二阶导数

二阶导数

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。

1代数记法

二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=（y'）'。[1]

例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。

2几何意义

（1）切线斜率变化的速度

（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）这里以物理学中的瞬时加速度为例:

根据定义有a=（v'-v）/Δt=Δv/Δt

可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：

a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)

又因为v=dx/dt 所以就有

a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数

将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数

f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/ dx (f(x)的二阶导数)

3应用

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导

数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

4相关补充

二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。

定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，

（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

若在定义域内二阶导数为0，则该点是定义域内的极值点。

二阶导数一般是表示凹凸性，但是在国内的不同教材中有不同的叫法。比如在同济大学的教材中，如下图叫做上凹，而其他教材中叫做凸函数。