7有理数的巧算
姓名:
【知识要
点】
有理数的巧算
日期:
;倒序相加法；错位.（倒序相加法与错位相减法的实质是一样
的）
(1)
1
' 型裂项公式：
1 1 1
— . n n 1 n n 1 n n 1
（2）
1
1型裂项公式：
1 1 1 1 n(n k) n(n k) k n n k
（3）
k
k型裂项公式：
k 1 1
= —— . n(n k) n(n k) n n k
（4）
1
1型裂项公式：
n(n k)( n 2k)
有些有理数的计算题数值较大、项数较多、次数较高、计算形式十分复杂, 解题时要抓住题目的特征，掌握一些基本方法：拆项法相减法；换元法；分类讨论法等
n(n k)(n 2k) 2k |]n(n k) (n k)(n 2k)
2k
(5) n(n +k)( n +2k)型裂项公式:
n(n k)( n 2k) n n k n k n 2k
【典型例
题】
:拆项法
例1、计算一一1
1013 1316 16勺9 2008 2011
例2、——1—— -——1——HIHI ■
98 99 100
:错位相减法
11 1
例3、求数列1,,,，…的前8项的和.
2 4 8
2007
1 1 1
200722007320074
+…+ 1
20072007
例5、比较S200^- - ■ 3—- 与2的大小
2 4 8 16 2
三：换元法
例6、计算
( 1
1
1 )<(-+_ 2006
2
200厂°
1
1 )x(_ +-
2007 2
四：高次幕的运算
例7、设a =355,b =444,C =533，比较a,b,c的大小
3
思考：将1, 2, 3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数,
1
—(a-b +a+b)中进行计算，50组都代入后可求得 50个值，求这50个 2
值得和的最大值.
【练习与拓展】
一：填空题
1、
13 5 7
(3)、一 + — + - + - + 共 2007 项的和.
12 20 30 42
2、20 -( 0.30+0.31+0.32+ …+0.69 ) 的值得整数部分是 _____________
3、
(2 1) (22 1) (24 1) (28 1) (216 1)
2^1
4、
1 21
3— 4— 5— 6— 7—: 6
12 20 30 42 56
:计算
2
20072
-4010 2006 2005 4014 -2007 2009 20062 -3009 2006-2006 2008 2008 3009
(2)、
6+0
2 2 22 23
三：解答题
1 7 9 ii 13 15 17
⑴、若叫一扩方页十矿才方，求n 的负倒数
1
(2)、已知-
1 1 + 1 + — 1 + + 1 —— 1 +
1 =1，求
2 5 8 11 20 41 110 1640
1
1 1 1 1 1 1
1 的值
+ + 一 + 一 +
+ 2 5 8 11 20 41 110 1640
22
14 10 10
(3)、将3 ,4 ,9 ,8由大到小排列
得和的末4位数是多少?
(附加)把 2007 的数 1，11，111，1111，11111, ?,111 …111 相加，所
2007 个 1
有理数的巧算课后作业
1
1
计算」 —
1 6 6 11
2006
2006
2007
3
4
5 是10的倍数.
（附加）在数1, 2, 3,…，2007前添加符号 是多少？
“ +”和“-”，并依次运算，所得可能的绝对值最小的数
姓名: 家长签名:
1、
2、 计算
: 1 + ------- 5 10 1
+ ------------- + --------------------- +■ ■ ■
+ 5 10 15 5 10 15 20
5 10 15川…卜1000
3、求和S
2 3 2007
= 1 7 7 7川…川’7
4、
+3+4+5+6丫+匕 4 5 6 7
2 3 4 5 +—+— +—+— 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
E
3 4
5
6 7 3 4 5 6
7
6 !_1 ■- ■- ■- ■- ■- -
7 2 2
5、求证: