四年级奥数统筹与规划教师版
统筹与规划
知识要点
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
人类的一切社会实践活动，既要讲求效率，又要经济，即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时，取得在可能范围内的最好效果。最优化概念反映了人类实践活动中的普遍现象。最优化问题成为现代应用数学的一个重要课题，它在实际生产、科学研究以及日常生活中均有广泛的应用。作为热爱数学的少年，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。
统筹和规划可以归属于一门称为“运筹学”的范畴，都是用于解决最优化问题，即在一组约束条件下求最大或最小值的问题。
规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下，研究怎样合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。
如何求最大值或最小值呢？从有限个数中间，总可以找出一个最大的和一个最小的。如果一组数个数不多，以至于我们可以一一地写出来，那么凭着观察和比较，便可以找出其中的最大值和最小值，这就是所谓的“穷举法”。但是如果数的个数太多，或者不容易甚至于不可能一下子写清楚，这时就需要灵活地运用数学基础知识，把实际问题数学化，通过正确的推理，化未知为已知。
节约时间
【例 1】（1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
【分析】先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。
水开了就沏茶，总共用了16分钟。
又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的。
【说明】本题选自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》。
【例 2】小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋，有两个炉灶。估计一下，洗锅要用1分钟，洗米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打鸡蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为最合理安排需要几分钟能做好饭菜？
【分析】做大米饭的时间最长，因此我们应该考虑在煮大米饭的同时做其他事情以节省时间，做大米前洗锅和洗米是必须的，所以至少需要153036
++=分钟。
【例 3】（1985年无锡市智力竞赛题）春节妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼。他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如图所示）。你能不能设计一个顺序，使花费的时间最少？请用方框图表示出来。
5分钟
煎烧
【分析】将锅烧热、将油烧热这段过程人是闲着的，因此小明可以利用这段时间洗鱼、切鱼、切姜葱，所以小明先洗锅，再将锅烧热，将油烧热的同时洗鱼、切鱼、切姜葱，最后煎烧，
一共需要223512
+++=分钟。如图所示为方框图。
【例 4】（2000年“数学大王”邀请赛中年组（3、4年级）第13题）用来烤鱼的铁丝网每次只能放两面刀鱼，烤好鱼的一面需6分钟。最短用_______分钟，可以烤好3条鱼。
【分析】记这三条鱼为1、2、3，每条鱼有A、B两面，
每次烤2面，一共要烤6面，至少需要烤623
÷=次；
方法为第1次烤1A和2A，第2次烤1B和3A，第3次烤2B和3B；
所以最短用3618
?=分钟，可以烧好3条鱼。
【例 5】（2009年12月6日“数学大王”邀请赛三年级第6题）烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要烤3个烧饼至少需要_______分钟。
【分析】第一次烤①的正面和②的正面，需要3分钟；
第二次烤①的反面和③的正面，需要3分钟；
第三次烤②的反面和③的反面，需要2分钟；
所以要烤3个烧饼至少需要3328
++=分钟。
【例 6】用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎一个饼需要4分钟（假定正反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟？
【分析】当m是偶数时，每2个饼煎1次，需要4分钟，共需要煎
2
m
次，
共需要42
2
m
m
?=分钟煎完，每个饼平均用时2分钟；
当1
m=时，需要4分钟，
当3
m=时，先煎第一个饼和第二个饼的正面用2分钟，
再煎第一个饼的反面和第三个饼的正面用2分钟，
接着煎第二个饼和第三个饼的反面用2分钟，共用6分钟，平均每个饼用2分钟，
当3
m>，且m为奇数时，必然可以写成3加上一个偶数的形式，
此时每个饼平均用时2分钟，一共用时2m分钟。
综上所述，当1
m=时，需要4分钟，当1
m>时，需要2m分钟。
【例 7】（1989年第2届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第6题）如图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要几分钟？
B
A
【分析】如图所示，考虑是否经过C点，若经过C点，从A到C至少需要151126
+=分钟，从C到B至少需要101222
+=分钟，所以从A到B至少要262248
+=分钟；
若不经过C点，则从A到B只有两条路，都是需要49分钟，所以从A到B至少需要48分钟。
【例 8】（1978年全国高中数学竞赛）设有10个人各拿提桶一只同到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别为1分钟、2分钟、3分钟、……、10分钟。因为只有一个水龙头，他们得排队打水，请问：怎样适当安排他们打水的顺序，使每个人排队和打水时间的总和最小？
【分析】设第i个打水的人要
i
t分钟；
所以每个人排队和打水时间总和
123910
10982
T t t t t t
=+++++
L L
当
i
t i=时，
min
1102938475665748392101220
T=?+?+?+?+?+?+?+?+?+?=分钟
【说明】排序原理：设有两组数
1
a≤
2
a≤……≤
n
a，
1
b≤
2
b≤……≤
n
b，
则这两组数中任取两个配对相乘再求和，
在这些所有可能的和中以
1211
n n n
a b a b a b
-
+++
L L为最小，以
1122n n
a b a b a b
+++
L L为最大。
【例 9】某计算机系统在同一时间只能执行一项任务且完成该任务后才能执行下一项任务。现有甲、乙、丙三项任务同时提交给该计算机系统。计算机系统执行任务甲、乙、丙的时间分别为10秒、2分钟和15分钟。一项任务的相对等待时间为提交该任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比。请选择一个执行顺序，使得三项任务相对等待时间之和最小。
【分析】由乘法原理，一共有
3
3216
P=??=种执行顺序，分别考虑每种执行顺序的相对等待时间之和。
①顺序为甲、乙、丙时，三项任务相对等待时间之和为
101012010120900581
10120900180
+++
++=；
②顺序为甲、丙、丙时，三项任务相对等待时间之和为
1010900109001201907
10900120180
+++
++=；
③顺序为乙、甲、丙时，三项任务相对等待时间之和为12012010120109001363
1201090090+++++=
； ④顺序为乙、丙、甲时，三项任务相对等待时间之和为120120900120900101577
1209001015+++++=
； ⑤顺序为丙、甲、乙时，三项任务相对等待时间之和为90090010900101201207
9001012012
+++++=
； ⑥顺序为丙、乙、甲时，三项任务相对等待时间之和为
90090012090012010225
900120102
+++++=
； 通过比较，顺序为甲、乙、丙时，三项任务相对等待时间之和最小。
节约路程
【例 10】 如图所示，5所学校A 、B 、C 、D 、E 之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数，
现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A 、B 、C 、D 、E 分别有6人、4人、8人、7人、10人，为使参加会议的代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开？
234
2
2
E
D
C
B
A
【分析】比较A 、B 两地，由于B 、C 、D 、E 的总代表数远超A 校的，所以B 校比A 校更优；
再比较B 、C 、D 、E ，
若选在B 校，共行走()6283721032100?+?+?+?+=千米； 若选在C 校，共行走()()6234372310297?++?+?++?=千米； 若选在D 校，共行走()()62242832104112?++?+?++?=千米； 若选在E 校，共行走()()62324328274106?+++?++?+?=千米； 经比较，选在C 校时总路程最小。
【例 11】 如图，某工地A 有20辆卡车，要把60车渣土从A 运到B ，把40车砖从C 运到D 。问：如
何调运最省汽油？
D C B
A
240米
300米
90米
360米
【分析】如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，
每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了300603604032400?+?=米。 如果一辆从A B C D A →→→→跑一圈，
那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑24090330+=米，
因此，先派20辆车都从A 开始运渣土到B ，再空车开往C 运砖到D 后空车返回A ， 这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。
然后再派这20辆车都从A 运渣土到B 再空车返回A ，则运渣土任务也完成了。 这时总共空车跑了330403002019200?+?=米。
后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。
【说明】“节省跑空车的距离”是物资调运问题的又一个原则。
【例 12】 （2004年11月第五届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛第一（13）题）一位
旅行者要从A 城出发去B 城，但途中他要让马儿去河边饮水。有三条线路供他走，如图所示，他应该将马牵到_______点去饮水，这样走的路程最短。
P 3P 2P 1河岸
B 城
A 城
【分析】对称图形。
（方法一）如图一所示，作A 的映像'A ，分别连接1'A P 、2'A P 、3'A P ； 11'AP A P =、22'AP A P =、33'AP A P =；
因为两点之间直线距离最短；
所以2211''A P BP A P BP +<+、2233''A P BP A P BP +<+； 所以2211AP BP AP BP +<+、2233AP BP AP BP +<+； 所以将马牵到2P 点饮水，这样走的路程最短。
（方法二）如图二所示，作B 的映像'B ，分别连接1'B P 、2'B P 、3'B P ； 11'BP B P =、22'BP B P =、33'BP B P =；
因为两点之间直线距离最短；
所以2211''AP B P AP B P +<+、2233''AP B P AP B P +<+； 所以2211AP BP AP BP +<+、2233AP BP AP BP +<+； 所以将马牵到2P 点饮水，这样走的路程最短。
图二
图一B 城
河岸
P 3
P 2P 1A 城
A'
B 城
河岸P 3P 2P 1A 城
【例 13】
如图所示是一个海湾，OA 、OB 是海岸，Q 是小岛。P 点有一艘轮船需要先到OA 岸，再到OB 岸，最后到小岛Q 。怎走才能使水路最短？
【分析】以OA 为对称轴作P 点的对称点'P ，以OB 为对称轴作Q 点的对称点'Q ，
连接''P Q 交OA 于点M 、交OB 于点N ，则
P M N Q →→→
即为所求最短水路。
【例 14】 如图所示，一牧马人从营房A 点出发，到草地去放牧，傍晚到营房B 之前还要带马到河边饮
水，他应该怎样才能使路线最短？
草地河
A
A'
河草地 【分析】如图，作点A 关于草地的对称点'A ，点B 关于河的对称点'B ，
连接''A B 分别交草地和河于点M 和N ，则从点A 到点M 再到点N ，再到点B 就是最短路线。
节约费用
【例 15】甲、乙两个车间生产，两种零件的效率如下表所示，则两个车间在生产中可以怎样合作？
零件
效率
车间
A零件B零件
甲4060
乙2040
【分析】甲车间生产两种零件的效率都比乙车间高，但是4060 2040
>，
所以说，乙在生产B零件上比甲占有相对优势，应该让乙生产B零件。
【说明】甲乙两个车间，甲做两种零件的效率都比乙快，
但是甲生产A零件的速度是乙生产A零件的两倍，
而甲生产B零件的速度却没有达到乙生产B零件速度的两倍，
所以甲比乙更擅长于生产A零件。
工作分配时，应该让甲生产A零件，乙生产B零件。
换个方向看也一样，乙从A零件变为B零件，效率变为两倍，
而甲从A零件变为B零件，效率没有增加到两倍，
所以乙比甲更适合生产B零件，而甲生产A零件。
【例 16】北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下表所示，单位为百元。那么总运费最少是多少元？
终点
单位运费
起点
武汉西安
北京5060
上海2040
【分析】（方法一）如果有一台车床从北京运往武汉，另一台从上海运往西安，它们的总运费为90元。
交换它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为80元。
由此知北京运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳。
北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，
从而知最佳方案为上海的车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，
总运费为550560620670
?+?+?=元。
（方法二）6040
5020
<，所以上海生产的车床运往武汉比运往西安相对便宜，
上海的车床全部运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安。
（方法三）设从上海运往武汉的车床有x台，则从上海运往西安的车床有(6)x
-台，从北京运往武汉的车床有(11)x
-台，从北京运往西安的车床有5(6)(1)
x x
--=-台，总运费为2040(6)50(11)60(1)73010
x x x x x
+-+-+-=-，所以x越大，总运费越小，因此上海的车床全部运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安。
【例 17】 （1960年上海市数学竞赛）有两个面粉厂供应三个居民区面粉。第一个面粉厂月生产60吨，
第二个面粉厂月生产100吨；第一个居民区每月需45吨，第二个居民区每月需75吨，第三个居民区每月需40吨。第一个面粉厂与3个居民区供应站的距离依次是10里、5里、6里。第二个面粉厂与3个居民区供应站的距离依次是4里、8里、15里。问怎样分配面粉，才能使运输最经济？（1里0.5=千米）
【分析】第1个面粉厂与第1个居民区供应站的距离比第2个面粉厂与第1个居民区供应站的距离多6里；
第1个面粉厂与第2个居民区供应站的距离比第2个面粉厂与第2个居民区供应站的距离少3里； 第1个面粉厂与第3个居民区供应站的距离比第2个面粉厂与第3个居民区供应站的距离少9里； 所以第1个面粉厂供给第3个居民区40吨，第2个面粉厂供给第1个居民区45吨， 第1个面粉厂供给第2个居民区20吨，第2个面粉厂供给第2个居民区55吨。 如图所示，最经济的分配方案如下：
【例 18】 （2006年4月16日第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试第19题）40名学生
参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗。这40名学生可分为甲、乙、丙三类，每类学生的劳动效率如下表所示。如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么应如何安排人员
【分析】（方法一）甲类人，运树苗的效率是挖树坑效率的20210÷=倍，
乙类人，运树苗的效率是挖树坑效率的251
10 1.2833
÷==倍， 丙类人，运树苗的效率是挖树坑效率的353
70.8844
÷=
=倍， 对比运树苗和挖树坑，甲类人所占的相对优势最大，其次是丙类人，最后是乙类人， 所以在保证挖树坑30个的情况下，应先安排运树苗不占优势的人， 只有让运树苗占优势的人去运树苗，才能使得树苗运的最多。
若乙类人全部去挖树坑，可以挖1.21518?=个，安排丙类人，可以挖0.8108?=个， 所以需要甲类人()301882--÷人，
所以乙类和丙类人都去挖树坑，甲类人有两个人挖树坑，其余人运树苗。 （方法二）设甲类有x 人挖树坑，乙类有y 人挖树坑，丙类有z 人挖树坑， 则2 1.20.830x y z ++=，即20128x y z ++，20300128x y z =--， 运树苗的棵数为()()()()2015101571052020107x y z x y z -+-+-=-++， 将20300128x y z =--代入，得()5203001281072202y z y z y z ---++=++，
为使此式取得最大值，y 和z 分别取最大值，15y =，10z =，即乙类和丙类人全部挖树坑， 此时甲类挖树坑的人数有()30 1.2150.81022-?-?÷=人。
【例 19】 已知5支一包的红笔61元，蓝笔70元；3支一包的红笔40元，蓝笔47元；必须成包购买。
如果红笔和蓝笔各至少购买47支，最少要花多少钱？
当买5支一包的红笔9包、3支一包的红笔1包、5支一包的蓝笔7包、3支一包的蓝笔4包时； 最少要花5876771264+=元。
【例 20】 （1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第4题）在一条铁路上每隔100千
米有一个仓库（如图），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个停靠站是空的。现在想把所有的货物都集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？
五四
三
二一40吨
20吨
10吨
【分析】欲使花费的运输费少，关键在于运输的货物和路程尽可能少。
本题中我们用到“小往大处调”原则。
根据此原则，先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中，需运费100.5100500??=元； 此时二号仓库有30吨货物，而五号仓库有40吨货物，
所以应将二号仓库的30吨货物运到五号仓库，需运费300.53004500??=元； 所以将货物集中放在五仓库停靠站时所花运费最少，需要50045005000+=元。
【例 21】 （1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛二试第6题）有十个村，坐落在从县城
出发的一条公路上（如图，距离单位是千米），要安装水管，从县城送自来水供给各村。可以用粗细两种水管。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元。把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用。按你认为最节约的办法，费用应是多少？
【分析】将这个村子依离县城从近到远记为1A 、2A 、3A 、……、10A ，在7A 之后，
粗管可以换成3根或更少的细管，费用将减少。
在6A 和7A 之间，无论安装粗管还是四条细管，花的钱一样多， 在6A 以前不安粗管安细管，需要5条以上的细管，费用将增加； 因此，工程的设计是：从县城到7A （或6A ）安一条粗管；
7A 、8A 之间安三条细管；8A 、9A 之间安两条细管；9A 、10A 之间安一条细管。
这样做，工程总费用最少。()()3052423280006452000414000++++++?+++?=元。
其他
【例 22】 （1989年小学邀请赛决赛第2题）某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时
注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，问：甲、乙两管合放最少需多少小时？
【分析】设整个水池的注水量为“1”；
则甲管的注水速度为
112，乙管的注水速度为1
24
； 甲管的注水速度比乙管的注水速度快，所以甲管应该一直开着，10小时能注水15
10126
?=； 其余51166-
=应在开放甲管的同时开放乙管来注，于是乙管开放的时间为11
4624
÷=小时； 即甲、乙两管合放最少需要4小时。
【例 23】
学而思四年级的学生参加数学竞赛，已知四年级某班的学生分别在5个考场A 、B 、C 、D 、
E 进行考试，
人数如图所示，现主办者为了使各考场的1班人数都一样多，应如何调整才最方便？ A
B C
D
E
417
916144
214
1416917
4A
【分析】四年级某班共有4179141660++++=人；每个考场人数一样多，则每个考场都有60512÷=人；
在调整时，为了使调整最方便，则应该避免对流现象。
先考虑D 考场，有14个人，多出来的2个人应该调到E 考场，
此时E 考场只差1个人，从A 考场调1个人到E 考场，依次类推，调整情况如图所示。
【说明】本题属于物资调配，应遵循“避免对流”原则。
一课一练
【练习1】 用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎1个饼需要2分钟（假定正反面各需1分钟），
问煎2009个饼至少需要几分钟？
【分析】2009是奇数，所以如果两个两个地煎，最后肯定会剩下1个，
可以先两个两个地煎好2006个，最后的3个再用3分钟煎完，因此一共需要2009分钟。
【练习2】 如图所示，A 、B 是小岛，直线l 是海岸线，在海岸线上准备修建的码头C 。当AC BC +取
最小值时，C 的位置在何处？
海岸
B
A
A
B
A'
C 海岸
【分析】如图所示，作点A 关于直线l 的对称点'A ，连接'A B 交直线l 点C ，
则AC BC +最小。
【练习3】 一批货物重196吨，现在要运往某地，大卡车的载重量是10吨，每辆需要运费180元，小卡
车的载重是8吨，每辆需运费160元，怎样安排运输车辆最省钱？
【分析】大卡车运一吨货物需要1801018÷=元，小卡车运一吨货物需要160820÷=元，
所以应该多用大卡车，19610196÷=L L ，所以可用19辆大卡车和一辆小卡车， 此时小卡车装不满，调整一下，用18辆大卡车和2辆小卡车，此时所有车均装满， 且大卡车尽量多，运费最省。
【练习4】 小王骑牛赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分，乙牛过河需2分，丙牛
过河需5分，丁牛过河需6分。每次只能赶两头牛过河。问要把这4头牛都赶到对岸去，最少需多少分？
【分析】为了使总时间最少，则过河时用时多的牛要一起赶，返回时要骑用时少的牛，
所以在赶牛时要先把用时少的牛赶到对岸去，这样返回时就可以骑回来。
具体方法如下：先将甲、乙两头牛赶到对岸，用时2分钟，然后骑甲牛回来，用时1分钟； 再赶丙、丁两头牛区对岸，用时6分钟，骑乙牛回来，用时2分钟； 最后骑甲、乙两头牛到对岸，用时2分钟； 整个过程一共用时2162213++++=分钟。
【练习5】 学校有一个打气筒，给一辆三轮车打足气需7分钟，给一辆自行车打足气需4分，给一辆板
车打足气需5分。同时来了3种车各一辆，怎样安排这3种车打气的顺序，才能使总共需要的时间（包括打气和等候的时间）最省？最少用多少时间？
【分析】各自打气的时间是固定的，为使等候的时间尽量少，则应该给占用时间少的车先打气，
因此打气的先后顺序是自行车、板车、三轮车，
板车的等候时间是4分钟，三轮车的等候时间是459+=分钟； 因此时间最少为4574929++++=分钟。
【练习6】 理发室有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、
15、20和24分钟，怎样安排他们理发顺序，才能使这五个人理发及等候所用的时间最少，最少要用多少分钟？
【分析】要使等候的时间少，则要先理所需时间少的发型，所以先理10分钟和12分钟的，
10分钟的理完后理15分钟的，12分钟的理完了理20分钟的，最后15分钟的理完了理24分钟的。
所以他们各自所用的时间分别为10分钟，12分钟，
101525+=分钟，122032+=分钟，10152449++=分钟， 共花了1012253249128++++=分钟。
【练习7】 甲、乙两个粮库要向A 、B 两个超市运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80
吨，A
问：
【分析】从甲库运1吨大米到A 超市需要12120240??=元，乙库需要12115180??=元，
从甲库运1吨大米到B 超市需要2510250?=元，乙库需要8120160??=元，
240180
250160
<
，所以甲库的大米应该优先运给A 超市，甲库运70吨大米给A 超市， 30吨大米给B 超市，乙库的80吨大米全部给B 超市。
【练习8】 如图所示，要在两条街道AB 、CD 上设立两个邮筒，K 处是邮局。邮递员从邮局K 出发，
从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，问邮筒应设在何处，方能使邮递员所走的路程最短？
D
C
B
A
【分析】如图所示，作点K 关于直线AB 的对称点'K ，关于CD 的对称点''K ，
连接'''K K 交AB 于点M ，交CD 于N ，则邮筒设在M 、N 两处时，邮递员所走的路程最短。
【练习9】 （2003年第十二届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第3题）小强、小明、小红和小蓉
4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒。由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，并由1个人将手电筒送回，再由2个人拿手电筒过桥……直到4人都通过小桥。已知：小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要_______分钟。 【分析】方案①：让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回；
第一次：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，用时1.51 2.5+=分钟； 第二次：小强与小红一起过桥，并由小强带手电筒返回，用时213+=分钟；
第三次：小强与小蓉一起过桥，用时2.5分钟； 4个人都通过小木桥，最少要2.53 2.58++=分钟。
方案②：让走的最慢的两人小蓉和小红一起过桥，分别让小强和小明将手电筒送回； 第一次：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，用时1.51 2.5+=分钟； 第二次：小红和小蓉一起过桥，并由小明带手电筒返回，用时2.5 1.54+=分钟； 第三次：小强与小明一起过桥，用时1.5分钟； 4个人都通过小木桥，最少要2.54 1.58++=分钟。 综上所述，4个人都通过小木桥，最少要8分钟。
【练习10】 甲、乙两个国家都出产咖啡和葡萄酒，他们生产咖啡和葡萄酒的成本如下表所示，若这两个
国家分工合作，则他们应该分别生产什么？
【分析】5020 2.5÷=，6040 1.5÷=，2.5 1.5>；
所以甲相对于乙而言，它在生产葡萄酒上具有相对优势，其成本较低； 所以甲生产葡萄酒，乙生产咖啡。
【练习11】 甲、乙、丙三名车工打算在同样效率的3台机床上造出7个零件，造出各零件的时间分别为4、
5、6、6、8、9、9分钟，3人同时开始工作，最少经过多长时间可造出7个零件？
【分析】加工所有的零件需要456689947++++++=分钟，则每台机床平均时间是2
473153
÷=分钟；
因为零件都是整数分钟，所以取整至少为16分钟，经验证，16分钟不可能； 考虑17分钟，此时三台机床加工零件的时间分为（8、9），（5、6、6），（4、9），符合条件。
【练习12】 车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15、8、29、3、
9分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失10元。⑴如果只有一名修理工，按照最佳修理顺序，至少要造成经济损失多少元？⑵如果有两名修理工，那么修复全部机器至少需要多少分钟？
【分析】⑴先修时间短的机器，按3分钟、8分钟、9分钟、15分钟、29分钟的顺序修理；
至少损失()358493152291101330?+?+?+?+??=元。
⑵一人修理3分钟和29分钟，另一人修理8分钟、9分钟和15分钟； 经过32分钟五台机器全部修复。
补充
【补充1】 如图所示，长方体的A 点处有一只小蚂蚁，它要从长方体的表面爬到长方体的G 点处，已知
3AB =，4BC =，5CG =，请帮它找出一条最短路线。
H B
C E F G
H
A B C G
D G F
E H
【分析】如图，找出3条路线，其中最上面一条路线：2223(45)90AG =++=,
中间一条路线：222(35)480AG =++=，下面一条路线，2223(45)90AG =++=， 最短的路线是中间的路线。
【补充2】 （1988年全国小学邀请赛初赛第19题）甲、乙两个服装厂每个工人和设备能全力生产同一
规格的西服。甲厂每月用3
5的时间生产上衣，25的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙
厂每月用
47的时间生产上衣，3
7
的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月可比过去多生产西服_______套。 【分析】单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为
23； 单位时间内乙厂生产的上衣与裤子的数量之比为34
； 因为
23
34
<，所以甲厂擅长生产裤子，乙厂擅长生产上衣； 甲厂全力生产裤子，全月可生产裤子2
90022505
÷
=条； 乙厂全力生产衣服，全月可生产衣服4
120021007
÷
=条； 为了配套生产，甲先全力生产2100条裤子，需用14
2100225015
÷=月； 甲厂再用14111515-
=月单独生产西服1
9006015
?=套。 现在每月可比过去多生产西服()()210060*********+-+=套。
【补充3】山区有一个工厂。它的十个车间分散在一条环形的铁道上。四列货车在铁道上转圈。货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物。当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示），也可以坐着货车到各车间去，也可以一部分装卸管固定在车间，另一部分坐车。问：怎样安排能使装卸工的总人数最少？
4列货车上各有46名装卸工
【分析】只要有4个以上的车间还有装卸工人，
可以让每个车间减少1名装卸工，而增加4名装卸工到货车上，
用上述方法都可以使总人数减少。
因此，直到每列货车上有46名装卸工，还有4个车间有等车的装卸工时，就无法再减少总人数了。
这时各车间等车的人数如图所示，故最少需要装卸工的人数是46442611207
?++++=个。【补充4】（1995年第5届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试题第18题）某人从金坛市出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛。已知各市之间的路费如表所示（表中单位：
【分析】将两个城市之间的路费标在这两个城市间的连线上，有三对城市之间路费最低，都是15元。
因此，常州15
??→扬州15
??→苏州15
??→杭州共用45元；
方案1：金坛30
??→常州15
??→扬州15
??→苏州15
??→杭州60
??→金坛，
方案1共需路费3015151560135
++++=元；
方案2：金坛30
??→常州30
??→杭州15
??→苏州15
??→扬州40
??→金坛，
方案2共需路费3030151540130
++++=元；
路费最省，15元的路段至多只能有2条。
当有2条15元路段时，25元的路段至多有1个；
所以总路费不少于1515253040125
++++=元。
接下来说明总路费为125元是不可能达到的。
由金坛一进一出的304070
+=元不能变动，如加变动，总路费便会增加。
此时，假定金坛30
??→常州，扬州40
??→金坛；
常州30
??→杭州15
??→苏州15
??→扬州的费用为30151560
++=元，总费用为7060130
+=元；
常州25
??→苏州15
??→杭州25
??→扬州的费用为25152565
++=元，总费用为7065135
+=元；
所以总路费为125元是不可能达到的，即总路费最少是130元。
路线为“金坛30
??→常州30
??→杭州15
??→苏州15
??→扬州40
??→金坛”，
或“金坛40
??→扬州15
??→苏州15
??→杭州30
??→常州30
??→金坛”。
杭州苏州
扬州
常州
15
2515 60
50
30
30
40
25
15
【补充5】某车间有铣床8台、车床3台、自动机床1台，生产一种由甲、乙两种零件各1个组成的产品。
每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个。这些机器每天最多可生产多少套产品？
【分析】铣床、车床、自动车床每天生产甲、乙两种零件的速度比依次为
101
202
=、
202
303
=、
303
808
=；
因为
312
823
<<，所以使车床全力生产甲零件，自动车床全力生产乙零件；
车床全力生产甲零件，3台车床每天生产20360
?=个甲零件；
自动车床全力生产乙零件，1台自动车床每天生产80180
?=个乙零件；
此时每天还差甲零件806020
-=个，需要20102
÷=台铣床；
因为铣床每天生产甲、乙两种零件的速度比依次为
1
2
，
则让4台铣床生产甲零件、2台铣床生产乙零件。
14440
?=个甲零件
每天最多可生产8040120
+=套产品
【补充6】（1978年北京市数学竞赛二试第4题）如图是一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这
个地区。七个工厂
1
A、
2
A、
3
A、
4
A、
5
A、
6
A、
7
A分布在公路两侧，由一些小路（细线）与公路相连。现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好。（a）这个车站设在什么地方最好？（b）证明你的结论。（c）如果在P点的地方再建立一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
【分析】因为由各个工厂到公路上路口的小路长度是固定不变的，
所以问题转化为“设计一个车站，使各路口B、C、D、E、F到车站的距离总和最小，
其中D和F到车站的距离要重复计算”。
设车站的位置为Q。
当有（21n -）个路口时（n +∈Z ），路程总和都等于1
221n AQ A Q A Q -+++L L ()()()1
212221112122211n n n n n n n n n n AQ A Q A Q A Q A Q A Q A Q A A A A A A A Q ---+---+=+++++++=+++L L 。 当车站Q 选在n A 时，路程总和最小。
当有2n 个路口时，路程总和都等于122n AQ A Q A Q +++L L ()()()1
22211n n n n AQ A Q A Q A Q A Q A Q --=++++++L L 。 当车站Q 选在1A 点、2n A 点或12n A A 之间时，()1212min n n A Q A Q A A +=， 当车站Q 选在2A 点、21n A -点或221n A A -之间时，()221221min n n A Q A Q A A --+=， ……
当车站Q 选在1n A -点、n A 点或1n n A A -之间时，()11min n n n n A Q A Q A A --+=， 所以当车站Q 选在1n A -点、n A 点或1n n A A -之间时，总路程最小。
（a ）车站设在D 点。
（b ）因为112127++++=是奇数，D 点在最中间，由上述分析可知车站设在D 点。 （c ）如果在P 点的地方再建立一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路； F 到车站的距离要重复计算3次；
因为112138++++=，所以由分析可知车站设在D 点、E 点或者DE 之间的任何地点。
【补充7】 （2001年第8届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组复赛第12题）某工厂每天用于生产
玩具小狗和小猫的全部劳动力为90个工时，原料为80个单位。生产一个小狗要用2个工时和4个单位的原料；生产一个小猫要用3个工时和1个单位的原料。问：每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是多少？
【分析】设生产玩具小狗和小猫的数量分别是x 和y ，
由已知条件，可以得到两个不等式2390480x y x y +≤??+≤?
L L L L ①
②；
①2?+②，得87260x y +≤，所以()7260x y x +≤-，111
3737777
x x y x -+≤+-=-
； 解二元一次方程组2390480x y x y +=??+=?，解得15
20x y =??=?
所以()max x y +至少为35。
由①，得2
303
y x ≤-，即max 30y =，所以要使x y +取到最大值，5x ≥；
所以222
3030526333y x ≤-≤-?=，所以26y ≤，所以要使x y +取到最大值，9x ≥；
所以1916
373735777
x x y --+≤-
≤-=，所以()max x y +至多为35。
所以()
max 35
x y
+=。每天生产玩具小狗和小猫的总数最多是35。
【说明】求最大值有个基本的想法就是，它可以达到多少，它的上限可能是多少？
用数学的表述就是：m≤答案≤n，即答案夹在m和n之间，
然后不断地减小n，加大m，称为“两头夹”法。
利用这个方法，把问题化为求二元一次方程组和对不等式的讨论。
【补充8】（1980年北京市初中数学竞赛第6题）某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组，甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣或一条裤子），问：7天中这四个小组最多可缝制多少套衣服？
【分析】甲、乙、丙、丁四个小组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为
84
105
=、
93
124
=、
7
11
、
6
7
；
因为6437
75411
>>>，所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率高；
丁组7天生产上衣6742
?=件；
丙组7天生产裤子11777
?=条；
甲组7天生产上衣8756
?=件，
乙组7天生产裤子12784
?=条；
所以选择丁组、甲组7天都生产上衣，丙组7天都生产裤子；此时裤子还差42567721
+-=条；
乙组生产21条裤子要用
7
2112
4
÷=天，还有
721
7
44
-=天；
因为乙组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为3
4
；
所以乙组用21
743
4
÷?=天生产上衣，用
219
73
44
÷?=天生产裤子，能生产出27套；
最多能生产425627125
++=套衣服。
【补充9】5个工件需要先在甲机床上加工，然后在乙机床上加工，每个工件需加工的时间如下表所示，单位是小时。那么加工完这个工件所需的总工时最短是多少小时？
【分析】从表中可看出甲机床总加工时间是26小时，乙机床加工时间是22小时。
同一工件不能同时在两个机床上加工，先在甲机床加工，后在乙机床加工的顺序不能颠倒。
但两个机床可以同时工作，所以把工件2放在最后加工，所需工时数最少。
用甲机床的总加工时间加上工件2在乙机床加工所需时间就是本题的解。
所以，加工完这五个工件至少需要34757228
+++++=小时。
小学奥数题库——统筹规划
板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最 少用多长时间？
【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能 再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把 这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【例 4】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟 后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？
【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第26讲 追及问题(教师版)
第26讲追及问题 根据“路程和＝速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差 例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同 时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲 和v 乙 ，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米 例1、小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 【解析】 典例分析 知识梳理 教学目标
小明12分钟走的路程 200米/分 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70×12=840(米)， 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米， 我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分， 他们之间的距离就缩短280-70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分), 爸爸追及的时间：840÷210=4 (分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16 (分钟)， 此时离家的距离是：70×16=1120(米) 例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 【解析】若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）； 哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？ 40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟. 例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？ 【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）． （2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：160÷2+340=420（千米）． 例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟， 在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟)． 李华在这段时间比王芳多走：70×12= 840(米)， 速度差为：110-70=40 (米/秒)，
小学奥数统筹规划题库学生版
8-4统筹规划 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率． 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少 用多长时间？ 【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过
2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再 贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把 这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【例 4】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟 后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 【例 5】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持 劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正 是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们 有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟 了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？ 【巩固】(迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只 能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿 着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5 分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要 多少分钟？ 【例 6】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他 们等候的总时间最短，最短的时间是多少？ 【巩固】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，
【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第03讲-解决问题(教师版)
第03讲解决问题 教学目标 ①学习了解应用题的解决步骤； ①会解决常见的应用题； ③在解决问题的过程中培养学生的独立思考能力。 知识梳理 一、简单应用题 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 二、复合应用题 复合式应用题需要两步或两步以上计算才能求得答案的应用题。解题时后面的每一步得得用前一步。 解答复合应用题时一般有如下四个步骤： （1）弄清题意，找出已知条件和所求问题； （2）分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径； （3）拟定解答计划，列出算式，算出得数； （4）检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。 典例分析 考点一：简单的应用题 例1、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 【解析】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。例2、一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问：油和桶各重多少千克？
【解析】原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）。 例3、有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？ 【解析】由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。 例4、一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 【解析】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5、有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等？ 【解析】由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 考点二：复合应用题 例1、某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？ 【解析】条件摘录综合法思路： 前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数； 已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧； 根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路： 要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
四年级奥数教师版追及问题
第九讲追击问题 知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程×追及时间）＝（甲的速度×追及时间） —（乙的速度 ＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间 . ＝速度差×追及时间 千米．同时一列60甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行例1：千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小90快车从乙地出发，每小时行时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）30??6090（千米），所以追及时千米，速度差解析：追及路程即为两地距离2408??30240. 间（小时） 分钟后，哥哥以每分钟.540米的速度步行回家【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从60. 学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）2005?40?（米）；哥哥每地，此时弟弟已走了解析：若经过5分钟，弟弟已到了A10)?60?40?40?5(（分），200米呢？分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这. 10分钟可以追上弟弟哥哥 千米后乙才开始出发，甲每小时10】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶【巩固2 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？15千米，乙每小时行驶10行驶5?15?10（千千米，以后两人的距离每小时都缩短解析：出发时甲、乙二人相距10千米就是几小时能510千米里有几个米），即两人的速度的差（简称速度差），所以2?10)?(15?10. 2个小时追上：（小时），还需要 126千米的速度向某地前进，【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时千米的速度前去联络，问多少小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78 时间后，通讯员能赶上先遣队？小时行驶的路程。解析：追及路程就是先遣队121)?(78?6)(6?12?．(小时) 分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家12米．离家2例：小明步行上学，每分钟行70米的速度去追小明．问爸爸出发几280中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图： 70?12?840(米)，即爸爸要追及的路当爸爸开始追小明时，小明已经离家：程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，280?70?210(米)爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短，280?70?210(米/也就是爸爸与小明的速度差为分),爸爸追及的时间：840?210?412?4?16(分钟(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发)，此70?16?1120(米时离家的距离是：) 【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
四年级奥数生活中的数学(教师版)
生活中的数学 生活中到处有数学，例如，人们经常要外出学习，工作或活动、买东西，就要走路、乘车、坐船。在在这些过程中，都会遇到许多数学问题。用数学知识来解决这些问题，这就是数学实际问题的应用。 学会解决生活中乘车、坐船、走路、买东西、切西瓜等常见的数学问题，可以提高我们动手、动脑的能力和巧妙解决问题的能力。 例1.有25人要到河的对岸去，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，小船至少要载几次，才能全部过河？、分析：如果直接用25÷5=5（次）来计算，那就错了。因为虽然船上每次能坐5个人，但在船返回的时候，必须有一个人跟着船一起返回。所以，每次只能有5-1=4（人）过河。只有在最后一次的时候由于不需要再返回，所以能运5人。那么，小船至少要载（25-5）÷4+1=6（次），才能全部过河。 解答：每次过河的人数：5-1=4（人） 小船至少要载的次数：（25-5）÷4+1=6（次） 答：小船至少要载6次，才能全部过河. 结论：划小船，要有人划，回来还要留1人在船上，划一次船载5人，只能把4人送到河对岸，有1人划回来，但是最后一趟就不需要再划回去。 练习1.有41人要过河，河边只有一条能坐6人的小船，至少要渡几次才能使大家全部过河？ 练习2.有34人要过河，一条只能坐4人的小船，至少要渡几次才能让大家全部过河？ 练习3.有21个小朋友要去小河对岸，只有一条小船，每次最多能坐6人。最少要几次，小朋友才能全部渡河？ 例2.旅游团有30人要去机场乘飞机，团里有两种车，一种是面包车，每辆可乘9人；另一种是小轿车，每辆可乘4人。应怎样派车把这30人送到机场？哪一种派车方案比较合理？ 分析:我们可以只派面包车，30÷9=3（辆）……3（人），3+1=4（辆），要派4辆面包车；也可以只派小轿车，30÷4=7（辆）……2（人），7+1=8（辆），要派8辆小轿车；还可以两种车同时派，根据面包车的数量从多到少考虑，派车的方案列表格如下： 3种方案，即派2辆面包车和3辆小轿车比较好，派出的这5辆车正好坐满，空座位数是0. 解答：最好派2辆面包车，3辆小轿车。 结论：乘车时如果是几种车辆的组合，就要用凑数的方法，看用几辆大车和几辆小车把人一起运走比较合适，可以用列表格的方法将所有方案列举出来，相互比较，得出最优方案。 练习1.一个旅游团20人要过河，河边有大、小两种船，大船每条可坐9人，小船每条可坐4人，应怎样租船把这20人送过河？哪一种租船方案比较好？
小学奥数 统筹规划.学生版
统筹规划 教学目标 1.掌握合理安排时间、地点问题. 2.掌握合理布线和调运问题． 知识点拨 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 例题精讲 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、
反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟； 如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到： 先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分 钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、 第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正 面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样 总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只 饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．) 【答案】3分钟 【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少 分钟？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛 【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时 取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块 已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分 钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙 21块饼，至少用213963 ÷?=(分钟)． 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续 往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325 +=分钟，煎 6个饼需要6226 +÷?=分钟，那么煎2009 ÷?=分钟，煎7个饼需要34227 个饼至少需要2009分钟． 【答案】2009分钟 【例 2】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40 分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。
四年级奥数追及问题-教师版
追及问题精讲 知识导航 追及路程＝甲走的路程—乙走的路程 ＝（甲的速度×追及时间）—（乙的速度×追及时间） ＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差90-60=30（千米），所以追及时间240÷30=8（小时）. 【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）. 解析：若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了40×5=300（米）；哥哥每 分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷(60-40)=10（分），哥哥10分钟可以追上弟弟. 【巩固2】甲、乙二人都要从去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：10÷(15-10)=2（小时），还需要2个小时. 【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？ 解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 (6×12)÷(78-6)=1(小时)． 例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？ 解析：如图： 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：8401270=?(米)，即爸爸要追及的路程为840
湖南省湘潭市小学数学小学奥数系列8-4-1统筹规划(一)
湖南省湘潭市小学数学小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） (共23题；共120分) 1. （5分）妈妈用一口平底锅煎荷包蛋，一口锅能同时煎2个。煎一个荷包蛋需要煎两面，每面需要1分钟。 （1）煎2个荷包蛋至少需要几分钟？ （2）煎3个荷包蛋至少需要几分钟？ 2. （5分）两个油漆工要给7块同样的木板正反两面刷漆，每人刷完每面要2分钟，并且两人不能同时给同一块木板刷油漆。怎样安排才能使刷油漆用的时间最少？最少需要几分钟？ 3. （5分）一个平底锅，每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面要烙2分钟。 （1）要烙3张併，至少需要（）分钟。把烙饼的过程记下来。 （2）如果要烙4张饼呢? （3）如果要烙5张饼呢?
4. （5分）小明学妈妈打鸡蛋汤，他做事的顺序是：打鸡蛋2分钟﹣﹣切葱花2分钟﹣﹣准备佐料2分钟﹣﹣洗锅1分钟﹣﹣把水烧热6分钟﹣﹣汤出锅3分钟．最后他一共花了16分钟．你能比他节省6分钟完成打鸡蛋汤吗？把合理安排做事的顺序写出来． 5. （5分） (2019五下·沂源期末) 亲爱的同学，五年的小学时光即将结東。在数学学习中，你学习了知识，也获得了解决问题的许多策略与方法，你印象最深的是哪种?请你试着举出一个运用这种方法（或策略）解决问题的例子。 6. （5分）苹苹的微信朋友圈中有这样一则信息： “求真相，一直不明白打车6.1千米为什么要21元？” 她的朋友依依跟帖： “有奖竞猜，我今天打车付了36元，亲们，猜猜我打车最多坐了几千米？” 下面是她俩所在的城市出租车计费标准。（不足1千米按1千米算） 你能写出计算过程，给苹苹和依依满意的回复吗？ 7. （5分） (2019三上·郑州期末) 有24名学生乘车去园博园．小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人．如果每车都坐满，怎样租车才能正好一次到达？ 8. （5分）售货员把29个乒乓球分装在5个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓个数小于30，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 9. （5分）某次野外活动，需要2千克水，现在只有一个装3千克水的小桶和一个装4千克水的大桶，怎样才能用这两个空桶取回2千克水？(请写出取水过程．) 10. （5分）爸爸和妈妈共带领3个小朋友到游乐园游玩，活动项目及时间如下表，而且游乐园规定：小朋友不能单独参加这些项目，每位家长每次只能带1个小朋友参加。
四年级奥数智巧趣题教师版
智巧趣题 知识要点 数学问题中有许多趣题，它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有利于我们思维的拓展，同时激发对数学的兴趣。 本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观察生活中的各类事实，学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。 翻硬币 【例 1】（2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级2试第6题）桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转3枚硬币，至少_______次可使向上的一面都是“国徽”。 【分析】将4枚硬币都翻转成向上的一面都是“国徽”要翻转偶数次； 翻转2次后的情况为⑴“国徽”、“国徽”、“国徽”、“数字”⑵“数字”、“数字”、“国徽”、“国徽”； 所以翻转2次不能使向上的一面都是“国徽”； 通过如下操作，可使硬币只翻转4次后为向上的一面都是“国徽”； ①“数字”、“国徽”、“国徽”、“国徽”②“国徽”、“数字”、“数字”、“国徽”； ③“数字”、“国徽”、“数字”、“数字”；④“国徽”、“国徽”、“国徽”、“国徽”。 【例 2】桌上放有345枚正面朝下的硬币，第1次翻动其中1枚，第2次翻动其中2枚，第3次翻动其中3枚，……，第345次翻动其中345枚。经过345次翻动后，能否使这345枚硬币都正面朝上？【分析】第1次与第344次合起来共翻动345枚硬币，可将所有硬币各翻动一次； 同理，第2次与第343次，第3次与第342次，……，第172次与第173次， 都可将所有硬币各翻动一次； 第345次也将所有硬币各翻动一次；
四年级奥数教师版第八讲相遇问题
第八讲相遇问题 知识导航 相遇问题：速度和=总路程÷相遇时间 总路程=速度和×相遇时间 相遇时间=总路程÷速度和 例1：一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米？解析：本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）． 【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 解析:根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时）， 所以甲走的路程为：45×3=135（千米）， 乙走的路程为：40×3=120（千米）. 例2：小新的家距离学校3000米，小新爸爸从家去学校接小新放学，小新从学校 回家，他们同时出发，爸爸每分钟比儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么小新的速度是每分钟走多少米？ 解析：小新和爸爸的速度和：60 3000= ÷(米/分钟)， 50 爸爸的速度：42 ÷ (= +(米/分钟)， 60 2 ) 24 小新的速度：18 -(米/分钟)． 42 60= 【巩固】甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时,则在乙动身2.5小时后两人相遇;若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.甲每小时走______千米.乙每小时走_______千米. 解析： 36×2÷(2+3+2.5)=9.6(千米/小时) 甲速:(36-9.6×2.5)÷2=6(千米/小时) 乙速:(36-9.6×3)÷2=3.6(千米/小时) 例3：A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15
小学奥数———统筹与规划
统筹与规划 【知识要点】 我国古代有一句话；“运筹于帷幄之间，决胜于千里之外。”后人用这句话来形容领导者在后方筹划、制定作战策略，能决定千里之外的战争胜负。这里“运筹”是制定策略、策划、统筹安排的以上。 在日常生活、学习和生产、工作中经常遇到一些事情需要我们进行合理的安排，而统筹方法是生活和生产中合理安排工作的一种科学方法。应用统筹方法可以提高工作效率，减少时间的浪费。 应用统筹方法解决实际问题时，一般要做好3项调查： 1、要做哪些工作？ 2、做每件工作需要多长时间？ 3、弄清所做工作的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可同时做？ 然后根据结果画一张流程图，然后再根据流程图详细地说明统筹安排的具体方法。 【典型例题】 例1、早晨、妈妈起来准备早饭。她烧开水要用8分钟，擦桌椅要用5分钟，灌开水要用分钟，下楼买油条、拿牛奶要6分钟，煮牛奶要用6分钟，并且灶台上只有一个灶头。妈妈怎样安排才能使所用的时间最短？是多少分钟？ 练习、妈妈让玮文给客人烧水沏茶，洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，为了使客人早点喝茶，你认为最合理的安排是多少分钟就能沏茶了？
例2 用一个平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正反面各需要1分钟）如果要烙3张饼，最少需要多少分钟？烙120张饼呢？ 练习2、正元用平底锅烙饼给大家吃，这只锅同时能放4个大饼，烙一个饼需要4分钟，（每面各需2分钟），可心如烙6个饼只用6分钟，她是怎样操作的？ 例3、4个人各拿一个大小不同的水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和4分钟。如果只有一个水龙头，那么怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水的时间的总和最小？请你求出这个最小值。 练习1、在一条公路上每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库有20吨货物，二号仓库有10吨货物，五号仓库有50吨货物，其余两个仓库都是空的。选择要把所有的货物集中到一个仓库了。 （1）运到那个仓库才能使运行的路线最短？ （2）如果每吨货物运输1千米需要1元运费，那么最少需要多少运费？
四年级奥数第13讲数数图形(教师版)
四年级奥数第13讲数数图形（教师版）x λ①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形； λ②学会数基本图形的个数； λ③掌握数图形的规律。 一、学会数图形 同学们,你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。 二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点： 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。 考点一：基本图形
例1、数出下图中有多少条线段？ 【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以,图中共有线段3+2+1=6（条）。 方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以,图中一共有3+2+1=6（条）线段。 例2、数出图中有几个角？ 【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个；以OB为一边的角还有： ∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1个。所以,图中共有角3+2+1=6（个）。 方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。所以,图中一
吉林省吉林市数学小学奥数系列8-4-1统筹规划(一)
吉林省吉林市数学小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、小学奥数系列8-4-1统筹规划（一） (共23题；共120分) 1. （5分）小刚、小敏、小兰和小强每两个人通一次电话，可以通多少次电话？ 2. （5分）早餐店炸油饼，油锅一次最多能炸2张饼，炸熟一张饼要4分钟（正反面各2分钟）．如果一个客人要9张饼，早餐店老板最快多少分钟可以把油饼给他？ 3. （5分）师傅说：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面2分钟。 徒弟问：烙熟1张饼需要几分钟？2张、3张、4张......呢？ （1）填写下表． 烙饼张数烙饼方法所需时间 1先烙正面，再烙反面 2两张一起烙 3接最佳方法烙 4两张、两张地烙 5先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 6 7 8 9 （2）照这样计算，烙199张饼需要多长时间？ 4. （5分）小明学妈妈打鸡蛋汤，他做事的顺序是：打鸡蛋2分钟﹣﹣切葱花2分钟﹣﹣准备佐料2分钟﹣
﹣洗锅1分钟﹣﹣把水烧热6分钟﹣﹣汤出锅3分钟．最后他一共花了16分钟．你能比他节省6分钟完成打鸡蛋汤吗？把合理安排做事的顺序写出来． 5. （5分）小芳要为妈妈冲一杯热奶茶，她烧开水需要5分钟，打开奶茶需1分钟，洗茶杯需2分钟，冲奶茶需1分钟。她应该怎样安排，才能尽快让妈妈喝上热奶茶？ 6. （5分）苹苹的微信朋友圈中有这样一则信息： “求真相，一直不明白打车6.1千米为什么要21元？” 她的朋友依依跟帖： “有奖竞猜，我今天打车付了36元，亲们，猜猜我打车最多坐了几千米？” 下面是她俩所在的城市出租车计费标准。（不足1千米按1千米算） 里程3km以内超过3km的部分 收费11元（起步价） 2.5元/km 你能写出计算过程，给苹苹和依依满意的回复吗？ 7. （5分）小明、小亮、小芳同时来到学校医务室． 要使三个的等候时间的总和最少，应该怎样安排他们的就诊顺序？ 8. （5分）小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？ 9. （5分）某次野外活动，需要2千克水，现在只有一个装3千克水的小桶和一个装4千克水的大桶，怎样才能用这两个空桶取回2千克水？(请写出取水过程．) 10. （5分）有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分
四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题
第三讲方阵问题 知识导航 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 核心公式： 1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。 【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可 以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子 14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就 可以求出各层总数。 解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
四年级奥数第18讲重叠问题(教师版)
四年级奥数第18讲重叠问题（教师版） λ 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 λ掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数, 用式子可表示成：A B A B A B =+-,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B ,即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步 进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元 素都“包含”进来,加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 教学目标 知识梳理 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．
二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 考点一：两量重叠问题 12 有,人29参加数学兴趣小组的有,人28参加语文兴趣小组的有,实验小学四年级二班、1例人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组? C B A 【解析】如图所示,A 圆表示参加语文兴趣小组的人,B 圆表示参加数学兴趣小组的人,A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加 典例分析 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大 圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
统筹规划问题(小学数学奥数五年级)
统筹规划问题 知识与方法： 在生活中，我们经常遇到将一些事情进行合理安排的问题，也就是在一定的时间内做好几件事情，同时还要做到省时，省力，从而取得最大工作效率问题我们把这类问题称为统筹问题。 解决此类问题时，必须树立统筹的思想，能同时做的事，尽量同时做。有时还会出现求费用最省，面积最大，损失最小等问题，这类问题的可以从极端情况去探讨最大（小）值。在数学称为极值问题。统筹规划问题和极值问题，实际上都属于最优化问题，其目的都是在允许范围内得到最佳效益。 例1:用一个平底锅烙菜饼，每次能同时放2张菜饼，如果烙1张菜饼需要2分钟（假设正反面各需要一分钟），那么烙3张菜饼至少需要几分钟？ 练习1: 1.用一个平底锅烙油饼，锅里只能同时放2张油饼，油饼的每一面都需要烙3分钟。现在烙3张油饼，最少需要几分钟？
2. 乐乐的妈妈用平底锅烙饼，这只锅能同时能放四张饼，烙一张要4分钟（每面各需2分钟），妈妈烙六张饼只用了6分钟，她是怎样做的？ 例2:妈妈让小军给客人烧水沏茶，洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟。洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了使客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟后客人就能喝上茶？ 练习2: 1.李晨早上完成这几样事:烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。为了尽快做完这些事，最少需要几分钟？ 2.小强给客人沏茶，烧开水要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶要1分钟，为了使客人能早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟后就
能沏茶了？ 例3:四一班甲、乙、丙三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病，家打针需要5分钟，乙包纱布需要3分钟，丙点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医。问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生时等候的时间总和最短，请你算出这个时间？ 练习3: 1.运动会时，甲、乙、丙三人分别拿着2个，3个，1个暖水瓶同时到达开水房打开水，热开水龙头只有一个。如何安排他们三人打水的次序，可以使他们三人打开水花的总时间最少？请算出这个时间（假设打满1瓶开水需要1分钟。）