用微积分基本定理推导圆锥的体积公式
设圆锥的底面半径为R ,高为h ,在直角坐标系中作直线R y x R h
=-
+交x 轴、y 轴于A 点(O ,R )和B 点(h ,0)
将△AOB 绕x 轴旋转一周得到的几何体是底面半径为R ,高为h 的圆锥。 则222222002()h h R x R x V y dx R dx h
h ππππ==-+??锥 其中积分区间为[0,]h 不妨设2
22
222()R R f x x x R h h πππ=-+ 根据微积分基本定理()()()b
a Q f x dx F
b F a ==-?,'()()F x f x = 因为2
22222'()()R R F x f x x x R h h πππ==-+,所以223222()3R R F x x x R x h h
πππ=-+ 所以232222201()()(0)3
3h
R h R h f x dx F h F R h R h h h ππππ=-=-+=? 因此213V R h π=锥
圆柱与圆锥体积练习题
圆柱与圆锥体积练习题 一、填一填(圆柱与圆锥体积练习题) 1.圆柱的侧面是一个(),底面是2个相等的()。 2.一个圆柱的底面直径是5厘米,高是10厘米,它的侧面积是()平方厘米。 3.一个圆柱的体积是3立方厘米,与它等底等高的圆锥体积是()立方厘米。 4.一个圆柱的底面积是25平方厘米,高4厘米,体积是()立方厘米。 5.圆柱体的侧面积是平方米,底面直径是2米,它的高是()米。 6.一个圆柱的侧面展开是边长厘米的正方形。这个圆柱的体积是()立方厘米。 7.等底等高的圆柱和圆锥各一个,体积之和是6立方米,圆柱的体积是()立方米。 二、选一选 1.求做一个圆柱形茶叶罐需要多少硬纸板是求()。 ①圆柱的侧面积②圆柱的体积③圆柱的表面积 2.一个圆锥的底面半径扩大2倍,高也扩大2倍,它的体积扩大()倍。 ① 4 ②6 ③8 3.以两条直角边都是3厘米的三角板的一条直角边为轴旋转一周,得到的体积是()立方厘米。 ① 9 ②③
三、圆柱圆锥练习题选(二) 1、做一节长1米,底面直径是20厘米的铁皮烟囱,至少需要多少平方米的铁皮? 2、一个圆柱形的体积是30立方米,底面积是15平方米,高是多少米? 3、一个圆锥形沙堆,底面积是15平方米,高2米。用这堆沙铺在长400米、宽3米的路面上,能铺多厚? 4、一个圆锥形沙堆,底面半径是2米,高是1.5米。如果每立方米沙重吨。这堆沙重多少吨? 5、一种无盖的圆柱形水桶,它的底面直径是4分米,高5分米。 ①做一个这样的水桶至少需多少平方米的铁皮?(得数保留整平方米)
②如果每升水重1千克,这个水桶最多能装水多少千克?(铁皮厚度不计) 6、一段圆柱形钢材长5米,横截成两个小圆柱表面积增加了20平方厘米。如果每立方厘米钢重7.8克,这段钢材重多少千克?(得数保留整千克) 7、一个圆柱形水槽,底面半径是8厘米,水槽中完全浸没着一块铁件,当铁件取出时,水面下降了5厘米。这块铁件的体积是多少立方厘米?
圆锥体积计算公式的推导
圆锥体积计算公式的推导 歙县王村中心学校程金丽 教学内容:教科书第42~~43页的例1、例2,完成“做一做”和练习九的第3—5题。 教学目的:使学生初步掌握圆锥体积的计算公式,并能运用公式正确地计算圆锥的体积,发展学生的空间观念。 教具准备:等底等高的圆柱和圆锥各一个,比圆柱体积多的沙土(最好让学生也准备). 教学过程: 一、复习 1、圆锥有什么特征? 使学生进一步熟悉圆锥的特征:底面,侧面,高和顶点。 2、圆柱体积的计算公式是什么? 指名学生回答,并板书公式:“圆柱的体积=底面积×高”。 二、导人新课 我们已经学过圆柱体积的计算公式,那么圆锥的体积又该如何计算呢?今天我们就来学习圆锥体积的计算。 板书课题:圆锥的体积 三、新课 1、教学圆锥体积的计算公式。 教师:请大家回亿一下,我们是怎样得到圆柱体积的计算公式的? 指名学生叙述圆柱体积计算公式的推导过程,使学生明确求圆柱的体积是通过切拼成长方体来求得的。 教师:那么圆锥的体积该怎样求呢?能不能也通过已学过的图形来求呢? 先让学生讨论一下用什么方法求,然后指出:我们可以通过实验的方法,得到计算圆锥体积的公式。 教师拿出等底等高的圆柱和圆锥各一个,“大家看,这个圆锥和圆柱有什么共同的地方?” 然后通过演示后,指出:“这个圆锥和圆柱是等底等高的,下面我们通过实验,看看它们之间的体积有什么关系?” 接着,教师边演示边叙述:现在圆锥和圆柱里都是空的。我先在圆锥里装满沙土,然后倒入圆柱。请大家注意观察,
看看能够倒几次正好把圆柱装满? 问:把圆柱装满一共倒了几次? 学生:3次。 教师:这说明了什么? 学生:这说明圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的。 板书:圆锥的体积=1/3 ×圆柱体积 教师:圆柱的体积等于什么? 学生:等于“底面积×高”。 教师:那么,圆锥的体积可以怎样表示呢? 引导学生想到可以用“底面积×高”来替换“圆柱的体积”,于是可以得到圆锥体积的计算公式。 板书:圆锥的体积=1/3 ×底面积×高 教师:用字母应该怎样表示? 然后板书字母公式:V=1/3 SH 2、教学例1。 一个圆锥形的零件,底面积是19平方厘米,高是12厘米。这个零件的体积是多少? 教师:这道题已知什么?求什么? 指名学生回答后,再问:已知圆锥的底面积和高应该怎样计算? 引导学生对照圆锥体积的计算公式代入数据,然后让学生自己进行计算,做完后集体订正。 3、做第50页“做一做”的第1题。 让学生独立做在练习本上,教师行间巡视。 做完后集体订正。 4、教学例2。 在打谷场上,有一个近似于圆锥形的小麦堆,测得底面直径是4米,高是1.2米。每立方米小麦约重735千克,这堆小麦大约有多少千克?(得数保留整千克) 教师:这道题已知什么?求什么? 学生:已知近似于圆锥形的麦堆的底面直径和高,以及每立方米小麦的重量;求这堆小麦的重量。
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 圆柱与圆锥单元练习 1.圆锥体底面直径是2米,高2米,它的底面积是(),体积是()。 2.将一张长30厘米,宽18厘米的长方形白纸卷成一个圆柱,这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 3. 一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等,已知圆柱的高6厘米,那么圆锥体的高是 ( )厘米。 4. 1600毫升的果汁最多能冲满()杯高10厘米,直径为6厘米的玻璃杯。 5. 要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系,可选用()统计图 6.一个圆柱体木料的底面半径是2分米,高6分米,这个圆柱的体积是()立方分 米。把这个圆柱削成一个最大的圆锥体,体积约是()立方分米。 7.做一节底面直径为10厘米,长40厘米的烟筒,至少需要()平方分米铁片。 8.把一个底面半径为2厘米,高10厘米的圆柱削成一个最大的圆锥,要削去()立方厘米。 9.把一个底面直径为5厘米,高为12厘米的圆柱体沿直径切割成两个半圆柱,表面积增加()。 10.有一根长2米的圆柱形钢材,如果把它截成3段同样的圆柱,表面积比原来增加40平方 厘米,这根圆柱的体积是()立方厘米。 11.一个长方形长5厘米,宽4厘米,如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形,得到的是 (),这个图形的体积是()立方厘米。 二、选择题。 1.一个圆柱体切拼成一个近似长方体后,() A 表面积不变,体积不变; B 表面积变大,体积不变; C 表面积变大,体积变大。 2.在下图中,以直线为轴旋转,可以得出圆柱体的是(),得出圆锥体的是()。 A B C D 3.一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等,圆锥的高是圆柱的3倍,圆锥的体积是12立方分米,圆柱的体积是()立方分米。 A 12 B 36 C 4 D 8 4.一个圆柱侧面展开是一个正方形,它的高是半径的()倍。 A 2 B 2 C 6.28 5.将一个底面直径为4厘米,高5厘米的圆柱切成两个完全相等的部分,()切法表面积增加的大。 A B 6.一个圆锥的体积是n立方厘米,和它等底等高的圆柱体的体积是()立方厘米。 A n B 2n C 3n 7.一个圆锥的体积是12立方厘米,底面积是4平方厘米,高是()厘米。 A 3 B 6 C 9 D 12 8.把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,切削掉的部分部分重8千克,这段圆钢重()千克。 A 24 B 16 C 12 D 8 9.圆锥的底面半径扩大3倍,高不变,那么它的体积就扩大()倍。 A 3 B 9 C 18 圆锥的体积计算公式 白泉一小郝永辉 一、教学目标: 知道圆锥体积的推导过程,理想解并掌握体积公式,能运用公式求圆锥的体积,并会解决简单的实际问题,对学生进行辨证唯物主义启蒙教育。 二、教学重点: 圆锥体积的公式 三、教学难点: 圆锥体积公式的推导 四、教具准备: 沙、圆锥教具、圆柱教具若干个,其中有等底、等到高圆柱,圆锥多个 五、教学过程: (一)复习 1、口答圆锥体积计算公式。 2、计算下面各圆柱的体积。 (1)底面积是6。28平方分米,高是5公米。 (2)底下面半径是3公米,高与半径相等。 3、小结 (二)新授 1、点明课题,圆锥体积的计算 2、体积公式的推导 (1)要研究圆锥的体积,你想提出什么问题? ·圆锥的体积与什么有关?有怎样的关系? ·为什么时候有这样的关系? (2)出示教具让学生观察圆锥体积与底面积、高的关系? (3)圆锥的体积需转化成已学过的物体的体积来计算。转化成哪一种形体最合适? (4)实验 ·出示等底、等高的圆柱和圆锥容器教具观察特征:等底等高 ·教师示范用空间圆柱里倒,让学生观察看看倒几次倒满圆柱。·得出结论:圆锥体积等于这个圆柱体积的1/3。 ·教师再次实验。 ·学生动手实验:先做等底等高的实验,再做不等底不等高的实验,然后提问,圆锥体积都是圆柱体积的1/3吗?为什么? 3、学生讨论实验情况,汇报实验结果。 4、推导出公式 指名口答,师板书:圆锥体积等于等底等高圆柱体积的1/3 圆锥体积=底面积×高×1/3 V=1/3Sh S表示什么? H表示什么? SH表示什么? 1/3SH表示什么? 5、练习(口答) 6、运用公式 (1)出示例1、一个圆锥形零件,底面积是19平方厘米,高是12厘米。这个零件的体积是多少? 学生尝试练习,教师讲评。 (2)出示例2、在打谷场上,有一个近似于圆锥形的小麦堆,测得底面直径是4米,。高是12米。每立言米小麦约重735千克,这堆小麦大约重多少克?(得数保留整千克) 学生读题思考后尝试练习。 三、巩固练习 课本第43页“做一做”第1、2题。 四、小结 今天这节课,你学到了什么知识?要求圆锥的体积需要知道哪些条件? 板书设计: 圆锥的体积计算 V=1/3Sh 例1、1/3×19×12=76(立方厘米) 答:这个零件的体积是76立方厘米。 例2、(!)麦堆底面积:(略) (2)麦堆体积:(略) (3)小麦重量:(略) 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?圆柱与圆锥的体积
六年级数学圆锥的体积计算公式
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案