高中数学人教A版选修模块综合测试修订稿

高中数学人教A版选修模块综合测试

集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

高中数学人教A 版选修2-1模块综合测试

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

1．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2

－x ＋1

4

<0”；命题q ：“存

在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是( )

A ．p ∨q 为假命题

B ．p ∧q 为真命题

C ．绨p ∧q 为真命题

D ．绨p ∨绨q 是假命题 解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确． 答案：C

2．已知a ，b ∈R ，则“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b

”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：∵ln a >ln ba >b >0，(13)a <(13)b

a >

b .而a >b >0是a >b 的充分

而不必要条件．

∴“ln a >ln b ”是“(13)a <(13)b

”的充分而不必要条件．

答案：A

3．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案：B

4．以双曲线x2

4

－

y2

12

＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方

程为( )

＋y2

12

＝1 ＋

y2

16

＝1

＋y2

4

＝1 ＋

y2

16

＝1

解析：由x2

4

－

y2

12

＝－1，得

y2

12

－

x2

4

＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)、

(0，－4)，顶点坐标为(0,23)、(0，－23)．∴椭圆方程为x2 4

＋

y2

16

＝1.

答案：D

5．以双曲线x2

4

－

y2

5

＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点

为焦点的抛物线方程是( ) A．y2＝12x B．y2＝－12x

C．y2＝6x D．y2＝－6x

解析：由x2

4

－

y2

5

＝1，得a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9.

∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．

故p

2

＝3.∴抛物线方程为y2＝12x.

答案：A

6．已知椭圆x2

3m2

＋

y2

5n2

＝1和双曲线

x2

2m2

－

y2

3n2

＝1有公共的焦点，

那么双曲线的渐近线方程是( )

A．x＝±15

2

y B．y＝±

15

2

x

C．x＝±

3

4

y D．y＝±

3

4

x

解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m2－5n2＝2m2＋3n2，

∴m2＝8n2.而由双曲线x2

2m2

－

y2

3n2

＝1，得渐近线为y＝±

3n2

2m2

x＝

±

3

4

x.

答案：D

7．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关

系：6OP→＝OA→＋2OB→＋3OC→，则( ) A．四点O、A、B、C必共面

B．四点P、A、B、C必共面

C．四点O、P、B、C必共面

D．五点O、P、A、B、C必共面

解析：由已知得OP→＝1

6

OA→＋

1

3

OB→＋

1

2

OC→，而

1

6

＋

1

3

＋

1

2

＝1，∴四点

P、A、B、C共面．答案：B

图1

8．如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( )

A．{π2 }

B．{α|π

6

≤α≤

π

2

}

C．{α|π

4

≤α≤

π

2

}

D．{α|π

3

≤α≤

π

2

}

解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM上，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．

答案：A

图2

9．如图2，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面

角，若点P 满足BP →＝12BA →－12

BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( ) B ．2

解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.

∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA 2→＋14BC 2→＋BD 2→－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →

＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝9

4. 答案：D

10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )

解析：建立如图3所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，

则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC

1→＝(－1,0,1)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.

∴?????

x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.

令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，

图3

∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1

→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63.

∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为6

3.

∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为3

3.

答案：C

11．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为

其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

图4

解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图4.

又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，

即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a.

又∵c>a，∴a

∴1

a

≤3，即1

答案：B

12．(2011·全国高考)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( )

A．7π B．9π

C．11π D．13π

图5

解析：由圆M的面积知圆M的半径为2，|OM|＝42－22＝2 3.|ON|＝|OM|·sin30°＝ 3.从而圆N的半径r＝42－3＝13，所以圆N的面积S＝πr2＝13π.故选D.

答案：D

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题(每小题5分，共20分)

图6

13．在四面体O—ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________.(用a，b，c表示)

解析：OE→＝1

2

(OA→＋OD→)＝

1

2

OA→＋

1

2

(

1

2

OB→＋

1

2

OC→)

＝1

2

OA→＋

1

4

OB→＋

1

4

OC→＝

1

2

a＋

1

4

b＋

1

4

c.

答案：1

2

a＋

1

4

b＋

1

4

c

14．若命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－b

a }，

命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a

解析：p为假命题，因为a符号不定，q为假命题，因为a、b 大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，绨p真．

答案：绨p

15．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y－12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．

图7

解析：如图7，根据定义，d 1即为P 到焦点(1,0)的距离，∴d 1

＋d 2的最小值也就是焦点到直线的距离．

∴(d 1＋d 2)min ＝|1＋2×0－12|5＝115

5.

答案：115

5

16．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 2

35＋y 2＝1有相同

的焦点；②“－1

2

若a 与b 共线，则a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；⑤x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0.其中正确的命题有________．(把你认为正确的命题的序号填在横线上)

解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 2

2＝35－1＝34，故

①正确；

②中，∵2x 2

－5x －3<0，∴－12

2

围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；

③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；

④中，a ，b ，c 可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起

点引出的三个向量，故④错；

⑤中，Δ＝9－12<0，故对x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立． 答案：①⑤

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)

17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，绨p 为真，求m 的取值范围．

解：对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝

|1－m |

2

<1.∴－2＋1

∴?

??

??

m >0，f 0<0或?

??

??

m <0，

f 0>0.解得0

又∵绨p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是2＋1≤m <4. 18．(12分)已知椭圆D ：

x 250＋y 2

25

＝1与圆M ：x 2＋(y －m )2＝9(m

∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆

M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．

解：椭圆D ：

x 2

50

＋

y 2

25

＝1的两焦点为F 1(－5,0)、F 2(5,0)，故双

曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.

设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程

为y ＝±b

a

x ，

即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.当m ＝5时，圆心为(0,5)，半径为r ＝3.

∴

|5a |a 2＋b

2＝3a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 2

16

＝1.

19．(12分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体， (1)化简12AA ′→＋BC →＋23

AB →，并在图中标出其结果； (2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34

分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．

图8

解：(1)如图8，取AA ′的中点E ，D ′F ＝2FC ′，EF →＝12AA ′→＋BC →＋23

AB →. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→ ＝12(DA →＋AB →)＋34

(BC →＋CC ′→)

＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34

.

20．(12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)，是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 2

2

对一切实数x 均成立

解：假设存在常数a 、b 、c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 2

2对一切实

数x 均成立，

∵f (x )的图象过点(－1,0)， ∴a －b ＋c ＝0.①

∵x ≤f (x )≤1＋x 2

2对一切x ∈R 均成立，

∴当x ＝1时，也成立，即1≤f (1)≤1， ∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝1，②

由①②得b ＝1

2，故原不等式可化为

?????

ax 2

－12x ＋12－a ≥0，1－2ax 2

－x ＋2a ≥0

恒成立．

当a ＝0或1－2a ＝0时，上述不等式组不会恒成立，

∴?????

Δ1≤0，

Δ2

≤0，a >0，1－2a >0，

即????

?

14－4a 1

2

－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.

∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14

.

∴存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝1

4，使不等式

x ≤f (x )≤1＋x 2

2

对一切实数x 均成立．

图9

21．(12分)(2011·辽宁高考)如图9，四边形ABCD 为正方形，

QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12

PD .

(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．

图10

解：如图10，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线

DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .

(1)证明：依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)．

所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ 平面PQDC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ .

(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则

??? n ·CB →＝0，

n ·BP →＝0，

即?

??

??

x ＝0，

－x ＋2y －z ＝0.

因此可取n ＝(0，－1，－2)． 设m 是平面PBQ 的法向量，则

???

m ·BP →＝0，

m ·PQ →＝0.

可取m ＝(1,1,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝－155

.

故二面角Q －BP －C 的余弦值为－15

5

.

22．(12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，由已知

得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，

∴a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，联立????

?

y ＝kx ＋m ，x 2

4＋y

2

3

＝1，

得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2

－3)>0，

即3＋4k 2

－m 2

>0，则????

?

x 1＋x 2＝－

8mk

3＋4k

2，x 1

·x 2

＝4m 2

－3

3＋4k 2

.

又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )

＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k

2

3＋4k 2

，

∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)， ∴k AD ·k BD ＝－1，即

y 1

x 1－2·

y 2

x 2－2

＝－1.

∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. ∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.

解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k

7

，且均满足3＋4k 2－m 2>0.

当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，

与已知矛盾．

当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k (x －2

7)，

直线过定点(2

7

，0)．

∴直线l 过定点，定点坐标为(2

7

，0)．