广东工业大学机械优化设计报告
题目名称机械优化设计实验报告学院机电工程学院
班级微电子制造14(1)班姓名李启宏
学号 3114000389 指导教师李德源
2017年6月4日
实验一:一维优化程序的设计、调试与运用
一、实验目的与要求
通过本实验使学生了解常用一维优化方法的基本原理和特点,并通过对某种具体方法的编程调试及验证,加深对该方法基本理论的理解,并培养学生独立编程能力。
学生自主从进退法、黄金分割法、二次插值法中任选一种,自编程序,调试验证后对实验指导书中所给一维问题进行求解。
二、基本原理
黄金分割法:一维搜索是解函数极小值的方法之一,其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多,这里主要采用黄金分割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率,从而可以看成是斐波那契法的近似,实现起来比较容易,也易于人们所接受。
三、实验主要仪器设备和材料
计算机
四、实验方案
1、复习教材中有关一维优化的基本理论与基本方法;
2、选定某种方法,根据其算法框图编程;
3、在计算机上用例题调试、验证;
4、用调试好的程序求解下列所给一维优化问题。
用自编优化程序求解下列一维优化问题:
2、60645)(min 234
+-+-=x x x x
x F
搜索区间:[1,10],迭代精度E1=10-5
五、问题与讨论
1、常用一维优化方法有哪些?
答:常用的一维优化方法有:格点法、 黄金分割法、二次插值法、三次插值法。
2、进退法、黄金分割法、二次插值法基本原理是什么?各有什么特点? 答:一、进退法:
原理:在搜索区间内部[a,b]插入n 个内等分点,比较各分点x i 的坐标对应的函数值y i ,取其中的最小者y m ,在y m 相对应的点x m 之左右两侧相邻点x m-1,x m+1所确定的区间内,求出极小点x ·。若[x m-1,x m+1]区间长度满足预定的收敛精度要求,则认为x m 是具有满足精度要求的最优点。若不满足精度ε要求,则将当前区间作为新的搜索区,重复以上步骤,直到满足预先给定的精度为止。
特点:结构和程序简单,但效率偏低。 二、黄金分割法:
原理:按区间缩短率λ=0.618,在搜索区间[a,b]内取两个对称点x 1,x 2,(x 1< x 2),比较两点所相对应的函数值y 1,y 2,比较y 1,y 2,确定新的搜
索区间。如此反复切割,使区间逐次地加以缩短。若最终的搜索区间长度满足收敛精度ε要求,取收缩区间的中点为近似最优点。
特点:结构简单,使用可靠,但是效率不高。
三、二次插值法:
原理:1、在搜索区间[a,b]内取点x1=a,x2=(a+b)/2,x3=b,得到与其对应的函数值f(xi)。由曲线上的三个点通过待定系数法计算,得到一个确定的二次多项式的函数p(x)。求出插值函数p(x)的极小值点x·p。
2、极小值点x·p所对应的函数值f(x·p)记为f·p,比较f·p和f2,取其中较小者为新的x2,以此点左右两邻点作为新的x1,x2。获得新的搜索区间。
3、当两次插值函数的极值点x p·(k-1)、x p·(k)之间的距离小于预定的精度ε,则将x p·(k)作为一维最优解输出。
特点:搜索效率较高,收敛速度快。
实验二:多维无约束优化程序的设计、调试与
运用
一、实验目的与要求
通过本实验使学生了解常用多维无约束优化方法的基本原理和特点,并通过对某种具体方法的编程、调试及验证,加深对该设计方法基本理论的理解,并培养学生计算机编程能力。
二、实验主要仪器设备和材料
计算机
三、基本原理
坐标轮换法:坐标轮换法是每次取出允许一个变量变化,其余变量保持不变。即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法,它把多变量的优化问题轮流的转化成单变量的优化问题。因此又称为变量轮换法。在搜索的过程中可以不需要目标函数的导数。只要目标函数值信息。它比利用目标函数导数建立搜索方向法简单得多。
四、实验方案
1、复习常用多维无约束优化方法的基本理论与基本方法;
2、选定某方法,根据其算法框图编程或阅读所提供的程序;
3、在计算机上用例题调试、验证;
4、用调试好的程序求解下列所给多维无约束优化问题。
用调试好的程序求解下列无约束问题:
]1,1[
)
681
2324
84
49
49
(
)1
12
(
)
(
min
3
2
2
1
2
1
2
2
2
1
=
-
+
+
+
+
-
+
= X
x
x
x
x
x
x
x
F
初始点
变量一的搜索区间:[-3,10] 变量二的搜索区间:[-2,7] 收敛精度:EP=10
-5
五、问题与讨论
1、常用多维无约束优化方法有哪些?
答:常用多维无约束优化方法有:坐标轮换法、鲍威尔(Powell)法、梯度法、牛顿法、DFP变尺度法、BFGS变尺度法。
2、坐标轮换法、鲍威尔法、变尺度法基本原理是什么?各有什么特点?
答:一、坐标轮换法:
原理:由给定的初始点x(0)作为起点,,沿n个坐标轴方向的单位坐标矢量方向进行迭代计算,x i(k)=x i-1(k-1)+αi(k)e i,其中αi按一维最优步长原则确定。所第k轮迭代的起始点坐标x n(k)、x0(k)之差,满足精度要求ε,则将作为x n(k)最优解输出;否则,继续进行k+1轮迭代计算。
特点:结构简单,易于掌握,计算效率比较低,适用于n<10的低维优化问题。
二、鲍威尔法:
原理:由任选的初始点x0(1)作为起点,先按坐标轮换法的搜索方法,沿n个坐标轴方向的单位坐标矢量方向进行一维搜索,在各自方向上得到一维极小值点x n(k)。由初始点和最末极小值点构成一个新的矢量S k=x n(k)-x0
(k)。若第k轮的始末两点x
n (k)、x
(k)的距离满足精度要求ε,则将作为x
n
(k)最优解输出;否则,继续进行k+1轮迭代计算。
特点:收敛速率较快,适用于维数n<20的目标函数,综合效果较好。
三、变尺度法:
原理:任选初始点x(0),求得目标函数F(x)的梯度g0。沿迭代矢量S
(k)=-A
k g k
做迭代计算,x(k+1)=x(k)+α(k)S(k)。按一维最优步长确定。计算x
(k+1)的梯度g
k+1,
若精度要求满足||gk+1||≤ε,则将x(k+1)作为最优解输出。
否则,将由位移矢量αk= x(k+1)- x(k),梯度矢量y k= g k+1-g k,构造矩阵A k+1=A k+αkαk T/αk T y k-A k y k y k T A k/y k T A k y k,重新进行迭代计算,直至满足精度要求。
特点:计算工作量大,编制程序复杂;具有二次收敛性,在迭代点接近最优点时收敛速度极快。
实验三:多维有约束优化程序的调试与运用一、实验目的与要求
通过本实验使学生了解常用多维有约束优化方法的基本原理和特点,并通过对某种具体方法的程序调试及验证,加深对该设计方法的基本理论的理解,并掌握常用优化程序的使用方法。
二、实验主要仪器设备和材料
计算机
三、基本原理
复合形法:在可行域中选取K个点作为一复合形(多面体)的K个顶点。比较各点函数值的大小,去掉函数值最大所对应的最坏点,而代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程,使复合形不断向最优点移动和收缩,直至满足选代精度为止。
四、实验方案
1、复习常用多维有约束优化的基本理论与基本方法;
2、根据复合形法算法框图阅读理解所提供的程序;
3、用例题调试并验证;
4、用调试好的程序求解下列多维有约束优化问题。
用复合形法优化程序求解下列有约束问题: 3、
11)(08)(06)(0)(0)(60410)(min 2152413221121212
221≥--=≥-=≥-=≥=≥=+---+=x x X g x X g x X g x X g x X g x x x x x x x F
变量一的搜索区间:[-10,10]
变量二的搜索区间:[1,20] 收敛精度:EP=10-6
五、问题与讨论
1、常用多维有约束优化方法有哪些?
答:常用多维有约束优化方法有:约束坐标轮换法、约束随机方向法、复合形法、惩罚函数法
2、复合形法基本思想是什么?有什么特点?
答:基本思想:在可行域中选取K个点作为一复合形(多面体)的K 个顶点。比较各点函数值的大小,去掉函数值最大所对应的最坏点,而代之最坏点的映射点构成新的复合形。不断重复上述过程,使复合形不断向最优点移动和收缩,直至满足选代精度为止。
特点:对目标函数及约束函数无特殊要求,适应性强,计算量一般,收敛较快,适用中小型问题。是现有解不等式约束优化问题的一种重要的直接法。