大学微积分复习题
0201《微积分（上）》2015 年06 月期末考试指导
一、考试说明
考试题型包括：
选择题（10道题，每题 2 分或者3分）。
填空题（5-10 道题，每题 2 分或者 3 分）。计算题（一般5-7 道题，共40 分或者50 分）。
证明题（ 2 道题，平均每题10 分）。考试时间：90 分钟。
二、课程章节要点
第一章、函数、极限、连续、实数的连续性
（一）函数
1．考试内容集合的定义，集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法，分段函数，反函数，复合函数，隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性），基本初等函数，初等函数。
2．考试要求
（1）理解集合的概念。掌握集合运算的规则。
（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。
（3）了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。
（4）了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
（5）掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。
（二）极限
1．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质，函数的左极限与右极限，无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则），两个重要极限。
2．考试要求
（1）理解数列及函数极限的概念
（2）会求数列极限。会求函数的极限（含左极限、右极限）。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（3）了解极限的有关性质（惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。
（4）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。
（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点，连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理）。
2．考试要求
（1）理解函数连续性的概念（含左连续、右连续）。会求函数的间断点。
(2) 掌握连续函数的四则运算法则。
(3) 了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。
(4) 了解闭区间上连续函数的性质( 最大值、最小值定理，零点定理) 。第二章、一元函数微分学
(一) 导数与微分
1．考试内容导数与微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义，函数的可导性、可微性与连续性的关系，导数与微分的四则运算，导数与微分的基本公式，复合函数的求导法，隐函数的求导法，高阶导数。
2．考试要求
(1) 理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。
(2) 了解函数可导性、可微性与连续性的关系。
(3) 会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。
(4) 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。
(5) 会求隐函数的一阶导数。
(6) 了解高阶导数的概念。会求函数的二阶导数。
(7) 了解微分的概念。会求函数的微分。
(二) 微分中值定理及导数的应用
1．考试内容
微分中值定理( 罗尔定理、拉格朗日中值定理) ，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数的最大、最小值，函数图形的凹凸性与拐点。
2．考试要求
(1) 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。
(2) 熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
(3) 掌握利用导数判断函数单调性的方法。
(4) 理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。
(5) 会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。第三章、一元函数积分学
(一) 不定积分
1．考试内容原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。
2．考试要求
(1) 理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。
(2) 熟练掌握不定积分的基本公式。
(3) 熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法( 仅限于三角代换与简单的根式代换) 。
(4) 熟练掌握不定积分的分部积分法。
(二) 定积分
1．考试内容定积分的概念与基本性质，定积分的几何意义，变上限积分定义的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元法与分部积分法，定积分的应用( 平面图形的面积、旋转体的体积) 。
2 ?考试要求
(1) 理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。 (2) 理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。 (3) 掌握牛顿-莱布尼茨公式。
(4) 熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。
(5) 会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。 (三) 广义积分 1 ?考试内容
广义积分的概念与基本性质，广义积分的计算，广义积分的应用。 2 ?考试要求
(1) 理解广义积分的概念。
(2) 了解广义积分的实际背景和意义。 (3) 掌握广义积分的基本性质。 (4) 熟练掌握广义积分的计算。
三、练习题
、单选题 1. 函数y 口 ?、百"X 2的定义域是( )
lnx
x
!
,x
6.设 f x
1 e x
，贝y f x 在x 0处
0, x 0
A 、左导数不存在
B 、右导数不存在 D 、不可导
A 、 0,1
B 、 0,1 U 1,4
C 、 0,4
D 、 0,1 U 1,4
2?当x
1时，下列变量中不是无穷小量的是(
)
A 、x 2
1 2 C 、3x 2x 1
2
D 、 4x 2x 1
3.
f x x 2 在 x
2的导数为(
)
A 、 1
B 、 0
4
. x
2 x 极限lim
=
x
x
()
1
A 、 e 2
B 、 2
5.设函数f x 在x 2可导，且f ' 2
A
、B 、
1
C 、 1
D 、
不存在 C 、e 2
D
、
1
小 f 2 h f 2
2，则 lim =( )
h 0
2h
C 、2
D
、
4
7. 设 f ' I nx - x 0，贝U
f x =(
) x
A 、ln x C
B 、e x
C 8. 下列关系正确的是( )
A 、d f x dx f x -J
C 、 一 f x dx f x
dx 9. "X 。叫%=(
Jsin xcosx
二、填空题
B 、 f' x dx f x
D 、
—f x dx f x C
dx
A 、 0
B 、
10.下列广义积分发散的是（
\
17
3
- 2
dx
1
x 、x
1
dx 0疋
1 dx 0
r
D 、
e X dx
D 、e x C
1. 21 x dx
2.
3.
1dx
1 3厂
2 ---------------------------------------- .
.x
X ,厂t3厂t3 dt
lim
x 0
~~
3
x sin Vtdt
4.设f 2x
e, 1
kx, x 0
x w 0
在x 0连续，则
5. 函数2在1,2上满足拉格朗日中值定理的
6. 27x 2 在1,2上的最大值为
7. dx 1 x
8.设f x 在x点有：f ' x°0, f '' x0 0，则 f x°是 f
9.设y 是由方程arctan， In： x2 y2确定的隐函数，则
x
y'
10
. n x
sin
t2dt
~3
x
二、计算题
1 1 1
2. 求 lim ---------- -------------- … --------- n
寸 n 1 —2 亦2~n 3. 设函数y x sinx ，求y'.
4. 求函数f x X 」\dt 的极值，并说明是极大值还是极小值 0
1 t 2
In 1 ax
x 0
sin2x 1 x 0
bx e
7、 计算 2 - cosx cos 3 xdx.
2
8、 设 y f sin x 2，求 dy. 四、证明题
1
1.证明： 当x 1时，
e x
e
x
2
2、证
当x 0时, 证明 x L In 1 x x
2
3、证明： xf sin x dx
f sin x dx. 0
2 0
四、习题解答提示
一、单选题 DDDCB DCCAB 二、填空题
ln 2
2. 6
ksin 2x
x 2si n 丄 1. 设 x
im
1，求 k. 5.设 f x
在x 0处连续，求a, b.
6、求由曲线xy 1及直线y x, y
2所围图形面积
5. 2
6. 24
7. 2 x ln 1 x C 8. 极大 9. y' 1 x y
1 10. -
3 三、计算题 1. k -. 2
2. 1.
3.提示： In y sin xln x ， y' cosxl nx y sin x
x
y'
sin x
x
cosxln x
sin x
x
4.提示： f ' x 1
x 0
x 1,f”x
2
x 2x 1 1
0, f'' 1
- 2
0, f 1 4 i ln2
1 x 2
1 2
x 2
极大值.
四、证明题
3
4. 2 In 1 ax 5、 提示: 因为
sin2x
1 bx .
e 1
0处连续.根据连续定义解题:
6、 提示:
7、 提示:
提示: lim
x 0
lim
x 0
ax
In lim x 0 sin2x
bx
e
0 lim
x
dy
cos x cos 3
xdx
利用微分定义得 dy 八叫
..ax lim x 0
2x
.bx
be
a ，利用连续性,
利用连续性b 1.
2.
ln 2.
.cosx sin xdx
2
_
1
2
_
2 cosx 2
d cosx
f ' sin x 2 cosx 2
2xdx.
1 _ e
1?提示：令 x e x
-，则
x
2
x
In 1 x x .同理可证In 1 x x.
2 3、提示：选取恰当的变量代换:
说明：本考试指导只适用于 201503学期期末考试使用，包括正考和重修内容。指导中
的章节知识点涵盖考试所有内容，给出的习题为考试类型题，习题答案要点只作为参考， 详见课程讲义或笔记。如果在复习中有疑难问题请到课程答疑区提问。最后祝大家考试顺 利！
1
1
0，所以当x 1时 x 0，亦即e' e
x
2 2
x In 1
x x
,f ' x
（当x 0
时）,
2
1 x
严格单增，但
2、提示：令
1
1
e
e e 2
x
e x
~2
~2
2
0， Q x 1
x x
x
所以fx 在x 0时严格单调增，但fO 0，所以fx 0在x 0时，即
只要做变量代换x
t 便可计算出
xf sin x dx
f sin x dx.
2 0
1