人教版数学九年级上册 24.1 圆的有关性质 同步训练习题(含答案)

人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步

训练

一、选择题

1. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ()

A.1

B.2

C.3

D.4

2. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°

3. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于()

A．29°B．31°C．59°D．62°

4. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝()

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

5. 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有()

A ．2条

B ．3条

C ．4条

D ．5条

6. 如图，在⊙O 中，AB ︵

＝CD ︵

，∠1＝45°，则∠2等于( )

A ．60°

B ．30°

C ．45°

D ．40°

7. 2019·梧州

如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，

AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )

A ．2 6

B ．2 10

C ．2 11

D ．4 3

8. 2019·武汉京山期中

在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN 为10分米．截

面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB 上升( )

A ．1分米

B ．4分米

C ．3分米

D ．1分米或7分米

9. 2019·天水

如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于

点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )

A ．20°

B ．25°

C ．30°

D ．35°

10. 如图，量角器的零刻度线与三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是()

A．48°B．64°C．96°D．132°

二、填空题

11. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2，则☉O的半径是.

12. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.

13. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了cm.

14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．

15. 如图，已知等腰三角形

ABC 中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝4，在平面内任作

∠APB ＝60°，则BP 的最大值为________．

16. 如图所示，动点

C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作

CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．

17. 2018·曲靖

如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠

A ＝n °，则∠DCE ＝________°.

18. 只用圆规测量∠XOY 的度数，方法是：以顶点

O 为圆心任意画一个圆，与角

的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵

＝…，这样绕着圆一周一周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．

三、解答题

19. 如图，在⊙O中，AB＝DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.

20. 如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆．若小正方形的面积为16 cm2，求该半圆的半径．

21. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.

(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据

α30°40°50°60°

β120°130°140°150°

γ150°140°130°120°

猜想：β关于α

(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

22. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的一个动点(不与点B，D重合)．

(1)当圆心O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.

(2)若四边形OBCD为平行四边形．

①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；

②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．

人教版九年级上册24.1 圆的有关性质同步

训练-答案

一、选择题

1. 【答案】C

2. 【答案】A∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A.

3. 【答案】B

5. 【答案】B

6. 【答案】C

7. 【答案】C

8. 【答案】D

9. 【答案】C

10. 【答案】C

二、填空题

11. 【答案】2∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.

∵OB⊥CD，CD=2，∴CH=，∴OH=1，

∴OC=2.

12. 【答案】50°

13. 【答案】10或70

由垂径定理得:BC=AB=30 cm.

在Rt△OBC中，OC==40(cm).

当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，

圆心到水面距离==30(cm)，

水面上升的高度为:40-30=10(cm).

当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.

故答案为10或70.

14. 【答案】4－7

16. 【答案】

3

17. 【答案】n

18. 【答案】? ??

??

360n m ° 三、解答题

19. 【答案】

证明：∵AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴AB ︵＝DE ︵，BC ︵＝EF ︵， ∴AB ︵＋BC ︵＝DE ︵＋EF ︵， ∴AC ︵＝DF ︵

，∴AC ＝DF .

20. 【答案】

解：如图，连接OA ，OB .

根据正方形的面积公式可得小正方形的边长为4 cm. 设大正方形的边长为x cm ，则OD ＝1

2x cm.

根据勾股定理，得OA 2＝OD 2＋AD 2，OB 2＝OC 2＋BC 2. 又∵OA ＝OB ，

∴(12x )2＋x 2＝(1

2x ＋4)2＋42，

解得x 1＝8，x 2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴大正方形的边长为8 cm ，OD ＝4 cm ， ∴OA 2＝OD 2＋AD 2＝42＋82＝80， ∴OA ＝80＝4 5(cm)． 故该半圆的半径为4 5 cm.

21. 【答案】

【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．

①

(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α

证明：如解图①，连接BG，

∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，

∴α＋∠BGA＝90°，(1分)

又∵四边形ACBG内接于⊙O，

∴β＋∠BGA＝180°，

∴β－α＝90°，

即β＝90°＋α；(3分)

②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，

∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，

∵∠EAG＋∠EBA＝γ，

∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，

∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，

∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)

∴2(180°－β )＋α＝γ，

由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)

(2)如解图②，连接BG，

②

∵γ＝135°，γ＝180°－α，

∴α＝45°，β＝135°，

∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)

∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，

又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，

∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)

∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)

∵∠BEA＝90°，

∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)

∴AG＝2AB＝2×52＝10，

∴r＝5.(12分)

22. 【答案】

5

2解：(1)60

(2)①如图(a)．

∵四边形OBCD为平行四边形，

∴∠BOD＝∠BCD，∠OBC＝∠ODC.

又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＝1

2∠BOD，

∴1

2∠BOD＋∠BOD＝180°，解得∠BOD＝120°，∴∠BAD＝

1

2∠BOD＝

1

2

×120°＝60°，∠OBC＝∠ODC＝180°－∠BOD＝180°－120°＝60°.

又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∴∠OBA＋∠ODA＝∠ABC＋∠ADC－(∠OBC＋∠ODC)＝180°－(60°＋60°)＝60°.

②如图(b)所示，连接AO.

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB.

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA.

∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，

∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.