瞬时变化率---导数学案练习题
一、知识要点
1.瞬时变化率与导数关系；
2.导数的定义，以及当时，求导数方法；
3.理解导数的几何意义。
二、问题情境
1.平均变化率、瞬时变化率；
2. 在区间上有定义、可导、导数概念；
3. 在处导数的表示法；函数的导函数。
三、例题
例1.已知
⑴求在处的导数；⑵求在处导数。
例2.求函数在时的导数。
四、课堂练习
1.求下列函数在已知点处的导数
⑴，在处；⑵在处；⑶在处。
2.求曲线在点处切线的方程。
3.若，求时的瞬时速度。
苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(2)》教案
教学目标： 1．理解并掌握瞬时速度的定义； 2．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度； 3．理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力． 教学重点： 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度． 教学难点： 理解瞬时速度和瞬时加速度的定义． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度． 问题一平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度．那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？ 问题二跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度. 2．探究活动： (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈)内的平均速度． (2)计算运动员在2s到（2＋?t）s(t∈)内的平均速度． (3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度． 探究结论：
当?t →0时，v →－13.1， 该常数可作为运动员在2s 时的瞬时速度． 即t ＝2s 时，高度对于时间的瞬时变化率． 二、建构数学 1．平均速度． 设物体作直线运动所经过的路程为()s f t ＝,以0t 为起始时刻，物体在?t 时间内的平均速度为00()() ????f t t f t s v t t ＋－＝ ＝． v 可作为物体在0t 时刻的速度的近似值，?t 越小，近似的程度就越好．所以当 ?t →0时，v 极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度． 三、数学运用 例1 物体作自由落体运动，运动方程为21 2 S gt ＝，其中位移单位是m ，时 间单位是s ，210m/s g ＝，求： （1） 物体在时间区间 s 上的平均速度；
高中数学导数之变化率问题
冷世平之教案设计【高二下】 选修2-2第一章导数及其应用第1课时 1 课题：§1.1.1变化率及导数的概念 三维目标： 1、 知识与技能 ⑴理解平均变化率的概念； ⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； ⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法 ⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； ⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； ⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观 ⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想； ⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。 教学过程： 一、引入课题： 为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课： 【探究1】气球膨胀率 同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34 ()3 V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数, 那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10 r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21 r r dm L -≈-。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。 【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121 ()()r V r V V V -- 【探究2】高台跳水
苏教版数学高二- 选修2-2试题《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)
1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二) 一、基础过关 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线； ②若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在； ③若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在； ④若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在． 2．已知y ＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________． 3．已知f(x)＝1x ，则当Δx→0时，f 2＋Δx －f 2Δx 无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为 ____________． 5．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________. 6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v(t)＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s. 二、能力提升 7．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12 x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 8．若函数y ＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间上的图象可能是________．(填序号)
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________. 10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1 x 在x＝1处的导数． 11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值． 三、探究与拓展 13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状： (1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速； (3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
变化率和导数(三个课时教案)
第一章导数及其应用 第一课时：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了 )(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了 )(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r --
苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案
教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x
v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．
瞬时变化率--导数
课题:瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度
高中数学-变化率与导数_提高
变化率与导数 【学习目标】 （1）理解平均变化率的概念； （2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】 知识点一：平均变化率问题 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121 ()() f x f x x x -- 要点诠释： ① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ?,且21x x x ?=-,相应的函数值的“增量”为 y ?,21()()y f x f x ?=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 即递增或递减幅度的大小。 对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。 高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ?=-和21x x x ?=- ②作商：对所求得的差作商，即2121 ()()f x f x y x x x -?=?-。 要点诠释： 1. x ?是1x 的一个“增量”，可用1x x +?代替2x ，同样21()()y f x f x ?=-。 2. x V 是一个整体符号，而不是V 与x 相乘。 3. 求函数平均变化率时注意,x y V V ，两者都可正、可负，但x V 的值不能为零，y V 的值可以为零。若
瞬时变化率——导数
1.1.2瞬时变化率——导数 1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点) 2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点) 3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点) [基础·初探] 教材整理1曲线上一点处的切线 阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题． 设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 判断正误： (1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．() (2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．() 【答案】(1)×(2)× 教材整理2瞬时速度与瞬时加速度 阅读教材P11～P12，完成下列问题． (1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0) Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． (2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
v (t 0＋Δt )－v (t 0) Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加 速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 1．判断正误： (1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)× 2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________． 【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×3 2 Δt ＝18＋3Δt ， 当Δt →0时，Δs Δt ＝18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数 阅读教材P 13～P 14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称 该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． (2)导数的几何意义 导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．导函数 若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．
导数：平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数——平均变化率与瞬时变化率w 二. 本周教学目标： 1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵． 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义． 三. 本周知识要点： （一）平均变化率 1、情境：观察某市某天的气温变化图 t (d) 20 2、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121 ()()f x f x x x -- 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． （二）瞬时变化率——导数 1、曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当 点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线
割线PQ 的斜率为 PQ k =00()()f x x f x x +?-?，即当0→?x 时，00()()f x x f x x +?-?无 限趋近于点P 的斜率． 2、瞬时速度与瞬时加速度 1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度． 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量） 平均速度 t t s t t s t s v ?-?+=??= )()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间 足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt →0时，位移的平均变化率00()() s t t s t t +?-?无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体 在t ＝ t 0的瞬时速度 同样，计算运动物体速度的平均变化率00()() v t t v t t +?-?，当Δt →0时，平均速度00()() v t t v t t +?-?无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度． 3、导数 设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ?无限趋近于0时，比值 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常
2020年高中数学教案选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(1)》
教学目标： 1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念； 2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法； 3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化 问题的能力及数形结合思想． 教学重点： 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法． 教学难点： 用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线． 如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线． 因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）． 2．探究活动．
如图所示，直线l 1，l 2为经过曲线上一点P 的两条直线， （1） 试判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线； （2） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2更加逼近曲线的直线l 3吗？ （3） 在点P 附近能作出一条比l 1，l 2，l 3更加逼近曲线的直线吗？ 二、建构数学 切线定义: 如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，直线PQ 称为曲线的割线． 随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近逼近曲线C ，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线．这种方法叫割线逼近切线． 思考：如上图，P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？ 三、数学运用 例1 试求2()f x x ＝在点(2，4)处的切线斜率． 解法一 分析：设P (2，4)，Q (x Q ，f (x Q ))， 则割线PQ 的斜率为：
高中数学-变化率与导数、导数的计算
高中数学-变化率与导数、导数的计算 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.f′(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f′(-1)的值为( ) A.0 B.3 C.4 D.- 【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1, 所以f′(x)=x2+2. 所以f′(-1)=3. 2.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′= ( ) A.- B.- C.- D.- 【解析】选C.因为f′(x)=-cos x+(-sin x), 所以f(π)+f′=-+·(-1)=-. 3.(·吉林模拟)已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率 为( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+∞),且y′=,设切点为(x0,ln x0),则y′=,切线方程为 y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为. 【变式备选】曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2 C.e D. 【解析】选A.由题意知y′=e x,故所求切线斜率k=e x=e0=1. 4.(·沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-1 【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y′=3x2+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2. 【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值 为( ) A.2 B.ln 2+1 C.ln 2-1 D.ln 2 【解析】选C.y=ln x的导数为y′=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1. 5.已知f(x)=2e x sin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( ) A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 【解析】选B.因为f(x)=2e x sin x,所以f(0)=0,f′(x)=2e x·(sin x+cos x),所以f′(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. 6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等 于( ) A.-1 B. C.-2 D.2 【解析】选A.因为y′=,所以y′=-1, 由条件知=-1,所以a=-1. 7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选C.依题意知,y′=3x2+a, 则由此解得 所以2a+b=1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为________________.
瞬时变化率——导数(一)(含答案)
1．1.2 瞬时变化率——导数(一) 一、基础过关 1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________． 2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________． 3．已知曲线y ＝12 x 2－2上一点P ????1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 二、能力提升 5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝______时的瞬时速度为1. 6．一物体的运动方程是s ＝12 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________． 7．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 9．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率． 10．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度． 11．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间 的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 三、探究与拓展 12．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s) s ＝????? 3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
变化率与导数导数的计算知识点与题型归纳
●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x ＋Δx－f x0 Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f x＋Δx－f x Δx 为f(x)的导 函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x )有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x )是常数， f′(x )是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( ) 答案(1)×(2)×(3)√
高中数学瞬时变化率--导数
瞬时变化率--导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0， t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 第2课时 瞬时变化率 导数
第2课时 课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 1．瞬时速度的概念 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________． 用数学语言描述为：如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0) Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的____________． 2．导数的概念 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝ ____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数 若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________ 一、填空题 1．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx 的值为________． 3．一物体的运动方程是S ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________． 4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝3 2 处的瞬时变化率是________． 5．函数y ＝x ＋1 x 在x ＝1处的导数是________． 6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________． 8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题 9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1 x 在x ＝1处的导数．
瞬时变化率--导数(1)
瞬时变化率--导数(1) 教学目标：⑴理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 ⑵会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 教学过程： 一.复习引入 平均变化率：一般地，函数)(x f 在区间上[]21,x x 上的平均变化率为 平均变化率近似地刻画了曲线)(x f 在区间[]21,x x 上的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 二.新课讲解 1.曲线上一点处的切线斜率 设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的 ，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线,l 这条直线l 称为曲线在点P 处的 ，即割线PQ 的斜率就会无限逼近曲线在点P 处的切线的斜率，所以我们可以用点P 处的切线的斜率来刻画曲线在点P 处的变化趋势 设曲线C 上一点)),(,(x f x P 过点P 的一条割线交曲线C 于另一点)),(,(x x f x x Q ?+?+则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-?，当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ?无限趋近于0时， ()()f x x f x x +?-?无限趋近点))(,(x f x P 处的切线的斜率。 2.瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的 与 的比称为平均速度。 (2)瞬时速度：设物体作直线运动所经过的路程为s =f (t )。以t 0为起始时刻，物体在时间内的平均速度为 t t s t t s ?-?+)()(00，当△t 无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的 (3)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，运动物体速度)(t v 的平均变化率 t t v t t v ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
变化率与导数的概念
变化率与导数的概念（新授课学案） 学生姓名 ________________ 班级__________________ 学号__________________ 教学内容 通过实例探究与分析，引导学生经历思考、讨论、探究、理解瞬时速度的含 义、感受逼近的思想. 体验提出问题，寻求想法，实施想法，发现规律，给出定义的数学探究过程. 了解导数概念的背景，理解导数的定义和内涵. 教学目的 1. 了解导数概念的背景，会区分平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变 化率. 2. 理解导数与函数平均变化率、瞬时变化率的关系. 3. 会求简单函数y=f(x)在x=x 0 处的导数 4. 体会用已知探究未知的思考方法和从特殊到一般的探究思想. 5. 培养小组合作学习的习惯. 教学重点 1. 导数（瞬时变化率）概念的形成. 2. 体会用已知探究未知的思考方法、从特殊到一般的探究思想. 3. 感受无限逼近的思维方法. 教学难点 1. 体会由平均变化率到瞬时变化率的过渡. 2. 导数的思想及其内涵的理解 教学过程 一、自主学习——对一种生活的数学解释 问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水 我们都吹过气球回忆一下吹气 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 球的过程,可以发现,随着气球内空 高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位: 气容量的增加,气球的半径增加越 秒）存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10. 来越慢.从数学角度,如何描述这种 如何用运动员在某些时间段内的平均速 现象呢? 度粗略地描述其运动状态? 我来算算看：（可用计算器） 当气球体积v=0时，半径 当时间t=0时，运动员相对于水面的高度 h （0）=__________________ r(0）=______________ 当时间t=0.5时，运动员相对于水面的高度 当气球体积v=1时，半径 h （0.5）=__________________ 当时间t=1时，运动员相对于水面的高度 r(1）=______________ h （1）=__________________ 当气球体积v=2时，半径 当时间t=2时，运动员相对于水面的高度 h （2）=__________________ r(2）=______________ 比较以上数据，思考变量间的变化情况. 1、当气球空气容量V 从0增加到1时，气球半径的平均增长率为____________ 当气球空气容量V 从1增加到2时，气球半径的平均增长率为____________ 2、当时间t 从0到0.5这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 当时间t 从0.5到1这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 当时间t 从1到2这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________ 我的身边也有这样的数学解释：______________________________________ __________________________________________(列举1-2个同类的生活实例） 热 爱 生 活
瞬时变化率—导数
瞬时变化率一导数 学习目标： ⑴理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3) 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、 什么叫做平均变化率； 2、 曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数 f(x)在区间［X A , X B ］上的平均 变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢? 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(X !，f(x”)，Q(X 0，f(X o ))，则割线PQ 的斜率为k pQ 设 X i — X o = △ X ，贝y X i = △ X + X o ， ?( f (X o ：x) - f (X o ) …k pQ = z 当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜 率，即当△ x f (xj - f (X o ) X i 一 X o
无限趋近于0时，k PQ = f(Xo X)一f(Xo)无限趋近点Q处切线斜率。 △x
2、曲线上任一点(x o , f(x o ))切线斜率的求法: k = f (x ° X )一 f(x °),当厶x 无限趋近于0时，k 值即为(X o , f(x o ))处切线的斜 X 率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (3)瞬时速度：当无限趋近于 0时，Sto — ； _S(to)无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=to 时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1. 先求时间改变量 讥和位置改变量 As = s(t o ?.讥)-s(t o ) A s 2. 再求平均速度V =— i t '■■■S 一 、 3. 后求瞬时速度：当-1无限趋近于o ， 无限趋近于常数 v 为瞬时速度 i t (5)瞬时加速度：当t 无限趋近于o 时，也" FJ 无限趋近于一个常数， 这个 A t 常数称为t=t o 时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用 例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。 1 变式：1.求 f (x) 2过点(1,1)的切线方程 x 2. 曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为 ____________ 3. 已知曲线f(x)=^x 上的一点P(o,o)的切线斜率是否存在？ 例2. 一直线运动的物 体， 从时间t 到时，物体的位移为S ,那么仝为( A.从时间t 到t ： L t 时，物体的平均速度； E.在t 时刻时该物体的瞬时速度； C.当时间为 氏时物体的速度； D.从时间t 到t t 时物体的平均速度 * 一 1 2 (2)位移的平均变化率: S (t o 迸)-S(t o ) △t (4)速度的平均变化率: V (t o ? ：t) -V(t o )