江西省南昌市第二中学2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题理

江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试

题 理

一、选择题（每小题5分，共60分） 1．若S 1＝2

21

x dx ?，S 2＝2

1

1

dx x

?

，S 3＝21x e dx ?，则S 1，S 2，S 3的大小关系为（ ）

A.S 2

B.S 2

C.S 3

D.S 1

，则z 的共轭复数的虚部是（ ）

1- A. i B.

1 C.

i - D.

3.命题p ：，

，则命题p 的否定为（ ） A. ， B. ， C.

，

D.

，

4．下列正确的是（ ）

A. 合情推理得到的结论一定正确

B. 类比推理是由特殊到一般的推理

C. 归纳推理是由个别到一般的推理

D. 演绎推理是由特殊到一般的推理

5．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x ∈R ，'()f x ＞2，则42)(+>x x f 的解集为（ ）

A.（-1，+∞）

B.（-1，1）

C.（-∞，-1）

D.（-∞，+∞） 6.已知P 为椭圆短轴的一个端点,

,

是该椭圆的两个焦点,则

的面积为

（ ） A. 2

B. 4

C.

D.

7.命题p ：x ，，，命题q ：x ，，，则p 是q 的什么条

件( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

8.曲线2

y x =与直线3y x =围成图形的面积为( ) A.

274 B.272 C. 92

D. 9 9．用数学归纳法证明22

2

222

2

2

(21)

12(1)(1)213

n n n n n +++

+-++-+

++=

时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）

A ．22(1)2k k ++

B ．22(1)k k ++

C ．2

(1)k + D ．2

1(1)[2(1)1]3

k k +++

10.函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.

11.已知抛物线的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且轴交y 轴于点Q ，则

的最小值为（ ）

A.

B.

C. 2

D. 1

12．设函数()(sin cos )x

f x e x x =-)2021

0(π≤≤x ，则()f x 的各极大值之和为（ ） A ．πππe e e --1)1(02022 B ．πππe e e --1)1(22022 C ．πππ2202011e e e --）（ D ．π

ππ

2220211e e e --）（

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 计算定积分的值为）（dx x x ?

+20

sin 3π

.

14. 已知复数z 满足1=z ，且负实数a 满足0222=-+-a a az z ，则a 的值为 .

15. 已知双曲线的一条渐近线与圆

相交于

A ，

B 两点，且

，则双曲线C 的离心率为 .

16. 已知函数的最小值是，则)(2sin sin 2)(x f x x x f += .

三、解答题（共70分） 17.（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t

x ?

?

?-=+=33，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（2）设点），（30M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MB

MA 1

1+的值．

18.（12分）

已知

函数

在其定义域R 上恒成立，

对任意，恒成立．

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数m的取值范围．

19.（12分）

已知函数，曲线过点．（1）求函数解析式．

（2）求函数的单调区间与极值．

20.（12分）

(1)设a，b，，用反证法求证：下列三个关于x的方程

，

，中至少有一个

有实数根． (2)已知，且10≤

．

21.（12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为2

2

，F

是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；

（2）设过点P （0，3），且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且|MN |=

7

2

8，

求k的值．

22.（12分）

设函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求m，n的值；

（2）当时，若k为整数，且，求k的最大值．

南昌二中2020—2021学年度上学期期末考试

高二数学试卷 答案

1.B S 1＝

2

2

1

x dx ?

＝13x 321＝7

3

， S 2＝211dx x ?＝lnx 21＝ln2， S 3＝

2

1

x e dx ?

＝e x 21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>7

3

，所以S 2

2.C 解：，

，

则z 的共轭复数是

? z 的共轭复数的虚部是1，故选：C ．

3.D 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“：

，

”的否定是

，

．故选：D ．

4.C 对于A ：合情推理得到的结论不一定正确，故A 错；对于B,

类比推理是从个别到个别的推理,故B 错；对于Ｃ：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于D ：演绎推理是由一般到特殊的推理，故D 错；因此选Ｃ． 5.A

6.D 解：根据条件可得，

，则，

，

则

的面积

，故选：D ． 7. A 解：如图所示：命题“”对应的图象为半径为

的圆的内部，

命题“”对应的图象为正方形的内部， 则命题“

”是命题“

”的充分不必要条件，故选：A ．

8．C 由直线3y x =与曲线2

y x =，解得0{

0x y ==或3

{ 3

x y ==，所以直线3y x =与曲线2y x =的交点为()0,0O 和()3,3A ，因此，直线3y x =与曲线2y x =所围成的封闭图形的

面积是()3

2

23300

3193|232S x x dx x x ??=-=-= ????，故选C. 9.B n k =时，左边为

222(1)(1)k k k +-++-+，1n k =+时，左边为

22222(1)(1)(1)k k k k k +-+++++-+

，可见左边添加的式子为22

(1)k k ++．

10. B 解：，

，解得

，函数的定义域为

，

当

时，

，排除选项A ；

，

，，

排除选项C ；

，

，即

在函数的单调递减区间内，排除选项D ．故选：B ．

11. A 解：抛物线方程为：

，

，设

，则

， ，

当时，的值最小，最小值为，故选：A ．

12．C 区间端点不能取极值； ∵函数()(sin cos )x

f x e x x =-，

∴'''()()(sin cos )(sin cos )2sin x x x

f x e x x e x x e x =-+-=，

∴(2,2)x k k πππ∈+时原函数递增，(2,22)x k k ππππ∈++时，函数递减，故当

2x k ππ=+时，()f x 取极大值，其极大值为

22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，

又π20210≤≤x ，且π2021=x 处不能取极值，∴函数()f x 的各极大值之和为

()

[

]().1111 (2202021010)

2201953π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

e e

e e e e e

e e e S --=--=

++++=

13.1832+π 14.

251- 15. 2 16.2

3

3- 17.解.（1）由??

?-=+=t

y t x 33消去参数t 可得直线l 的普通方程为：

， 由θρcos 4=得曲线C 的直角坐标方程为：

，即

依题意可得直线l 的参数方程为：()为参数t t

y t

x ??

?-=+=33，将其代入曲线C 的方程得：，设A ，B 对应的参数为，，则

，

，

则．

18.解：若p 为真，则

恒成立，所以

， 解得

，即m 的取值范围为

．

若q 为真，令，则．因为，

所以

，所以当且仅当，即时取“”，

，故

．由题意得：命题

一真一假， 则当p 真q 假时，无解，

当p 假q 真时

，即

或，

所以实数m 的取值范围为

．

19.解：由过点得，，

即，所以．

由知，，

令，，令，

， 所以

在

上单调递增，在

上单调递减，

极大值为，无极小值．

20.证明：（1）假设这三个方程都没有实根，则，即，

三式相乘并整理，得，

因为，所以

同理， 所以，

显然

与

矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立．

因为，所以

;

要证，只需证，

只需证

;

因为10≤

则可得证：

．

21. 解：（1）由离心率e ==，则a =c ，

直线AF 的斜率k =

=2，则c =1，a =

，b 2=a 2-c 2=1，∴椭圆E 的方程为+y 2=1；

（2）设直线l ：y =kx +，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则???

??1=+y 2

x 3

+kx =y 2

2，整理得（1+2k 2）

x 2+4kx +4=0，△=（4k ）2-4×4×（1+2k 2）＞0，即k 2＞1，∴x 1+x 2=

2

2k

134- k

， x 1x 2=，

∴|MN |=== =

，

即17k 4-32k 2-57=0，解得k 2=3或k 2=（舍去），∴k =±

.

22.解：1

，易知切线方程的斜率为1，且过点，

，解得

，

； 2由1知，，

即为

，当

时，等价于

，令

，

则，令，由得，

，

函数

在

上递增，而

，，故存在唯一的零点

，使得

，即存在唯一的零点

，使得

， 当

时，

，

递减，当时，

，递增， ，又

，即

，故，

整数k 的最大值为2．