r(t)-c(t)。试选择前馈参数τ和b 的值，使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统

图3-2前馈控制系统

解：由图可知前馈控制系统的闭环系统传递函数为：

1121

()()(1)(1)K s b s T S T s K τ+Φ=+++ 根据误差定义：e(t)=r(t)-c(t)，可得：

2121211121

()()()()[1()]

()1(1)()(1)(1)E s R s C s R s s T T s T T K s K b R s T s T s K τ=-=-Φ++-++-=+++ 欲使系统对输入r(t)成为Ⅱ系统，须有：

23()1/()0;()1/()0ss ss R s s e R s s =∞==∞≠时，时，e 即

121111

0;10;0T T K K K b TT τ+-=+-=≠， 则当选择前馈参数1211()/,11/T T K b K τ=+=+时，系统对输入r(t)成为Ⅱ型系统。

3-7 设控制系统如图3-3所示，其中12,K K 为正常；β为非负常数。试分析：（1）β值对系统稳定性的影响；（2）β值对系统阶跃响应动态性能的影响；（3）β值

对系统斜坡响应稳态误差的影响。

图3-3 控制系统

解：根据图可得系统的开环传递函数为

122()()

K K G

s s s K β=

+ （1）β值对系统稳定性的影响

通过系统开环传递函数，可得系统的特征方程为

212()0D s s K s K K β=++=

由赫尔维茨判据可知，n=2,若要求系统是稳定的，须有各项系数为正，因此当0β>时，系统稳定。

（2）β值对系统动态性能的影响。

系统的开环传递函数为

2122()()(2)n n n K K G s s s K s s ωβξωωξ==++==则

因此，β值通过影响阻尼比来影响系统的动态性能。β值越小，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。

（3）β值对系统斜坡响应稳态误差的影响

根据系统的开环传递函数可知，该系统为Ⅰ型系统，且静态速度误差系数为1/v K K β=，则该系统对单位斜坡响应的稳态误差为

1()1//ss v e K K β∞==

因此，β值越大，系统在斜坡响应作用下的稳态误差将越大。

3-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数：

（1）10()(4)(51)

G s s s s =++ （2）210(101)()(4)(51)

s G s s s s +=++ 试求输入信号分别为r(t)=t 和2()243r t t t =++时，系统的稳态误差()ss e ∞。 解 （1）由于系统为单位负反馈，根据开环传递函数，可以求得闭环系统的特征方程：

32()5214100D s s s s =+++=

由赫尔维茨判据可知，n=3且各项系数为正，且1203340a a a a -=>因

此系统是稳定的。

由 10 2.5()(4)(51)(0.251)(51)

G s s s s s s s ==++++ 可知，系统是Ⅰ型系统，且K=2.5。由于Ⅰ型系统在21(),t t t 和 信号作用下的稳态误差分别为10,,K

∞，故根据线性叠加原理有： 当系统输入为r(t)=t 时，系统的稳态误差为 11()0.4ss e K ∞=

= 当系统输入为2()243r t t t =++时，系统的稳态误差为2()ss e ∞=∞

（2）由于系统为单位负反馈系统，根据开环传递函数可以求得闭环系统的特征方程为：

432()5214100100D s s s s s =++++=

由赫尔维茨判据可知，n=3且各项系数为正，且

212034160a a a a ?=-=->因此系统不稳定，()ss e ∞不存在。

3-9设电子心律起搏器系统如图3-4所示，其中模仿心脏传递函数相当于一纯积分器。

（1） 若0.5ξ=对应最佳响应，问起搏器增益K 应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min,。突然接通起搏器，问1s 后实际心速多

少？瞬时最大是心速多大？

电子起搏器

图3-4 电子心律起搏器系统

解：（1）由图可得系统开环传递函数为

220()(0.5)(20)(2)

n n K K G s s s s s s s ωξω===+++ 经比较可得，若0.5ξ=对应最佳响应，则应取起搏器K=20。

（2）满足0.5ξ=的系统的闭环传递函数为

2400()20400

s s s Φ=

+

+

即系统的自然频率和阻尼比分别为 200.

n ωξ== 则该系统的单位阶跃响应表达式为：

sin(arccos )

10()11 1.155sin(17.3260)

n t t o h t e t ξωωξ--=-=-+

若期望心速为60次/min,突然接通起搏器，设1s 后实际心速为h(1),

则

10(1)60[1 1.155

sin(17.3260)60.0015t o h e t -=?-+=次/min

由于01ξ<

<，故系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标为

超调量：%100%16.3%e πξσ-=?= 峰值时间：0.18p t s == 设瞬时最大心速为max h 且发生在0.18p t s =时，则

故若期望心速为60次/min,突然接通起搏器，则1s 后实际心速为60.0015次/min,瞬时最大心速发生在0.18s,为69.78次/min 。

3-10 已知二阶系统的单位阶跃响应为

1.2()101

2.5sin(1.65

3.1)t o h t e t -=-+

试求系统的闭环传递函数，超调量%σ、峰值时间p t 和调节时间s t 解： 本题二阶系统单位阶跃响应为

1.2 1.2()101

2.5sin(1.65

3.1)10[1 1.25sin(1.653.1)]t o t o h t e t e t --=-+=-+

由上式可知，该系统的放大系数为10，然而放大系数是不会影响系统的动态性能的。

标准的二阶系统的单位为阶跃响应

sin()

()1n t h t ξωωβ-=-

于是有

1.2

1.25 1.6arccos 53.1o n ξωωβξ==== 解得：0.62n ξω==

故系统的闭环传递函数为 240() 2.44s s s Φ=

++ 由于01ξ<<，故系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标为：

超调量：%100%9.5%e πξσ-=?= 峰值时间：

1.96p t s == 调节时间： 3.5

2.92s n t s ξω==?（=5%）

3-11 设单位负反馈系统的开环传递函数 221()s G s s

+= 试求系统的单位脉冲响应()k t 和单位阶跃响应()h t 。

解：根据题意可得系统的闭环传递函数为 2()21()1()21

G s s s G s s s +Φ==+++ 当输入为单位脉冲时，即R(s)=1,此时

22()212(0.5)()()()1()21(1)G s s s K s s R s G s s s s ++=Φ===++++ 由于 1002[][()1]()

at s a l a a t e s a --+=--+ 所以系统的单位脉冲响应 122(0.5)()[](2)(1)

t s k t l t e s --+==-+ 当输入为阶跃信号，即1()R s s

=时，有 22(0.5)()()()(1)

s C s s R s s s +=Φ=+ 因此系统的单位阶跃响应为

122(0.5)()[]1(1)(1)

t s k t l t e s s --+==+-+ 3-12 某控制系统如图3-5所示，如果

12210(),(),()1

G s G s H s s s ===+ 试求n(t)=1(t)时，系统的稳态误差()ss e ∞

N （s ）

图3-5

控制系统 解 当仅有扰动n(t)=1(t),即1()N s s

=作用时，系统的误差函数为 212()()()()()()

()()1()01()()()E s R s H s C s H s C s G s H s N s G s G s H s s =-=-=-=?=+ 利用终值定理来求解稳态误差

001()lim ()lim 0ss s s e sE s s s →→∞==-=。 3-13 试求如图3-6所示系统r(t)=1(t)和扰动()0.21()n t t =-?同时作用下的

稳态误差。

()

n t

图3-6 控制系统 解：根据图可得系统的开环传递函数为 200()(2)G s s s =+，则该系统为Ⅰ型系统，且100v k =。故在输入r(t)=1(t)作用下，系统稳态误差为()0ssv e ∞=。当考虑扰动()0.21()n t t =-?作用，即0.2()N s s =-

时，系统问题误差为 2()()()()1()200()2200

n G s E s C s N s G s N s s s =-=-+=-++ 利用终值定理来求解稳态误差，有

2002000.2()lim ()lim 0.22200ssn n s s e sE s s s

s s →→∞==??=++ 故系统在输入r(t)=1(t)和扰动()0.21()n t t =-?同时作用下的稳态误差：

()0.2ss ssr ssn e e e ∞=+=