2020-2021学年高三数学(文科)学业水平考试试题及答案解析

绝密★启用前

最新度高中三年级学业水平考试

数学(文科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则A B =I

(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D){123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --

(B) 1

i -

+ (C) 12

i --

(D)

i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-r r ，则()a b a -?=r r r

(A) 8 (B)5 (C) 4 (D)4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是

5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为

(A)

31 (B)3 (C)1

2 (D)16

6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 (A)

(B)

(C)

1 (D)

7．抛物线2

8y x =的焦点到双曲线2

y x -=的渐近线的距离是 (A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 3

8．函数22()cos ()cos ()44

f x x x π

-+的最大值和最小正周期分别为

(A)1,2π(B)1,π(C)1,22π(D)1,2

9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1

是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6(B)7.68(C)6.144(D)4.9152

10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底

面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为

(A) (B)(C)(D)

11．已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线

PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=u u u r u u u r r

，则||QF =

(A)3 (B)4 (C)6 (D)8

12．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范

围为

(A)4m >或4m <-(B)45m <<(C)48m <<(D)5m >或4m =

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题

i =1

输入S =15

否i =i +1

开始结束

输出S

i >n ？S ＝S (1-20%)

是

图1

时间（分钟）

0.003

100

0.002

频率/组距

0.025

图4

卡相应的横线上．

13．已知12

1(),(,1);4

()log ,[1,).x

x f x x x ?∈-∞??=??∈+∞??，则((2))f f -=．

14．设变量x ，y 满足约束条件222y x

x y x ≥??

+≤??≥-?

，则3z x y =-

的最小值为．

15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是

一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为．

16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n

n a n n π=-?+?，其前

n 项和为n S ，则10S 等于.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 3sin cos c A a C =. （I ）求C 的值；

（II ）若7c a =，23b =ABC ?的面积． 18．（本小题满分12分）

某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),

[40,60),[60,80),[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；（Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的

图3

B 1

C 1

A 1

图4

D C

时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈?，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）

如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点．

(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；

(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且15,A D =

求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）

已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于

. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）

已知函数(1)

()ln ,b x f x a x x

+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1

x x

f x x +>

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图5，四边形ABCD 内接于，过点A 作的切线EP 交CB

的延长线于P ，已知025PAB ∠=．

（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小； (II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =?． 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin

3x t y t ππ?

=????=+??

（t 为参数），以坐标

原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；

（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

图4

图5

已知函数()|2|f x x =-.

（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤；（Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．

一、选择题：BCADAC DBCACD 解析：

9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)x

S =-，结合程序

框图易得当4n =时，4

15(120%) 6.144S =-=．

10. 设半球的半径为r ，依题意可得 222

2(2)r +=，解得6r =

所以此半球的体积为32

463

r ππ=.

11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：

|'|||2

|'|||3

FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ?=.

12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)

π内有两个不同的实数解等价于方程2

()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一

解2160,0.8

m m ??=-=???>??或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程

2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函

数1

4y u u

=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．

二、填空题：13.4-；14. -8；15.54183+16.687．

解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为

x=-2

y 2=8x

F '

Q '

F (2,0)

22365424

?+?=+16.210

10(2)(2)(2)S =-+-++-L cos 2cos210cos10πππ

++++L 102[1(2)]5687.1(2)

---=+=--

三、解答题： 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ?的内角，

sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：

sin cos sin A a A

C c C

==------------------------------------------------------------3分

?tan 3

C =

,-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6

C π

.--------------------------------------------------------5分

（II ）解法1：∵c =，b =

由余弦定理得：2

7122

a a =+-?

，----------------------------------------7分整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分 ∴1a =，由1

sin 2ABC S ab C ?=

得

ABC ?的面积1112

ABC S ?=??=

．--------------------------------------12分

【解法2：由c =结合正弦定理得：sin

14A C =

=，---------------------6分

∵a c <， ∴A C <, ∴cos 14

A ==

,-----------------------------7分 ∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+

D 1

B 1

C 1

A 1

C B A

B 1

C 1

A 1

D C

A sin cos cos sin A C A C =+

11421427

+=----------------------------9分由正弦定理得：sin 1sin b A

a B

=，-------------------------------------------------10分 ∴ABC ?

的面积111222

ABC S ?=

??=．------------------------------------12分】 18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ?+?++=得0.017x =；-------------------2分

（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1?+=，--------------------3分不少于1小时的频数为12000.1120?=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分

（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033??=人，设为,,A B C ；------6分成绩在[80,100] 的人数为50200.0022??=人，设为,x y .---------------------------7分若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；

若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=

.105

=----------------------------------------------------12分 19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ，则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1?平面A 1CD ，DE ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ?平面1A CD ，1BD ?平面1A CD

∴1//BD 平面1A CD ,------------------------------3分同理可得11//C D 平面1A CD ------------------------4分 ∵1111BD C D D =I ∴平面1A CD //平面11BD C 又∵1BC ?平面11BD C

∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】

(Ⅱ) 222

115AD +A A =A D Q =1,A A AD \^-------------------------------------7分

又111,//B B BC B B A A ^1A A BC \^，

H B 1

C 1

A 1

B A

又AD BC B =I 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分

（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分

1111111

33ABC ACD A B C AA S AA S BB S ???=?-??-??

ABC AA S ?=?

?2112222=??= 即所求多面体11CAC BD

分

【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，

∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C I 平面111A B C 11B C =

∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分 ∴所求多面体的体积V =1111A ACD A A CC V V --+1111133

BCD BCC S AA S A H ??=?+?

111142432432

=???+??=.------------------------------------------12分】 20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b

+=>>--------------------------------1分

由题意22224a b c a c a ?

?=+??

=??

?=??

，解得2,a b ==-----------------------------------------4分

所以，椭圆的方程为22

142y x +=．-------------------------------------------------5分（Ⅱ）由椭圆的方程22

142

y x +=

，得P ．-------------------------------------6分由题意知，两直线PA

PA 的斜率为k ，则PA 的直线方程为(1)

y k x -

=-．--------------------------------------------7分

由22(1)

124

y k x x

y ?-=-?

?+=??得：222

(2)2))40k x k k x k ++-+--=．-------------8分

(1)ln ()1

x x

f x x +>

-设A (x A , y A )，B (x B , y B )

，则222

12A A k x x k --=?=+，-------------------------------9分

同理可得22

2B k x k

+-=+----------------------------------------------------10分

则B A x x -=

，2

8(1)(1)2B A B A

y y k x k x k -=----=+．所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -==-----------------------------------12分

21.解：（Ⅰ）∵2(),a b

f x x x

-----------------------------------------------------1分由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)

得(1)2,

1(1),2

f f =??

?'=??即1,0,b a b =??

-=?------------------------------------------------------3分解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x +>?-->---------------------------6分

当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x

+>?--<------------------------------7分令222

11221

()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=

∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分

当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1

x x

f x x +>

-成立------------------------------10分

当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x x

f x x +>-也成立-------------------------11分

所以当0x >且1x ≠时，不等式总成立----------------------------12分 22.解：（I ）Q EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分

Q 四边形ABCD 内接一于⊙O ，0180ABC D ∴∠+∠=

0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分

（II ）025,DAE ∠=Q ,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠

.ADC PBA ∴??:---------------------------------------------------------------7分 .DA DC BP BA

∴=-------------------------------------------------------------------8分又,DA BA =2.DA DC BP ∴=?--------------------------------------------------10分

23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分曲线C 的直角坐标系方程为2

16.x y +=--------------------------------------------4分

（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离

2,d =

=------------------------------------------------------------6分

∴121

cos

,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠<

1,23AOB π∴∠=故23

AOB π

∠=

．-----------------------------------------------10分 24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，

因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤---------------------------------------------1分

当x ≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即1

x ≤≤；------------------------------------2分当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分

当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即5

x <≤.--------------------------------------4分

综上,原不等式的解集为1

2x x ??

≤≤???

. -------------------------------------------5 分（II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分

=2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分

22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分

所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分