虚功原理及其应用

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虚功原理及其應用

作者：许文

来源：《理科考试研究·高中》2011年第11期

抽屉原理及其应用论文草案

目录 1．抽屉原理1 1．1抽屉原理的简单形式 1 1．2抽屉原理的加强形式 2 2．抽屉原理的应用4 2．1抽屉的构造4 2．1．1等分区间制造抽屉 4 2．1．2分割图形构造抽屉 5 2．1．3利用“对称性”构造抽屉 6 2．1．4用整数性质制造抽屉7 2．1．5利用染色制造抽屉8 2．1．6根据问题的需要制造抽屉9 2．2 抽屉原理在数学解题中的应用10 2．2．1解决代数问题10 2．2．2解决数论问题11 2．2．3解决几何问题12 2．2．4多次顺向运用抽屉原理12 2．2．5逆向运用抽屉原理13

2．3抽屉原理在生活中的应用13 2．3．1月黑穿袜子13 2．3．2手指纹和头发14 2．3．3电脑算命14 3．总结15 参考文献16 致谢17 1．抽屉原理抽屉原理又叫做鸽巢原理，指的是一件简单明了的事实：为数众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或者更多的鸽子，其实有关于抽屉原理（鸽巢原理）的阐释，粗略的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内，那么至少有一个盒子被两个或多个盒子占据。我将在下面的论文当中给出更加精确的叙述。 1．1抽屉原理的简单形式抽屉原理的最简单的形式如下． n 个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含定理1．1．1[１]如果1 两个或更多的物体．证明：（用反证法）如果n个盒子中每个盒子至多放一个物体，则放入n个

盒子中的物体总数至多为n 个．这与假设有1n +个物体矛盾．从而定理得证．注意，无论是抽屉原理还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助．我们只是简单断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子，里面放有多于一个的物体．抽屉原理只是保证这样的盒子存在．因此，无论何时抽屉原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有的可能性外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示．还要注意，抽屉原理的结论不能被推广到只存在n 个（或更少）物体的情形．这是应为我们可以把不同的物体放到n 个盒子的每一个中去．当然，在这些盒子中可以这样分发物体：一个盒子放入两个物体，但对任意分发这是没有保证的．抽屉原理只是断言，在n 个盒子中去论如何分发1n +个物体，总不能避免把两个物体放进同一个盒子中去．还存在一些与抽屉原理相关的其它原理，有必要正式叙述如下． (1) 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好包含一个物体． (2) 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里有一个物体．现在把所阐明的这三个原理更抽象的表述为：令X 和Y 是两个有限集，并令:f X Y →是一个从X 到Y 得函数．（1）如果X 的元素多于Y 的元素，那么f 就不是一对一的．（2）如果X 和Y 含有相同个数的元素，并且f 是映上的，那么f 就是一对一的．（3）如果X 和Y 含有相同个数的元素，并且f 是一对一的，那么f 就是映上的． 1．2抽屉原理的加强形式下列定理包含定理1．1．1作为它的特殊情形．定理1．2．1［１］设12,,,n q q q ?为正整数．如果将121n q q q n ++?+-+个

虚功原理(物理竞赛)教学内容

虚功原理(物理竞赛)

§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=?∑i r i F ρ?δ。虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为λ的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ρ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F ρ有多大？求F ρ=？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ρ，还有一个是重力m g ρ作用在杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚

功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个问题。∵F ρ的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即： 0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。我们从图上很容易得出：αcos l x B =,αsin 2 l C y =。则αδαδsin l x -=，对C y 变分则有：αδαδcos 2 l C y =，将它们代入①式就可得到：0]cos sin [21 =-αδααδαmgl Fl →0)cos sin (21=-δ αααmgl Fl ，∵δα是独立的，可以使它不等于零。∴δα之前的乘数应该等零，故有： 0cos sin 21 =-ααmgl Fl 。于是就可解得题目所要求的结果为：αmgctg F 21=。对于这个问题，如果按位移的实际方向与力的方向确定虚功正负的话，将会得出这样的结果，设想杆子在F ρ的作用下向里有一虚位移，∵F ρ的方向与虚位移方向相同，∴F ρ是作正功的，应该为正的。而重力m g ρ的方向与力的作用点的位移δy C 的方向相反，∴重力的功是负的，于是得到的结果：0=-C B y mg x F δδ是错的。对这个简单例子的求解主要是说明了应用虚功原理的解题步骤。由上面的求解过程可以看出，应用虚功原理解题的步骤一般是：第一步先找出所要考虑的质点组或者刚体，也就是1、找出所要研究的系统。2、找出系统所受的主动力。3、列出虚功方程。列出的虚功方程中的虚位移里的坐标不一定要独立，虚功的正负号很重要，要正确判断。我们还是以所选坐标的正方向为标准，也就是上面解题时所采用的方法。另外还得注意：计算虚功的参考系必须是静止的。4、虚功方程

抽屉原理及其简单应用

抽屉原理及其简单应用一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。原理2：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。三、应用抽屉原理解题例举: 1.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？（教科书P73 T2）解答：这道题物体个数和抽屉都比较明显。成绩41环看作个数，5镖看作抽屉，列式为：41÷5=8……1 8+1=9 2．有9支球队进行比赛，已经赛了10场，那么总有一支球队至少赛了几场？解答：有些题目物体的个数没有直接告诉我们。根据问题至少赛了几场，那我们要知道已经赛过的总的场次。根据已经赛了10场，每场2支球队，总场次应该是20次。这就是物体的个数。9支球队可以看作抽屉。根据今天所教的知识（原理2）我们知道20÷9=2……2，2+1=3 3.有红、黄两种颜色在下面的长方形格子中随意涂色，每个格子涂一种颜色。青青发现无论怎样涂，至少有两列涂法完全相同。请你先试一试，再说明理由。（作业本P29 T4）解答：根据至少有两列涂法完全相同。我们要知道总的列数。这道题已经知道物体的个数是5列。但抽屉的个数却掩藏起来，我们需要根据排列知识找出抽屉的个数。已知颜色有2种，在一列的排列组合中有这么4种情况。（红红、红黄、黄黄、黄红）所以可以做成4个抽屉。用算式5÷4=1……1，1+1=2就说明问题。 4．任意写出5个非零的自然数，我能找到两个数，让这两个数的差是4的倍数。（作业本P29 T5）解答：这题已经告诉我们物体的个数是5。但什么做为抽屉？要做几个抽屉却需要我们去构建。根据条件4的倍数，我们知道一个数除以4没有余数那就是4的倍数，在这些数中除以4的过程中会出现这四种情况（整除、余数是1、2、3）那就可以根据这四种情况做成四个

虚功原理(物理竞赛)

§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=?∑i r i F δ。虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个问题。∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B

抽屉原理在生活中的应用

抽屉原理在生活中的应用学院：经济学院专业：工商管理类2班姓名：陈嘉妮学号：101012012109 摘要：数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们的日常生活中，数学的应用无处不在，只要我们细心观察就能发现数学与生活之间微妙的联系。而在众多日常生活数学问题中，抽屉原理是比较常见的。抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。引言：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同；从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套；从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同；任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除；某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候，无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多；······ 经过证明，这些结论都是正确的。而证明所运用的原理就是抽屉原理正文：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有

n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2 ：把多于mn+1(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

抽屉原理及其应用

抽屉原理及其应用许莉娟（数学科学学院，2003 （ 4）班，03213123号）［摘要］抽屉原理是数学中的重要原理，在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用，同时指岀了它在应用领域中的不足之处. ［关键词］抽屉原理高等数学初等数学抽屉原理也称为鸽笼原理或鞋箱原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等?抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把n ? 1个球或者更多的球放进n个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论，下面我们着重从抽屉的构造途径去介绍抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用，同时指出它在应用领域中的不足之处? 一、抽屉原理陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式：原理I把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素? 原理U把m个元素任意放到n（m ? n）个集合里，则至少有一个集合里至少有 k个元素，其中当n能整除m时，当n不能整除m时. 原理川把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个

虚功原理应用例题

匀质杆AB始终在平面内，A端靠在墙上，B端在一光滑曲面上，如图所示。若无论B在何处杆均受力平衡，求曲面方程。如图所示，四根相同的长度为l的光滑轻杆由铰链连接成菱形，一轻绳系在两对角线之间，下部挂一重量为P的重物，系统放置于两根等高相距为2a（2a<2l）的杆上，求绳中的张力？（φ角已知）如图所示，一竖立在竖直平面内的半圆空心管，管内刚好装有2n个光滑小珠子，已知每个珠子重力为W，求第i个珠子与第i+1个珠子的作用力Ni。

如图所示，一个外半径为R1，内半径为R2的圆柱形电容器，竖直地插进相对介电常数为εr 的密度为ρ的电解液中，若将电容器接上电压为U 的电源，求电解液中液面上升的高度第一题，常规做法用受力分析，建立水平竖直方向平衡方程，暴力解之。（约束力合力沿法向）能量方法，利用随遇平衡，势能V 恒不变，解得y=f(x)。（具体见高妙）虚功原理：因为此题为理想约束，主动力为重力，虚位移中主动力做功为0，即 P δyc=0 yc=常量由几何关系：yc=y+22 2 1x l - 故yc=y+ 22 2 1x l -=常量因x=0时y=0，故常量=2 1 故y=21??? ?????? ?? ??--2x 11l 第二题，直接虚功原理……

建立如图所示坐标系，把绳子忽略，于是两个拉力变为主动力T ，另一个主动力为P ，约束为理想约束，则有： x A =lsin ? ?δ? δc o s x l A =………………………………………..① ? δ? ?δ??δ?2 sin sin 2cot cos 2a l y a l y P P +-=-=……………….② 由虚功原理得：-2T P A P y x δδ+=0 将①②代入，得T=P ? ?? ? ?? -???tan cos sin 22l a 第三题设任意珠子的球心到管的圆心为OO ’长度为R ，前面i 个球为系统质心为C ，设CO 长度为 L 。由虚功原理：N ()θθθθαd W d L iW d d R cos i sin cos i == 其中α=n 4π 即N α θ cos cos i R iWL = 现在的目的就是求质心的位置函数L 和θ 由对称性已知角度θ= ααi i =22 1 求L 用旋转矢量，如图所示 I 个大小为mR 、方向一次相差角度2α的矢量和的大小应该为imL 有：()()α αααsin sin sin sin 22 imL i i R L i mR ==即

抽屉原理的应用

第五单元数学广角第二课时抽屉原理的应用教学内容：教科书第72 页例3. 教学目标： 1、使学生能运用抽屉原理解决一些实际问题。 2、能与他人交流思维的过程与结果，并且学会有条理地、清晰地说明有关的问题。 3、体会到数学与日常生活的密切关系。教学重点：灵活的应用抽屉原理解决生活中的问题。教学过程：一、复习回忆抽屉原理的知识二、探究新知 1.出示例3.盒子里有同样大小的红球和蓝球各4 个。要想摸出的球一定有2 个同色的，至少摸出几个球？ 2.引导学生思考、讨论、交流：本例题与前面所讲的抽屉原理是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。 3.让学生大胆猜测，如果学生的猜测有误，可以请其他学生举出一个反例，推翻这种猜测。三、总结规律本题中的“抽屉数”即“颜色数”，根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2 个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2 个球，分的物体个数至少比抽屉多1”，结论就变成了“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1”。四、巩固练习 1.教科书第72页“做一做” 1（.因为一年最多有366天，如果把这366天看做366个抽屉，把370 个学生放进366 个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。如果把12 个月看作12个抽屉，把49 个学生放进12个抽屉，49除以12得4余1，因此，总有一个抽屉里至少有5（4+1）个人，也就是他们的生日在同一个月。

2.教科书第72页“做一做”。2 知识点: 要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1”。板书抽屉问题的应用颜色数+1 第三课时练习课教学内容：教科书第73 页练习十二。教学目标： 1.使学生应用“抽屉原理”熟练的解决生活中的问题。 2.培养学生灵活解决问题的能力，感受数学的魅力。教学过程：每道题先组织学生讨论、交流，再独立完成，最后集体订正。教师巡视时注意后进生。第1 题：一副扑克牌共54 张，去掉2 张王牌，只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色。我们把4 种花色当作4 个抽屉，把5 张扑克牌放进4 个抽屉中，必有一个抽屉至少有2 张扑克牌，即至少有2 张是同色花的。第2 题。相当于把41 环分到5 个抽屉（代表5 镖）中，根据41 除以5 得8 余1，必有一个抽屉至少有9（即8+1）环。第3 题。第一个问题与例3 的类型相同，只要想一共有3 种颜色，至少拿出4 根小棒就能保证一定有2 根同色的小棒。第4 题。把两种颜色当作两个抽屉，把正方体6 个面当作物体，要把6 个面分配给两个抽屉，6 除以2 得3，至少有3 个面要涂上相同的颜色。

抽屉原理及其应用

题目：抽屉原理及其应用 *** 学院：理学院专业：应用数学学号： ************ 学生姓名： ***** 开设课程：组合数学

抽屉原理及其应用 [摘要]抽屉原理是数学中的重要原理,在解决数学问题时有非常重要的作用.各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处. [关键词]抽屉原理高等数学初等数学一、抽屉原理原理Ⅰ 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素. 原理Ⅱ 把m 个元素任意放到n )(n m >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中原理Ⅲ 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素. 原理Ⅱ、Ⅲ是对原理Ⅰ的进一步深入阐述，把抽屉原理推入了更深更广的层次.并且我们很容易对其进行证明，可见它们都是非常简单的原理，可是，正是这样一些简单的原则，在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用.巧妙地运用这些原则，可以很顺利地解决一些看上去相当复杂，甚至觉得简直无法下手的数学题目. 二、抽屉的构造途径在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不说明几种常见的抽屉构造法. （一）利用等分区间构造抽屉所谓等分区间简单的说即是：如果在长度为1的区间内有多于n 个的点，可考虑把区间n 等分成n 个子区间，这样由抽屉原理可知，一定有两点落在同一子区间，它们之间的距离不大于n 1.这种构造法常用于处理一些不等式的证明. 例1 已知11个数1121,,,x x x ,全满足11,2,1,10 ＝　 i x i ≤≤,证明必有两个j i x x ,(j i ≠)满足j i x x -10 1≤. 证明如图1，将实数轴上介于0与1那段(连同端点)等分为10小段(这10个小段也就是10个等分区间，即10个抽屉)，每一小段长为 101.由抽屉原理，11个点(数)中至少有1m n m n k m n m n ???=????+????? ? , 当能整除时, , 当不能整除时.

趣味试题抽屉原理的应用

抽屉原理的应用 1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明在任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。” 这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的。我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。由于这个试题的形式新颖，解法巧妙，很快就在全世界广泛流传，使不少人知道了这一原理。其实，抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也到处在起作用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。兔同笼你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。普乔柯趣题普乔柯是原苏联著名的数学家。1951年写成《小学数学教学法》一书。这本书中有下面一道有趣的题。商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布？这道题可以这样想：把第一天卖出布的米数看作1份。就可以画出下面的线段图：

组合数学论文抽屉原理及其应用

北京航空航天大学软件学院组合数学论文论文题目：抽屉原理及其应用姓名：学号：专业：集成电路与物联网工程

目录摘要 (2) Abstract (3) 1.引言 (4) 2.抽屉原理的形式 (4) 3.抽屉原理的构造 (5) 3.1分割图形构造抽屉 (5) 3.2利用划分数组来构造抽屉 (6) 3.3利用划分集合来构造抽屉 (6) 3.4利用等分区间构造抽屉 (7) 3.5利用奇偶性分类构造抽屉 (8) 3.6利用状态制构造抽屉 (8) 4.抽屉原理的应用 (9) 4.1抽屉原理在数学中的应用 (9) 4.1.1解决代数问题 (9) 4.1.2解决数论问题 (10) 4.1.3解决几何问题 (11) 4.2抽屉原理在生活中的应用 (11) 4.2.1手指纹和头发 (11) 4.2.2电脑算命 (12) 4.2.3招生录取 (12) 5.总结 (13) 参考文献 (13)

摘要抽屉原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用。本文简单介绍了抽屉原理的几种形式，本文主要研究抽屉原理的抽屉构造和原理的应用。构造主要研究抽屉原理经常使用的几种构造方式：分割图形构造法，整数性质构造法（同余类构造法、划分数组构造法），间接转换构造法（染色体构造法）。应用主要从数学领域的应用和现实生活中的应用两大方面进行研究，数学领域方面主要应用于代数、数论、几何等几方面的解题，现实生活中大多数用于电脑算命，预测某些存在性的结果等等。关键词：抽屉原理；“抽屉”的构造；抽屉原理的应用

Abstract Drawer principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of non conventional problem solving method, is also one of the important types in number theory and combinatorics, has a wide range of applications. This paper briefly introduces the principle of drawer in several forms, This paper mainly studies the principle of drawer drawer structure and the application of the principle. Tectonic research drawer principle often use several construction methods: segmentation graph construction method, construction method of integer properties ( congruence class construction method, construction method of dividing the array ), indirect conversion method of construction ( chromosome construction method). Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research, mathematical fields mainly used in number theory, algebra, geometry and so on several aspects of the problem solving, in real life, most used computer fortune-telling, predict some existence results etc. Key words：Drawer Principle；" drawer" tectonic drawer；principle application

抽屉原理的应用

抽屉原理的应用摘要：根据抽屉原理，在运用抽屉原理解决实际问题时，对不同构造抽屉的方法进行了总结、归纳，以及详细的分类。关键词：归纳；应用；抽屉原理 Abstract：Based drawer principle，the principle of solving practical problems in the user of a drawer，the drawer of a different tectonic summary summarized，and a detailed breakdown. Key words：induction；using；principle of drawer. 中图分类：O165 一、基本原理抽屉原理是数学中的一个重要原理，这个原理可以用一个常识性事实来说明。即：如果苹果的数目大于抽屉的数目，则一定有某个抽屉至少放入了两个苹果。正是这个简单的原理，可以帮助我们解决不少复杂的、趣味的、富有挑战的问题。我们先来看它的命题和相关原理。引理1：把n+1个物体分成n个组，那么至少有一个组里含有不少于两个物体。

上面这个原理便是著名的抽屉原理，又名鸽巢原理，或狄得克雷原理。下面是由抽屉原理推广得出的命题。引理2：把m（m≥1）个物体分成n（n

抽屉原理及其简单应用

抽屉原理及其应用摘要: 本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理,介绍了抽屉原理及其常见形式，并结合实例探讨了这一原理在高等数学和初等数论中的应用。关键词: 组合数学；抽屉原理；抽屉构造 1．引言抽屉原理也叫鸽笼原理, 它是德国数学家狄利克雷( P. G. T. Dirichlet) 首先提出来的, 因此也称作狄利克雷原理.它是数学中一个基本的原理，在数论和组合论中有着广泛的应用。在数学的学习研究中，我们也可以把它看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。 2．抽屉原理的基本形式与构造 2.1基本形式陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理Ⅰ 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素。原理Ⅱ 把m 个元素任意放到)(n m n >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中原理Ⅲ 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素。 2.2基本构造利用抽屉原理解题过程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屉，元素进入抽屉的规则是什么，以及在同一个盒子中，所有元素具有的性质。构造抽屉是用抽屉原理解题的关键。有的题目运用一次抽屉原理就能解决，有的则需反复用多次；有些问题明显能用抽屉原理解决，但对于较复杂的问题则需经过一番剖析转化才能用抽屉原理解决。 1m n m n k m n m n ???=????+????? ? , 当能整除时, , 当不能整除时.

3.利用抽屉原理解题的常用方法 3.1利用划分数组构造抽屉例1 在前12个自然数中任取七个数，那么, 一定存在两个数, 其中的一个数是另一个数的整数倍。分析：若能把前12个自然数划分成六个集合, 即构成六个抽屉，使每个抽屉内的数或只有一个, 或任意的两个数, 其中的一个是另一个的整数倍，这样, 就可以由抽屉原理来推出结论。现在的问题是如何对这12个自然数：1，2 ,…,12 进行分组, 注意到一个自然数, 它要么是奇数, 要么是偶数。若是偶数, 我们总能把它表达为奇数与k 2（...3,2,1=k ）的乘积的形式，这样, 如果允许上述乘积中的因子k 2的指数K 可以等于零, 则每一个自然数都可表达成“ 奇数?k 2” （...3,2,1=k ）的形式, 于是, 把1，2，3…,12个自然数用上述表达式进行表达, 并把式中“奇数” 部分相同的自然数作为一组, 构成一个抽屉。证明：把前12个自然数划分为如下六个抽屉： 1A ={021?,121?,221?,321?} 2A ={023?,123?,223?} 3A ={025?,125?} 4A ={027?} 5A ={029?} 6A ={0211?} 显然, 上述六个抽屉内的任意两个抽屉无公共元素, 且1A +2A +...+6A ={1,2,3,...,12}.于是，由抽屉原理得，对于前12个自然数不论以何种方式从其中取出七个数，必定存在两个数同在上述六个抽屉的某一个抽屉内。设x 、y 是这两个数，因为4A 、5A 、6A 都是单元素集，因此，x 、y 不可能同在这三个抽屉中的任何一个抽屉内。可见，x 、y 必同在1A 、2A 、3A 的三个抽屉中的某一个之内，这样x 和y 两个数中，较大的数必是较小数的整数倍。

抽屉原理的一些使用技巧

２中等数学獻＃活劫镙趙讲雇抽屉康理的一些使用技巧罗炜（浙江省杭州市西湖区，３１００２７）中图分类号：〇１５７文？标识码：Ａ文章编号：１００５６４１６（２０１８）１１０００２０５（本讲适合高中）基本的抽屉原理描述如下：设集合Ｓ有Ａ个子集岑，七， … ，＜，满足Ａ＝义Ｕｉ４２Ｕ … ＬＭ＊，任取集合ｆｉ〇４，＞ｍＡ，则存在；（１Ｕ），使得抽屉原理是解决组合题目的基本方法，通过巧妙设计抽屉，可以简洁地证明一些存在性的结论．抽屉原理适用这样的问题：证明某集合的某类子集（一般指定子集元素个数）中一定存在一些元素，满足某条件．例１设Ｚ是１０〇〇〇个整数的集合，每一个均不是４７的倍数．证明：可以找到尤的一个２００７元子集Ｆ，使得其中的任何五个数ａ、６、ｃ、＜ｆ、ｅ６均有４７＼（ａ－ｂ＋ｃ－ｄ＋ｅ）． ① （第４８届ＩＭＯ预选题）【分析】当考虑用抽屉原理解题时，应先确定抽屉的大小、个数及抽屉中元素满足的条件．这些信息往往可从题目条件近似推断．再注意到，题中条件只与模４７有关．于因为Ｖ黑碣，所以，需要的是某４十个剩余类，才能保证平均情况下可以得到至少２００７个元素．考虑模４７的剩余类１１９，２０，－，２８（ｍｏｄ４７）｜，其中任何两个数求和在区间［３８，５６］中，任何三个数求和在区间［５７，８４］中，两个区间中的整数模４７是不相交的．从而，其中不存在五个数ａ、６、ｃ、ｄ、ｅ，使得４７（ａｂ＋ｃｄ＋ｅ）， ② 这可以作为一个符合条件的抽屉．为了应用抽屉原理，还需要更多的抽屉．可以利用变换，从初始的抽屉得到更多的抽屉．关键是找到合适的变换，以保持抽屉的特殊条件不变？本题条件式①是在模４７下关于变量ａｉｃｄｗ的齐次线性方程，于是，考虑线性变换．对每个＆（１专Ａ矣４６），验证＝｜１９Ａ，２〇ｊｃｆ，－，２８＊（ｍｏｄ４７）｜中不含五个数ａ、６、Ｃ满足式②．每个４均为符合条件的抽屉，且．｜ｌ，２，－，４６（ｍｏｄ４７）｝是，选取模４７的几个剩余类（其中６根据题中每个剩余类恰在１０个也中出现？目条件不需考虑），使得其中至少有集合Ｚ由于给定的集合Ｚ在所有火中共出一中的２００７个元素，且这些剩余类中不存在现１００００ｘ１０次，则由抽屉原理，知其中一五个按题目中的代数和得到〇．ｉｎ５个火至＞２００７个Ｚ，满足少有｜中的元素收稿日期：２０１８０９２２题目条件．

奥数专题：简单的抽屉原理(鸽笼原理),利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题

奥数专题：简单的抽屉原理把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。例1有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原

抽屉原理及其应用毕业论文

中文摘要抽屉原理又叫鸽笼原理、狄里克列原理、重叠原理、鞋盒原理，是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用，主要用来解决几何、整除、染色、面积、数列等问题。本文首先简单介绍了抽屉原理的几种形式，便于了解抽屉原理的定义及其性质；然后着重对抽屉原理的运用及其构造等方面进行详细讨论，主要从解析几何、初等数论、不等式证明、高等代数以及概率论等方面进行研究。关键词：抽屉原理，“抽屉”的构造，抽屉原理的应用

目录 1 引言.......................................... . (3) 2 抽屉原理的概述.......................................... (3) 2.1抽屉原理的简单形式.......................................... (3) 2.1抽屉原理的基本形式.......................................... . (4) 2.1抽屉原理的推广............................................ . (4) 3 抽屉原理的应用.......................................... (4) 3.1抽屉原理运用于解析几何............................................ (4)

3.1.2抽屉原理运用于处理几何图形内若干点问题 (4) 3.1.2抽屉原理运用于几何体的相交问题 (9) 3.1.3抽屉原理运用于点线问题............................................ ..10 3.1.4抽屉原理运用于染色问题.......................................... .. 3.2抽屉原理在初等数论的运用.......................................... .... 3.2.1抽屉原理在整除理论中的运用.......................................... 3.2.2抽屉原理在同余理论中的运用.......................................... 3.3抽屉原理运用于不等式的证明............................................ .. 3.3.1运用于代数不等式............................................