必修1知识点、考点、题型汇总

集合与函数知识点讲解

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}

{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301若，则实数的值构成的集合为B A a ?

3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n

4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法）

如：已知关于的不等式

的解集为，若且，求实数x ax x a

M M M a --<∈?50352的取值范围。 ()223555530501925353a a M M a a a --??∈

6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应法则、值域)

７. 求函数的定义域有哪些常见类型？

lg 3y x =-例：函数()()()（答：，，，）022334

8． 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域。[]（答：，）a a -

9． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ()如：，求f x e x f x x +=+1().

令，则t x t =+≥10∴x t =-21∴f t e t t ()=+--2121()∴f x e x x x ()=+-≥-21210

１0. 反函数存在的条件是什么?(一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗?(①反解ｘ；②互换x 、y;③注明定义

域)()()如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥-

（答：）f x x x x x -=->--

[][]

∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，

12. 如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性?

[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()??

[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()()

()

如：求的单调区间y x x =-+log 1222

（设，由则u x x u x =-+><<22002

()且，，如图：log 122

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212

∴……)

13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

(f(ｘ）定义域关于原点对称)

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-??

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论:

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇

函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0=

如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=2221

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000

即·，∴）a a a 22210100+-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x

x ()()()()-∈=+1101241

()求在，上的解析式。f x ()-11

()()（令，，则，，x x f x x

x ∈--∈-=+--1001241

() 又为奇函数，∴f x f x x x x

x

()()=-+=-+--241214 ()又，∴，，）f f x x x x x

x x x ()()()00241100241

01==-+∈-=+∈??????? 14. 你熟悉周期函数的定义吗?

()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()

函数，T 是一个周期。）

()如：若，则f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2

()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==?

即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=-

则是周期函数，为一个周期f x a b ()2-

如：

15． 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清)

f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称-

f x f x ()()与的图象关于原点对称--

f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1

f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-=

f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20

将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→????????>=+=-()()()()()

00 上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b

()()()()>?→????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换:

f x f x f x f x ()()

()(||)

?→??→? ()如：f x x ()log =+21

()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211

y=log 2x

１６. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a

k O a b =≠=+-≠'() 的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线3024422

2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?? ???+- 顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-b a

ac b a x b a 24422 开口方向：，向上，函数a y ac b a

>=-0442min a y ac b a <=-0442，向下，max 应用:①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴?

的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()

②求闭区间［m ，n]上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020

++=?≥->>????????()

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

()（）指数函数：，401y a a a x =>≠

()（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质!(注意底数的限定！)

a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k x k =+>

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

17． 基本运算上需注意的问题:

指数运算：，a a a a a p p

01010=≠=≠-(()) a a a a a

a m

n

m n m n m n =≥=>-((010))，

()对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00 log log log log log a a a a n a M N M N M n

M =-=，1 对数恒等式：a x a x log =

对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n m

b m =?= 18 . 如何解抽象函数问题?

(赋值法、结构变换法）

如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()()

（先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()()

[]（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()()

∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+

∴……）f t f t ()()-=

()[]

（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=

19.． 掌握求函数值域的常用方法了吗?

(二次函数法（配方法)，反函数法,换元法,均值定理法,判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)

如求下列函数的最值: （）123134y x x =-+-

（）2243

y x x =-+(先√X ＝?) （），3323

2

x y x x >=- []()

（）设，，449302y x x x =++-=∈cos θθπ

（），，54901y x x x =+∈(] 集合与函数巩固练习

1.满足关系{1,２}?Ａ?｛１,2，3，4,５}的集合的个数是()

Ａ:４ Ｂ:6 Ｃ:８ D ：9

2.以实数x ，x -,||x ，2x ,33

x -为元素所组成的集合最多含有（)

A:２个元素 B ：3个元素 Ｃ:4个元素 Ｄ:5个元素

3．已知集合Ｍ有３个真子集,集合N 有7个真子集，那么M ∪N 的元素个数为( ）

(A ）有5个元素 (B)至多有5个元素

(C ）至少有5个元素 (Ｄ)元素个数不能确定

4. 已知A=｛(x,y)|y ＝x 2-４x ＋3}，B={(x,y ）|y=-x 2-2x+2}，求A ∩B.

5.某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有３0人、2８人，语文、数学至少有一科优秀的学生有38人，求: ?(1） 语文、数学都优秀的学生人数;

?(2） 仅数学成绩优秀的学生人数．

6.已知集合Ａ={x|a ≤ｘ≤a+3},B={x ＜-1或x>５}.

?(１） 若A ∩B ＝Φ，求ａ的取值范围；

?（２) 若A ∪Ｂ＝R ，求a 的取值范围．

７、不等式0)32)(1(2>+-+x x 的解集是（） A.??????23????B ．??????>23x x ? C ．??????<23x x ??D ．??????->23x x 8、已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ,那么集合N M ?为（)

A.1,3-==y x ??

B.)1,3(-?? ?

C.{}1,3-?

Ｄ.{})1,3(- 9. 二次函数c bx ax y ++=2中,若0

A.1个 ?? Ｂ.2个 ? C.没有交点 ??D.无法确定

10. 下列四组函数中,表示同一函数的是( ?）

A.2)1(1-=-=x y x y 与B ．111--=

-=x x y x y 与 C.2lg 2lg 4x y x y ==与D ．100lg

2lg x x y =-=与 1１、函数)0(2)(≠=x x

x f 的反函数=-)(1x f （? ) A.)0(2≠x x Ｂ．)0(2≠x x C.)0(2

≠-x x D.)0(2≠x x 12、函数)10()2(log )(<<+=a x x f a 的图象必不过(? ）

A ．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

１３、若b a lg ,lg 是方程01422

=+-x x 的两个实根，则ab 的值等于（? ） A ．2Ｂ．

2

1C ．100D.10 １4.函数)(x f y =的图象与)1(log 2

1x y -=的图象关于直线x y =对称,则)(x f =( ） A.x -+21B ．x 21+ C.x 21- D.x

--21

(提示:根据原函数与反函数图象的性质) １５、若x

x x f 1)(-=

，则方程x x f =)4(的根是( ） A ．21B ．2

1- C.2D ．2- １６、如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是５,那么)(x f 在]3,7[--上是（ )

A.增函数且最小值是5- B 增函数且最大值是5-．

C.减函数且最小值是5- Ｄ．减函数且最大值是5- 1７. 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（??)

A ．

B ．

．

ＣD ．(提示：根据图像判断）

1８. 若函数)(x f 为奇函数，且当,10)(,0x x f x =>时则)2(-f 的值是(

) A.100- Ｂ．100

1 Ｃ．100 Ｄ．1001- 19、奇函数)(x f 定义域是)32,(+t t ，则=t （提示:根据奇偶函数定义域特点）

20．x

a y )(log 2

1=在R 上为减函数，则∈a

21.设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(,求)(x f 。

解:)(x f 为奇函数 )()(x f x f -=-∴)(x g 为偶函数 )()(x g x g -=-∴

x x x g x f x x x g x f +=---∴-=-22)()( )()(

从而 x x x g x f x x x g x f --=++=--22)()(,)()(

???-=-=????--=+-=-222)()()()()()(x x g x

x f x x x g x f x x x g x f

2２.(1）已知ｆ（２x+１)=x 2＋x ，,求f(x)的表达式

(2）已知f(ｘ）=x 2＋ｘ, ,求f(2ｘ＋１)的表达式

(3) 已知ｆ（２x+１）=x 2+x ， ,求f(x 2+ｘ)的表达式

２3.(1)已知f(2x+１)定义域（0,6）,求f(x)定义域

（２)已知f(ｘ）定义域（０,6）,求ｆ(2x ＋1）定义域

(３) 已知f （2x ＋1)定义域(０，6），求f(x ２+x)定义域

２4．已知f(x)为奇函数，x>0, f(x ）=ｘ2+x ，求f （ｘ)解析式

２5．已知函数f (x ）＝12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是

A.０＜m ≤4

B.0≤m ≤1

C.m ≥４

D.0≤m ≤4