惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式Word版

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

1.静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的

一次矩为它对该轴的静矩，即

ydA dSx xdA

dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为

??==A A

y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1

设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0

A

S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴

通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果

y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直

各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑∑∑========n i n i i

i xi x n i i

i n i yi y y A S S x A S 11

11

S （I-3）

截面图形的形心坐标为

∑∑===n i i n i i i

A

x A x 11

， ∑∑===n i i

n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征

(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

(2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定

为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

(4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组

合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静

矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径

1. 惯性矩

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极

惯性矩定义为

?=A

p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为

?=A y dA x I 2 ， dA y I A

x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征

（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

标轴定义的。

（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。

（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原

点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

??+=+==A

x y A p I I dA y x dA I )(222ρ （I-7） （5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，

分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之

和，即

∑==n i i I I 1ρρ ，∑==n i yi y I I 1 ， ∑==n

i xi I Ix 1 （I-8）

图I-2 图I-3

2. 惯性积

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对y 轴和

x 轴的惯性积定义为

?=A

xy xydA I （I-9） 惯性积的特征

（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。

（2） 惯性积的单位为4m 。

（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有

一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于

零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一

坐标轴的惯性积之和，即

∑==n

i xyi xy I I 1 （I-10）

3. 惯性半径

定义： 任意形状的截面图形的面积为A （图I-3）,则图形对y 轴

和x 轴的惯性半径分别定义为

A I i y

y = ， A

I i x x = （I-11） 惯性半径的特征

（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。

（2） 惯性半径的单位为m 。

（3） 惯性半径的数值恒取证之。

（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

A b I I A

a I I yC y xC x 22+=+= （I-12）

abA I I xCyC xy += （I-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为A （图（I-4）；C C y x ， 轴为图形的形

心轴；x ，y 轴为分别与C C y x ，形心轴相距为a 和b 的平行轴。

（2）两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或

形心C C y x ，为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但

图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

图I-4

(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩

转轴公式

αα2sin 2cos 22

1xy y x y x x I I I I I I --++= αα2sin 2cos 221xy y

x y

x y I I I I I I +--+=

αα2cos 2sin 211xy y x y x I I I I +-=

转轴公式的特征 (1) 角度α的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴11,y x ，以逆时

针转向者为正（图5）。

(2) 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无

关。

(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯

性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即