灰色预测模型及应用论文

灰色预测模型及应用论

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灰色系统理论的研究

GM(1,1)预测与关联度的拓展

摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。

关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论

The Research of Grey System Theory

GM（1,1) prediction and the expansion of correlation

xueshenping Instructor: tangshaofang

Abstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant achievements.

This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of the order of hearing.

Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theory

目录

灰色系统理论的研究

GM(1,1)预测与关联度的拓展

1、引言

模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。

、研究背景

1.1.1、国内研究现状

历史上，普遍认为信息不完全的系统是不可解的。1982年，北荷兰出版社公司出版的Systems & Control Letters即《系统和控制通信》发表“灰色系统的控制问题”论文，宣告了新兴横断学科灰色系统理论的诞生，作者为中国华中理工大学的邓聚龙教授，后来又相继出版了《灰色系统（社会经济）》、《灰色控制理论》、《多维灰色规划》、《灰色预测与决策》等20种灰色系统专着，在这一系列的专着中，邓聚龙一步一步地向他设想的灰色世界的前沿迈进。

灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。

1.1.2、国外研究现状

灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。

国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统

论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论着。

、研究意义

邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义:

(1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现;

(2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响，是对系统科学的新贡献。

2、灰色系统及灰色预测的概念

、灰色系统理论发展概况

2.1.1、灰色系统理论的提出

着名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文“ The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊 System&Control Letter, 1982, 。

2.1.2、灰色系统理论的研究对象

灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。

区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。

2.1.3、灰色系统理论的应用范围

在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难

关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不完全；运行的行为信息不完全。

一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。

遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。

人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。

显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。

2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析

表1

、灰色系统的特点

灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。

（1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。

在数学发展史上，最早研究的是确定型的微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运

动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。

不确定量量化（用确定量的方法研究）

1、概率论与数理统计；

2、模糊数学；

3、灰色数学（灰色系统理论）

（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。

研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。

灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。

（3）灰色系统理论能处理贫信息系统。

灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。

、常见灰色系统模型

GM(1,1)模型

GM(1,N)模型

GM(0,N)模型

GM(2,1)模型

Verhulst模型

目前，最常用、研究最多的是GM(1,1)模型。

、灰色预测

灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：

(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。

(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。

(4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。

上述灰预测方法的共同特点是：

a.允许少数据预测；

b.允许对灰因果律事件进行预测，比如:

灰因白果律事件在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事

白因灰果律事件 在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白

因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预

测。

c.具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验

（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。

、基本概念

2.5.1、灰数的概念

在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为

170cm 、体重大致为60kg ”，这里的“（约为）170（cm ）”、“60”都是灰数，分别记为170?、60?。又如，“那女孩身高在157－160cm 之间”，则关于身高的灰数

]160,157[)(∈?h 。记?~为灰数?的白化默认数，简称白化数，则灰数?为白化数?~的

全体。灰数有离散灰数（?~属于离散集）和连续灰数（?~属于某一区间）。灰数的运

算符合集合运算规律。

2.5.2、灰色生成数列

在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。

2.5.3、累加生成

把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（Accumulated

Generating Operation ，简称AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。

称所得到的新数列))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =为数列)0(x 的1次累加生成数列。类似地有

1,,,2,1,)()(1)1()

(≥==∑=-r n k i x k x k

i r r ， 称为)0(x 的r 次累加生成数列。

2.5.4、累减生成

对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程

（IAGO ）。如果原始数据列为))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =，令

,,,3,2),1()()()1()1()0(n k k x k x k x =--=称所得到的数列)0(x 为)1(x 的1次累减生成数列。

注：从这里的记号也可以看到，从原始数列)0(x ，得到新数列)1(x ，再通过累减生成可

以还原出原始数列。实际运用中在数列)1(x 的基础上预测出)1(?x

，通过累减生成得到预测数列)0(?x

。 2.5.5、加权邻值生成

设原始数列为))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =，称)(),1()0()0(k x k x -为数列)0(x 的邻值，)1()0(-k x 为后邻值，)()0(k x 为前邻值。对于常数]1,0[∈α，令

由此得到的数列)0(z 称为数列)0(x 在权α下的邻值生成数，权α也称为生成系数。

特别地，当生成系数5.0=α时，则称n k k x k x k z ,,3,2),1(5.0)(5.0)()0()0()0( =-+= 为均值生成数，也称等权邻值生成数。

2.5.6、关联度

a 、关联系数

设()()()()()()()(){}

n X X X k X 0000?,...,2?,1??=，()()()()()()()(){}n X X X k X 0000,...,2,1=

则关联系数定义为：

式中:①()()()()k X k X

00?-为第k 个点()0X 与()0?X 的绝对误差； ②()()()()k X k X

00?min min -为两级最小差； ③()()()()k X k X

00?max max -为两级最大差； ④ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=；

⑤对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该

序列所有数据分别除以第一个数据。

b 、关联度 ()∑==n k k n R 1

1ε称为()()k X 0与()()k X 0?的关联度 3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测

目前使用座广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的

GM(1,1)模型。GM(1,1)模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测将是非常成功的。

、GM(1,1)预测模型的基本原理

设))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =为原始数列，其1次累加生成数列为))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =，其中n k i x k x k

i ,,2,1,)()(1)0()

1( ==∑=定义)1(x 的灰导数

为

令))(,),3(),2(()1()1()1()1(n x x x z =为数列)1(x 的邻值生成数列，即

于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为

即 b k az k x

=+)()()1()0(

(1) 在式(1)中，)()0(k x 称为灰导数，a 称为发展系数，)()1(k z 称为白化背景值，b 称为灰作用量。

将时刻n k ,,3,2 =代入(1)式有

??

?????=+=+=+b

n az n x b az x b az x )()()3()3()2()2()1()0()1()0()1()0( (1)’ 引入矩阵向量记号：

??????????????=)()3()2()0()0()0(n x x x Y , ??????=b a u , ??????

????????---=1)(1)3(1)2()1()1()1(n z z z B 数据向量 参数向量 数据矩阵

于是GM(1,1)模型可表示为 .Bu Y =现在问题归结为求b a ,的值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为

注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，matlab, excel 都可以。

对于GM(1,1)的灰微分方程(1),如果将灰导数)()0(k x 的时刻n k ,,3,2 =视为连续变

量t ，则)1(x 视为时间t 的函数)()1(t x ，于是)()

0(k x 对应于导数dt t dx )()1(，让背景值)()1(k z 对应于导数)()1(t x 。于是GM(1,1)的灰微分方程对于的白微分方程为

b t ax dt

t dx =+)()()1()1( (2)

称之为GM(1,1)的白化型。

式子(2)以初值)1()1()0()1(x t x ==的解为

注：GM(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推导出来的，仅仅是一种“借用”或“白化默认”。所以从GM(1,1)的白化型推导出来的结果，要在不与定义矛盾的情形下才成立。后面我们会看到，对数据列有要求。

令)0(X 为GM(1,1)建模序列，

)1(X 为)0(X 的1-AGO 序列，

令)1(Z 为)1(X 的紧邻均值（MEAN ）生成序列

则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为

b k az k x =+)()()1()0(

（3）

模型符号含义为

G M （1， 1）

Grey Model 1阶方程 1个变量

式中a 称为发展系数，b ?为灰色作用量。设a ?为待估参数向量，即T b a a

),(?=，则灰微分方程(3)的最小二乘估计参数列满足

其中

称

b ax dt

dx =+)1()

1( (4)

为灰色微分方程b k az k x =+)()()1()0(的白化方程，也叫影子方程。

如上所述，则有

1）白化方程b ax dt

dx =+)1()

1(的解也称时间响应函数为 2）GM(1,1)灰色微分方程

b k az k x =+)()()1()0(的时间响应序列为 3）取)1()0()0()1(x x =，则

4）还原值

上式即为预测方程。

有关建模的问题说明如下：

1． 定原始序列)0(X 中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得模型不同，即a 和b 不同。

2．

模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。 3． 一般建模数据序列应当由最新的数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。

、GM(1,1)模型检验

GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。