奥数平面几何之曲线图形 (附答案)
平面几何之曲线图形
基本模型：
【例1】如图，阴影部分的面积是多少？
例1图
【举一反三】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。
举一反三图
【例2】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)
例2图
【例3】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧。求阴影部分面积。(π取3.14)
例3图
【例4】(奥林匹克决赛试题)在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米。那么图中3个阴影部分的面积的和______是平方厘米。
例4图
【例5】三角形ABC是直角三角形，阴影Ι的面积比阴影Π的面积小25cm2，AB＝8cm，求BC的长度。
(π 取3.14 )
例5图
【例6】在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如图所示的六边ABCDEF。求这个六边形的面积是多少？
例6图
【巩固】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米。问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？
巩固图
【例7】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)。那么，阴影部分的面积是_____平方米。
例7图
【例8】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
例8图
【例9】如图，ABCD是一个长为4，宽为3的长方形，围绕C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。
例9图
练习：
1、求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，
×-2×1=1.14（平方厘米）
2、正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，
所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米
4、如图（a），⊙O（读作圆O）的半径是15厘米.∠AOB=90°，∠COD=120°，CD=26厘
米，求阴影面积。
阴影部分是用弓形CmD的面积减去小弓形AmB的面积，弓形AmB的面积可由已知条件直接求出.弓形CmD的面积要用到三角形
中点H，连结HO与CD交于K点，如图11（b）则∠COH=∠DOH=60°，所以∠CKO=90°（因为∠OCK=
∠ODK=30°）.若连结CH、DH，得到两
＝176.625-112.5
＝64.125
＝235.5-97.5
＝138
阴影面积=138—64.125=73.875（平方厘米）
6、如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，
问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？
解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）
7、求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)
正方形面积为：5×5÷2=12.5
所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米
(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求，无需割、补、增、减变形) 14、求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：梯形面积减去圆面积，
(4+10)×4-π=28-4π=15.44平方厘米
15、已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
分析: 此题比上面的题有一定难度，这是"叶形"的一个半。
解: 设三角形的直角边长为r，则=12，=6
圆面积为：π÷2=3π。圆内三角形的面积为12÷2=6，
阴影部分面积为：(3π-6)×=5.13平方厘米
17、图中圆的半径为5厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米
18、如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形，
求阴影部分的周长。
解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：2×3.14×3÷2=9.42厘米
21、图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。
解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正
方形，边长为2厘米，所以面积为：2×2=4平方厘米
25、如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米)
分析：四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，
4×(4+7)÷2-π=22-4π=9.44平方厘米
27、如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。解: 因为2==4，所以=2
以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积，
π-2×2÷4+[π÷4-2]
=π-1+(π-1)
=π-2=1.14平方厘米
29、图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？
解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，
一个成为三角形ABC，
此两部分差即为：π×－×4×6＝5π-12=3.7平方厘米
初中数学平面几何图形
第四课时几何图形初步 LYX 1、几何图形 ①几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 ②平面图形：几何图形（如线段、角、三角形、长方形等）的各部分都在同一平面内。 常见平面图形： ③立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平内,这样的几何图形叫做立体图形。 ⑴常见立体图形：⑵常见立体图形的归类： ★画立体图形时，看得见的棱线画成实线，看不见的棱线画成虚线。 ④展开图：有些立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 例1、圆锥由_______面组成,其中一个是_______面 ,另一个是_______面. 例2、如图所示，一个三边相等的三角形，三边的中点用虚线连接，如果将三角形沿虚线 向上折叠，得到的立体图形是（）. （A）三棱柱（B）三棱锥（C）正方体（D）圆锥 例3、分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图所示的平面图形，那么这个几何体是（）
例4、下列各图形，都是柱体的是（） 例5、下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（） 2、点、线、面、体 ①点动成线，分为直线和曲线； ②线动成面线运动生成的有平面、曲面； ③面运动成体；（直角三角板绕它的一边旋转，形成了什么图形？长方形绕着它的一边旋转，形成了什么图形？） 总结： ⑴几何图形是由点、线、面、体组成。点是构成图形的基本元素。 ⑵点无大小，线有直线和曲线，面有平的面和曲的面。 ⑶点动成线，线动成面，面动成体。 ⑷体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。 3、直线、射线、线段 ①两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 ⑴因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线（直线）外，还经常用一条直线上的两点来表示这个直线； ⑵一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点； ⑶当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 ②线段的表示方法 ③射线的表示方法 ★用数学符号表示直线、线段、射线?
小学奥数：几何图形大全汇编
学习-----好资料 几何图形综合 1．如图，四边形ABCD 是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等． 阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？ 2．如图，长方形ABCD 的面积是96 平方厘米，E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？ 5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之二.请问：△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几？ 6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的面积 是△CDE 的多少倍？ 7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米，△BOC 的面积是2平方千米，△COD 的面积是1平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工 湖的面积是多少平方千米？ E D F B C A D E A B C E A D
学习-----好资料 8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘米，BC 长15厘米， BD 长12厘米，那么OD 长多少厘米？ 9.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分 连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转，求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为4厘米，求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).
模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三 角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】
六(下)奥数第5讲~平面几何之曲线图形
六年级下册奥数 第5讲~平面几何之曲线图形 重点、难点 1、圆与扇形的周长、面积求法 2、弓形、谷子、弯角的面积求法 教学内容 【本讲说明】本讲内容属于几何专题中的必考题型，在历年升学考试中所占比例已达到30%-40%，在16年大桥，15年外国语，16年辅仁等试题中均有出现，主要以大题和操作题的形式考察。每题的分值在8-10分左右。本讲主要属于综合复习，对学生的综合要求以及几何思维能力要求较高，课前先复习一下知识点 【课堂目标】本讲主要包含两大部分：1、掌握圆和扇形周长的相关题型；2、掌握圆和扇形面积的相关题型。3、重点掌握圆和扇形与容斥定理相结合的题型。 知识点一：基本公式 圆的周长 r C π2= 扇形的弧长3602N r l ? =π 扇形的周长l r C +=2 圆的面积2r S π= 扇形的面积3602N r S ?=π 知识点二：基本模型 1、圆环的面积：()22r R -π 2、 弓形：222 141r r ππ- 3、谷子（也叫柳叶）：2221r r -π 4、弯角形（也叫弯月）：224 1r r π-
5、方中圆、圆中方模型 圆=2a π 圆=2a π 方=2422a a a =? 方=()22 222a a =÷ 方：圆=4：π 方：圆=2：π 6、方圆套中套：大方是小方的2倍，大圆是中圆的2倍，中圆是小圆的2倍。 知识点三：圆和扇形周长的运用 例1、如图所示的图形由1个大的半圆弧和6个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为1，则这个 图形的周长是多少？（圆周率用π表示） 练1、如图所示，已知米米，70120==BC AB ，从A 到C 有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走 哪一条半圆弧线路的距离最短。 知识点四：圆和扇形面积
平面图形与立体图形教案
4．1几何图形 4.1.1立体图形与平面图形 【教学目标】 1、能从实物图形中抽取出几何图形；能在生活中寻找出相应的几何图形；会认识多见的平面几何图形和立体几何图形。 2、通过实物抽取几何图形的体验，培养自己的几何图形感，能用几何图形描述生活中的物体。 3、通过对多彩多姿的图形世界体验，激发自己对几何学习的兴趣，也体会学习的喜悦。 【教学重难点】 1．重点： （1）掌握立体图形与平面图形的关系，学会它们之间的相互转化；?初步建立空间观念． （2）理解几何图形是从实物图形中抽象出来的。 （3）从实际出发，用直观的形式，让学生感受图形的丰富多彩，激发学生学习的兴趣． 2．难点： （1）立体图形与平面图形之间的互相转化． （2）从现实情境中，抽象概括出几何图形 【教具准备】 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等几何体模型，墨水瓶包装盒（每个学生都准备一个），及多媒体教学设备和课本图4．1-5的教学幻灯片． 【教学过程】
一、引入新课 由多媒体展示美丽的图形世界 在同学们所观看中，有哪些是我们熟悉的几何图形？ 二、新授 1．学生在回顾刚才所看到的图片，充分发表自己的意见，?并通过小组交流，补充自己的意见，积累小组活动经验． 2．指定一名学生回答问题，并能正确说出这些几何图形的名称． 学生回答：有圆柱、长方体、正方体等等． 教师活动：纠正学生所说几何图形名称中的错误，并出示相应的几何体模型让学生观察它们的特征． 3．立体图形的概念． （1）长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形． （2）学生活动：看课本图4．1-3后学生思考：这些物体给我们什么样的立体图形的形象？（棱柱和棱锥） （3）用多媒体放映课本4．1-4的幻灯片 （4）提出问题：在这个幻灯片中，包含哪些简单的平面图形？ （5）探索解决问题的方法． ①学生进行小组交流，教师对各小组进行指导，通过交流，得出问题的答案． ②学生回答：包含的平面图形有长方形、圆、正方形、多边形和三角形等．4．平面图形的概念． 长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形．
小学奥数之几何五大模型精编版
一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S
二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积 是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 任意四边形、梯形与相似模型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。
几何(二)曲线图形
几何（二）曲线图形 小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质 在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不成规则的变为规则的，把不可求的变为可求的，把我们不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。 在求解几何图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转换成我们所熟知的图形。 （1）加减法 把要求的图形转换成几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。 （2）割补法 把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。 （3）旋转平移法 把要求的图形通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。 （4）重叠法
要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。 （5）比例法 把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例方法。 2、图形旋转的问题 在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题，一般情况下，我们所能遇到的有以下两种情况： （1）求图形一边扫过的面积 在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动。首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求旋转，旋转停止后，这条边旋转所得到的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。（2）求图形扫过的面积 在求图形一边扫过的面积的基础上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分，就很容易地找到整个图形扫过的部分。 （3）几个特殊的问题 ①活动范围的问题，我们先来看看下面几个问题。 ●假设茫茫的草原上有一木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊 能吃到的草的面积有多大？ ●草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了 一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？ ●羊圈建成了，羊在平时被拴在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊 这个时候能吃到的草的面积是多大？ 你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊能吃到的草的范围活动的半径在跟着变化。那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题的重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情境，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。 ②滚硬币的问题 把两枚一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个沿着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己转了多少周？ 注意观察：滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。这也是一切硬币滚动类问题的特点，常见的还有齿轮，滑轮等。
奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何
第三讲 几何——曲线形面积与立体几何 ---- w，?顷■■ - _斤 知识点拨 圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知 识链接性好的学生. 、与圆的面积相关的方法: ⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个 减计算. ⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除. 二、立体几何相关的方法： ⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. ⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. ⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片， 化立体为平面. ⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割. 如例题精讲 模块一、曲线形面积 【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）. 60
【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角 形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n） 【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点?求C点经C1到C2走过的路径的长. 【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3） 【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A 【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米?现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）
小学奥数知识体系
小学奥数知识体系 小学奥数分为十七个体系，这十七个体系分别是：1、计算2、数论3、几何4、应用题5、行程问题6、.计数7、分数8、方程9、找规律10、算式谜11、火柴棒问题12、智力问题17、解题方法18、杂题 当然这十七个体系并不集中在某一年级阶段，可能在不同阶段都对某一体系有要求，只是要求的程度不同而已，比如数论这一体系，在4、5和6年级都会出现，像4年级的奇偶性问题，5年级的位值原理、数的整除特征，5、6年级得完全平方数的性质都是属于数论这一体系中。本次主要介绍3-6年级所涉及的奥数课程，主要讲解各年级奥数课程大纲、再把各年级的知识点归结成几个重要的版块。 三年级奥数课程大纲 1、加减法巧算 2、时间的计算 3、重叠问题 4、图形的简拼 5、倍数问题 6、综合应用 题7、数字迷8、奇数、偶数的灵活运用9、等量代换推理10、列队问题11、乘船坐车问题12、逻辑推理13、枚举法14、循环问题（周期问题） 四年级奥数课程大纲 1、巧用方法算的快 2、列方程解应用题 3、巧求周长与面积 4、抽屉原理（一） 5、综合 应用题6、规律性问题7、鸡兔同笼问题8、简单的统计9、染色与覆盖10、年龄问题11、加乘法原理12、体育与赛中的数字问题13、奇数与偶数14、整除问题 五、六年级奥数课程大纲 1、计算（主要涉及速度与巧算、数列计算、技巧计算等知识） 2、代数与方程（主要涉及等量代换、方程解法综合、方程解应用题等知识） 3、行程部分（主要涉及相遇与追及、典型行程问题、比例问题等知识） 4、几何部分（主要涉及几何初步认识、直线型面积、立体几何等知识） 5、数论部分（主要涉及奇数与偶数、数的整除、约数与倍数、完全平方数、直竖与合数 分解质因数、余数问题、位值原则与数的进制、数字迷知识和算式谜等知识） 6、应用题部分（主要涉及经典应用题、百分应用题、工程问题等知识） 7、计数综合（主要涉及加法原理、乘法原理、加乘原理、排列组合、几何计数等问题） 8、杂题部分（主要涉及智巧解题、抽屉原理、逻辑推理、统筹规划、操作与策略、构造与论证、统计与概率、最短路线等知识） 虽然三至六年级所涉及的知识众多，但归结起来主要分为以下几个板块 1、行程问题 2、数论问题 3、几何问题 4、计数问题 5、应用题 6、计算问题 7、杂题
小学奥数 几何五大模型(等高模型)
模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型
反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A
图形与几何知识总结
第四章几何的初步知识 一线和角 （1）线 * 直线:直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 * 射线:射线只有一个端点；长度无限。 * 线段:线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中,线段为最短。 * 平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二、平面图形 1、长方形 （1）特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式：c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
（2）计算公式：c=4a s=a2 3三角形 （1）特征：由三条线段围成的封闭图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式：s=ah÷2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4平行四边形 （1）特征：两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 （2）计算公式：s=ah 5 梯形 （1）特征：只有一组对边平行的四边形。等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式s=(a+b)h 2 6、圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
小学奥数几何专题训练附答案
学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)
小学奥数几何五大模型
几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！
如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
小学奥数几何初步认识之平面图形
小学奥数几何初步认识之平面图形 小学奥数题平面图形 1、长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c=4a s=a2 3、三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分
锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 （2）计算公式 s=ah 5、梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式 s=(a+b)h/2=mh 6、圆
（1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法 把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 （3）圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 （4）圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 （5）计算公式 d=2r r=d/2 c=∏d
立体图形与平面图形
4.1.1立体图形与平面图形 一.教学内容解析 1.内容 几何图形、立体图形、平面图形的概念及它们之间的关系． 2.内容解析 我们生活在一个多姿多彩的图形世界里，生活中处处存在着具有各种各样形状的物体，我们可以从这些物体中抽象出几何图形，如长方体、圆柱、球、长方形、三角形、圆、线段、点等．几何图形可分为立体图形和平面图形两类，常见立体图形有圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球等，常见的平面图形有线段、角、三角形、四边形、圆等．立体图形的表面中包含着平面图形，平面图形可以围成立体图形． 七年级第四章《几何图形初步》引入的是几何图形的一些最基本的概念，这些知识是“空间与图形”领域学习的基础．本课的内容属于初中几何图形知识学习的起始阶段，对于发展学生的空间观念，培养学生的空间想象力有着重要的作用，对后续几何知识的学习影响深远．基于以上分析，确定本节课的教学重点：认识基本的几何图形，能从具体事物中抽象出几何图形． 二.教学目标解析 1.目标 （1）认识一些简单几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、球等）的基本特征，能识别这些几何体． （2）丰富学生对几何图形的感性认识，理解立体图形与平面图形的联系，发展学生的空间观念，培养学生的空间想象力． 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：通过观察生活中的大量图片或实物，认识生活中以实物为原型的几何图形，能准确识别圆柱、棱柱、圆锥、棱锥等几何体，并准确说出它们的名称． 达成目标（2）的标志是：经历从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，能指出一个立体图形中所包含的平面图形，能由实物形状想象出相应的几何图形，能由几何图形想象出与之形状相对应的实物． 三.学生学情分析 学生在小学阶段初步认识了一些较简单的几何图形，但对于棱柱、棱锥这两类几何体还比较陌生，对于几何图形之间的区别和联系也模糊不清，小学阶段对几何图形的认识是形象化的、感性的，需要通过进一步学习提高到理性认识．七年级学生抽象逻辑思维能力还有待发展，对于从现实生活中的实物抽象出几何图形，如从一个纸盒抽象出长方体、长方形、线段、点，学生不容易理解，在教学过程中需要借助精心挑选的实物和特制的模型，来帮助学生理解．本节课的教学难点是：从实物中抽象出几何图形． 四.教学策略分析
小学奥数之几何蝴蝶定理问题
几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3） 梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质
C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、 例题 例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE= 1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角 形ABC 的面积.
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型
B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。