因式分解双十字交乘

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因式分解双十字交乘

十字相乘法是利用x 2 (a b)x ab =(x a)(x - b)这个公式，写成两排形式，把二次项系数的约数和常数项的约数进行十字交叉相乘，它们的和凑成一次项系数，那每一排即位多项式的一个因式，因为呈十字交叉相乘，故称为十字相乘法。

运用双十字乘法对Ax 2 - Bxy Cy 2 Dx Ey F 型的多项式分解因式的步骤： 1用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；

2、在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含

y 的一次项的系数 E ，

同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含 x 的

一次项的系数Db

一、用双十字相乘法分解多项式

我们先看一下两个多项式相乘的计算过程：计算(2x_3y 5)(3x y -1)。

2x_J3y +5 〉，)3x ? y /

(2x -3y 5)(3x y -1) =6x 2 -7xy -3y 2 13x 8y —5

6x 2 _9xy

-+I5x

2xy _3y 2

亠5y

从计算过程可以发现，乘积中的二次项 6x 2-7xy-3y 2只和乘式

2x 3y_5

6x 2 _7xy —3y 2 出3乂 +8y _5

中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项 13x 8y ，只和

乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

根据因式分解与整式乘法是相反变形的关系，我们来寻求多项式 6x -7xy -3y 13x ? 8y -5的分解因式的方法是

1先用十字相乘法分解6x 2-7xy-3y 2。

2、再将常数项一5的两个因数写在第二个十字的右边。 2x 3x 5

3、由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8y 。再看第1列与第 3xX. y 、_1 3列交叉相乘之

积的和等于13x ，那么原式就可以分解成—5y 3y=8y

(2x _3y 5)(3x y _1)。

综上可知，双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案

例 1、分解因式 20x 2 9xy -18y 2 -18x ，33y -14。 ??? 4X 6- 15=9,— 3X ( -7)+2 X 6=33,— 28+10=— 18,

—3y

v 3

3x ，

、 y

_9xy 亠 2xy = -7xy

? 20x2 9xy「18y2_18x 33y「14 二(4x「3y 2)(5x 6y「7)。

评注：在使用双十字相乘法时，不必标出x,y，只需写出x,y的系数就

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可以了。即第1列是x 的系数的两个因数；第2列是y 的系数的两个因数；第3列是常数项的两个因数。

例2、分解因式15x 2 -20xy —x 細-2。

T 3X ( — 2)+5 X 仁—6+5=— 1 ,二 15x -20xy -x 8y -2=(3x -4y 1)(5x -2)。

例 3、分解因式 9x 2 -16y 2 - 18x 40y _16。 ?/ 3X ( — 2)+3 X 8=— 6+24=18,

2 2

9x -16y

18x 40y -16 =(3x 一 4y 8)(3x 4y - 2)。

例 4、分解因式 6x 2 - 5xy - 6y 2 - 2xz - 23yz - 20z 2。 ??? 2X 5+3X ( — 4)=10 — 12=— 2,

2 2 2

6x -5xy-6y - 2xz-23yz - 20z = (2x-3y - 4z)(3x 2y 5z)。

评注：注意本题中的第3列是- 20z 2的两个因式，不要丢掉z 例 5、分解因式 6x 2 -13xy 2y 2 - 16x ? y - 6。解法1:

2 2

? 6x -13xy 2y 16x y _6 = (x -2y 3)(6x _y 「2) 解法 2: 6x 2 -13xy 2y 2

16x y - 6 = 6x 2 -(13y -16)x (2y 2 y -6)

= 6x 2 -(13y -16)x (y 2)(2y 一3) =(x —2y 3)(6x — y -2)。

解法 3: 6x 2 -13xy 2y 2

16x y - 6

二(x -2y)(6x _y) (16x y)「6 = (x -2y m)(6x - y n) 1... -(2y -3) 6

"■■■■- -(y 2) =6x 2 -13xy 2y 2 (6m n)x -(m 2n)y mn

-12y 18 -y -2 =16 -13y

6m n =16

? m 2n = -1 解之，得 m = 3, n = -2

mn = -6

? 6x 2「13xy 2y 2 16x y _6 = (x 「2y 3)(6x _y 「2)。

评注：解法1是使用双十字相乘法分解因式；解法 2将原多项式化成关于x 的二次三项式分解因式；解法3则使用了待定系数法。

练一练：用多种方法分解下式：2x 2 - xy - y 2 - 3y - 2。

6 -2 -3

1-2

4-3=1

答案：(x -y -1)(2x y 2)

因式分解--十字相乘法练习题

十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：

化学十字交叉法计算解题

十字交叉法：一、适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。这样，乙烯的质量分数是： ω（C 2H 4）=32128328 3?+??×100 ％=72.4% 答案：C 。（解毕）二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c (a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b 解之，得： b a c a x b a b c x --=---=1, 即：c a b c x x --=-1 C 2H 4 28 O 2 32 29 3 1

2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽可能的将待求量设计为上述化学量2（分数中的分母），至于化学量1则依题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，这样上述第1论点中的a 、b 、c 应该是分别这样的一些化学平均量（如下图）：而这些化学平均量a 、b 、c 交叉相减后所得差值之比，则是组分1和组分2的化学平均量的量纲中化学量2 [如a 、b 、c 为摩尔质量（g/mol ）时，便是物质的量 mol]的比值。例2：把CaCO 3和MgCO 3组成的混合物充分加热到质量不再减少时，称得残留物的质量是原混合物质量的一半。则残留物中钙和镁两元素原子的物质的量之比是 A.1:4 B.1:3 C.1:1 D.1:2 解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用

因式分解基础练习

因式分解基础练习公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]

2 2y 2-xy -x 3因式分解练习题（一）选择题 1、下列各式的变形中，是因式分解的为（） A 、bx ax b a x -=-)( B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x x D 、c b a x c bx ax ++=++)( 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、下列各式是完全平方式的是（） A 、41 2+-x x B 、21x + C 、1++xy x D 、122-+x x 4、把)2()2(2a m a m -+-分解因式是（） A 、 ))(2(2m m a +- B 、 ))(2(2m m a -- C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 5、下列多项式中，含有因式)1(+y 的是（） A 、2232x xy y -- B 、22)1()1(--+y y C 、)1()1(22--+y y D 、1)1(2)1(2++++y y 6、分解因式14-x 得（） A 、)1)(1(22-+x x B 、22)1()1(-+x x C 、)1)(1)(1(2++-x x x D 、3)1)(1(+-x x 7、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 8、c b a 、、是△ABC 的三边且bc ac ab c b a ++=++222，则△ABC 的形状是（） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形（二）分解因式（每题10分，共60分） (1) 2m(a-b)-3n(b-a) （2）

(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题

十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式多项式ax2 bx c ，称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项， c 为常数项．例如，x2 2x 3和x2 5x 6都是关于x的二次三项式．在多项式x2 6xy 8 y2中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式2a2b2 7ab 3 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2 7(ab) 3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式(x y)2 7(x y) 12 ，把x＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1 的二次三项式x2 px q ，如果能把常数项q 分解成两个因数a， b 的积，并且a＋b 为一次项系数p，那么它就可以运用公式 2 x (a b)x ab (x a)( x b) 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” ．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax2 bx c(a，b，c 都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1 a2 a，c1 c2 c，且a1c2 a2c1 b， 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一

十字交叉法解析

十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方 1.因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+ (x15) =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6]

因式分解分类练习经典全面

因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---

因式分解(十字交叉法)练习题99839

用十字交叉法分解因式一、选择题 1、若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 是（）Ａ．－８Ｂ．－６Ｃ．８Ｄ．６ 2、下列变形中，属于因式分解的是（）Ａ．c b a m c bm am ++=++)( Ｂ．??? ??++=++a a a a a 15152 Ｃ．)123(1232 23+-=+-a a a a a a Ｄ．22244)2(y xy x y x ++=+ 3、下列多项式：（１）672++x x ，（２）342++x x ，（3）862++x x ，（4） ,1072++x x （５）44152++x x ．其中有相同因式的是（）Ａ．只有（１）、（２）Ｂ．只有（３）、（４）Ｃ．只有（２）、（４）Ｄ．不同于上述答案 4、下列各式中，可以分解因式的是（）Ａ．22y x -- Ｂ．ny mx + Ｃ．222a m n -- Ｄ．42n m - 5、在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（）Ａ． )2()1(122222n mn m n mn m ++-=+-+ Ｂ．)1()(1+++=+++x y xy y x xy Ｃ．)()(xy ay bx ab xy ay bx ab +++=+++ Ｄ．)()(3 2233223y y x xy x y y x xy x +++=+++ 6、若4:5:y x =，则2215174y xy x +-的值是（）Ａ．54 Ｂ．45 Ｃ．１Ｄ．０ 7、如果 )5)(3(152 -+=--x x kx x ，那么k 的值是（）Ａ．－３Ｂ．３Ｃ．－２Ｄ．２ 8、若多项式162--mx x 可以分解因式，则整数ｍ可取的值共有（）Ａ．３个Ｂ．４个Ｃ．５个Ｄ．６个二、填空题 9、若多项式65222-++--y mx y xy x 可以分解为)32)(2(-++-y x y x ，则____=m ．三、计算题 10、把多项式n n n b b a b a 5324257912-+-分解因式，并注明每一步因式分解所用的方法． 11、已知 012)1)((2222=--++y x y x ，求2 2y x +的值．

因式分解基础习题

因式分解提公因式法提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1： (1)ma+mb (2)4kx －8ky (3)5y 3+20y 2 (4)a 2b －2ab 2+ab 同步练习 (1)2a －4b; (2)ax 2+ax －4a; (3)3ab 2－3a 2b; (4)2x 3+2x 2－6x; (5)7x 2+7x+14; (6)－12a 2b+24ab 2; (7)xy －x 2y 2－x 3y 3; (8)27x 3+9x 2y.

例2： (1)a(x－3)+2b(x－3)；(2)4(x+y)3-6(x+y)2同步练习 (1)x(a+b)+y(a+b) (2)3a(x－y)－(x－y) (3)6(p+q)2－12(q+p) (4)8(a-b)4+12(a-b)5 例3： (1)2－a=__________(a－2); (2)y－x=__________(x－y); (3)b+a=__________(a+b); (4)(b－a)2=__________(a－b)2; 同步练习 (1)a(x－y)+b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2. (4)2(y－x)2+3(x－y) (5)mn(m－n)－m(n－m)2

(6)1.5(x－y)3+10(y－x)2

平方差公式法平方差公式：a2－b2=(a+b)(a-b) 例1：把下列各式分解因式： (1)x2－16； (2)9 m 2－4n2；(3)9a2－ 1 4 b2. 同步练习 (1)a2b2－m2 (2)25－16x2; (3)a2－81 (4)36－x2 (5)1－16b2 (6)m 2－9n2 (7)0.25q2－121p2 (8)169x2－4y2

因式分解基础测试题含答案

因式分解基础测试题含答案一、选择题 1．下列分解因式正确的是（） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9 B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1 C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b) D ．x 2＋1＝x 1()x x + 【答案】C 【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】 A 、是整式的乘法，故A 错误； B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误； C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确； D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列各式分解因式正确的是（） A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=-

十字相乘法分解因式经典例题和练习

用十字相乘法分解因式十字相乘法：一．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----

二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解：（1）422416654y y x x +-；（2） 633687b b a a --；练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-．例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值

解二元一次方程“十字交叉法”

解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积常数项拆成两个数的积拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。解释说明：

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。十字相乘法解题实例常规题例1：把m2+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）

例2：把5x2+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5

因式分解基础练习(1)

提公因式法提公因式法常用的变形：a －b ＝－(b －a)， (a －b)n ＝??? (b －a)n (n 为偶数)－(b －a)n (n 为奇数). 例1：【基础题型】（1）ma+mb （2）4kx －8ky （3）5y 3+20y 2 （4）a 2b －2ab 2+ab 【巩固练习】（1）2a －4b ; （2）ax 2+ax －4a ; （3）3ab 2－3a 2b ; （4）2x 3+2x 2－6x ; （5）7x 2+7x +14; （6）－12a 2b +24ab 2; （7）xy －x 2y 2－x 3y 3; （8）27x 3+9x 2y . 例2：【培优题型一】（1）a （x －3）+2b （x －3）；（2）4(x+y)3-6(x+y)2 【巩固练习】：（1）x （a+b ）+y （a+b ）（2）3a （x －y ）－（x －y ）（3）6（p+q ）2－12（q+p ）（4）8(a-b)4+12(a-b)5 例3：【培优题型二】（1）2－a =__________（a －2）; （2）y －x =__________（x －y ）; （3）b +a =__________（a +b ）; （4）（b －a ）2=__________（a －b ）2; 【巩固练习】：（1）a （x －y ）+b （y －x ）；（2）6(m －n)3－12(n －m)2. （3）a （m －2）+b （2－m ）（4）2（y －x ）2+3（x －y ）（5）mn （m －n ）－m （n －m ）2 （6）1.5（x －y ）3+10（y －x ）2 （7）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ）（8）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）

因式分解(十字交叉法)练习题[精选.]

word. 用十字交叉法分解因式一、选择题 1、若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 是（）Ａ．－８Ｂ．－６Ｃ．８Ｄ．６ 2、下列变形中，属于因式分解的是（）Ａ．c b a m c bm am ++=++)( Ｂ．??? ??++=++a a a a a 15152 Ｃ．)123(1232 23+-=+-a a a a a a Ｄ．22244)2(y xy x y x ++=+ 3、下列多项式：（１）672++x x ，（２）342++x x ，（3）862 ++x x ，（4）,1072++x x （５）44152++x x ．其中有相同因式的是（）Ａ．只有（１）、（２）Ｂ．只有（３）、（４）Ｃ．只有（２）、（４）Ｄ．不同于上述答案 4、下列各式中，可以分解因式的是（）Ａ．22y x -- Ｂ．ny mx + Ｃ．222a m n -- Ｄ．42n m - 5、在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（）Ａ．)2()1(122222n mn m n mn m ++-=+-+ Ｂ．)1()(1+++=+++x y xy y x xy Ｃ．)()(xy ay bx ab xy ay bx ab +++=+++ Ｄ． )()(32233223y y x xy x y y x xy x +++=+++ 6、若 4:5:y x =，则2215174y xy x +-的值是（）Ａ．54 Ｂ．45 Ｃ．１Ｄ．０ 7、如果 )5)(3(152-+=--x x kx x ，那么k 的值是（）Ａ．－３Ｂ．３Ｃ．－２Ｄ．２ 8、若多项式162--mx x 可以分解因式，则整数ｍ可取的值共有（）Ａ．３个Ｂ．４个Ｃ．５个Ｄ．６个二、填空题 9、若多项式6522 2-++--y mx y xy x 可以分解为)32)(2(-++-y x y x ，则____=m ．三、计算题 10、把多项式n n n b b a b a 5324257912-+-分解因式，并注明每一步因式分解所用的方法． 11、已知 012)1)((2222=--++y x y x ，求2 2y x +的值．

十字相乘法进行因式分解(详案)

十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2 b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

化学十字交叉法(可编辑修改word版)

“十字交叉”法的妙用化学计算是从数量的角度研究物质的组成、结构、性质变化，涉及到的化学基本概念多，解法灵活多变，且需要跨学科的知识和思维方法，所以该知识点一直是中学化学教与学的难点，但因能较好地训练学生的逻辑思维能力和思维的敏捷性，又能考察学生的双基知识，所以是教学重点，也是各种考试的热点。如何进行这方面知识的教学，使学生理解和掌握这些知识、发展学力，一直是各位老师研究的热门话题。本文拟就教学中所得，粗浅地谈一谈“十字交叉法”在化学计算中的应用。一、适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5 倍。可知其中乙烯的质量分数为（） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。 3 1 这样，乙烯的质量分数是： 3 ? 28即：n(C2H4) n(O2) =3∶1 ω（C2H4）= ×100 ％=72.4% 3 ? 28 + 1? 32 答案：C 。（解毕）二、十字交叉法的解法探讨： 1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程：ax+b(1－x)=c (a、b、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得：ax－bx=c－b 解之，得： x =c -b ,1 -x = a -b a -c a -b 即：x 1 -x = c -b a -c 2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：组分1c－b 混合物组分2 a －c x(组分1) c－b = 1－x (组分2) a－ c

因式分解基础测试题

因式分解基础测试题一、选择题 1．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy 2+6x 2y+3xy=-3xy?（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（） A ．2x B ．-2x C ．2x-1 D ．-2x-l 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy ，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化． 2．把32a 4ab －因式分解，结果正确的是（） A ．()()a a 4b a 4b ?+- B ．()22a a 4b ?- C ．()()a a 2b a 2b +- D ．()2a a 2b - 【答案】C 【解析】【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式a ，再对余下的多项式继续分解．【详解】 a 3-4a b 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）．故选C ．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（） A ．2x （x +3）＝2x 2+6x B ．24xy 2＝3x ?8y 2 C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1 D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D 【解析】

高中化学十字相乘法原理及经典题目

高中化学的十字相乘法十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。适用范围： “十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（） A.25.0% B.27.6% C.72.4% D.75.0% 解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。这样，乙烯的质量分数是： 3（C2H4 二X 100% =72.4% 答案：C。（解毕）二、十字交叉法的解法探讨： 1. 十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程：ax+b（1 —x）=c

（a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，女口：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等）； x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。如欲求x/（1 — x ）之比值，可展开上述关系式，并整理得：ax — bx=c —b xx ，得: c b a c x ------------- ,1 x --------------- a b a b 即: 2. 十字交叉法的常见形式: 为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为: 3. 解法xx 和难点所在: 十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述 a 、b 、 c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1宁化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数（溶质质量-溶液质量）或关于物质组成、变化的其它化学量等等。设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下组分n c —b a — c

八年级因式分解经典练习(基础+提高+拓展)

第一章因式分解【经典基础训练】一、填空：（30分） 1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、则=____=____ 3、与的公因式是＿ 4、若=，则m=_______，n=_________。 5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有________________________ ，其结果是_____________________。 6、若是完全平方式，则m=_______。 7、 8、已知则 9、若是完全平方式M=________。10、， 11、若是完全平方式，则k=_______。 12、若的值为0，则的值是________。13、若则=_____。 14、若则___。15、方程，的解是________。二、选择题：（10分） 1、多项式的公因式是（） A、－a、 B、 C、 D、 2、若，则m，k的值分别是（） A、m=—2，k=6， B、m=2，k=12， C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：中能用平方差公式分解因式的有（） A、1个， B、2个， C、3个， D、4个

4、计算的值是（）A、B、三、分解因式：（30分） 1 、 2 、 3 、4、 5、6、7、8、 9 、10、四、代数式求值（15分） 1、已知，，求的值。 2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值 3、已知，求的值五、计算：（15）（1）0.75（2）（3）【经典提高训练】 1、有一个因式是，另一个因式是（） A． B． C． D． 2、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（） A、a2(a2－2b2)＋b4 B、(a2－b2)2 C、(a－b)4 D、(a＋b)2(a－b)2 3、若a2-3ab-4b2=0,则的值为（）A、1 B、-1 C、4或-1 D、- 4或1 4、已知为任意整数，且的值总可以被整除，则的值为（）A．13 B．26 C．13或26 D．13的倍数 5、把代数式分解因式，结果正确的是 A． B． C． D． 6、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。 A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1) C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1) 7、把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）。

因式分解之十字相乘法专项练习题

因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x

4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x

因式分解(十字交叉法)练习题上课讲义

因式分解(十字交叉法) 练习题

精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除用十字交叉法分解因式一、选择题 1、若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 是（）Ａ．－８Ｂ．－６Ｃ．８Ｄ．６ 2、下列变形中，属于因式分解的是（）Ａ．c b a m c bm am ++=++)( Ｂ．??? ??++=++a a a a a 15152 Ｃ．)123(123223+-=+-a a a a a a Ｄ．22244)2(y xy x y x ++=+ 3、下列多项式：（１）672++x x ，（２）342++x x ，（3）862++x x ，（4）,1072++x x （５）44152++x x ．其中有相同因式的是（）Ａ．只有（１）、（２）Ｂ．只有（３）、（４）Ｃ．只有（２）、（４）Ｄ．不同于上述答案 4、下列各式中，可以分解因式的是（）Ａ．22y x -- Ｂ．ny mx + Ｃ．222a m n -- Ｄ．42n m - 5、在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（）Ａ． )2()1(122222n mn m n mn m ++-=+-+ Ｂ．)1()(1+++=+++x y xy y x xy Ｃ．)()(xy ay bx ab xy ay bx ab +++=+++ Ｄ． )()(32233223y y x xy x y y x xy x +++=+++ 6、若4:5:y x =，则2215174y xy x +-的值是（）Ａ．54 Ｂ．45 Ｃ．１Ｄ．０ 7、如果)5)(3(152-+=--x x kx x ，那么k 的值是（）Ａ．－３Ｂ．３Ｃ．－２Ｄ．２ 8、若多项式162--mx x 可以分解因式，则整数ｍ可取的值共有（）Ａ．３个Ｂ．４个Ｃ．５个Ｄ．６个二、填空题