材料力学-沈阳化工大学

6.1

试求图示格梁中截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或截面D.设F、q、a均为已知。

（b）解：○1、求反力。

A M=0,400F D-600F=0

F D=300N

Y=0,-F A+FD-F=0

F A=100N

○2.求内力。

1-1 截面

F S1=-F A=100N,M1=-FA*0.2=-20N m

2-2截面：

F S2=-F A=100N,M2=-F A*0.4=-40N m

3-3截面：

F S3=F,M3=-F*0.2=-40N m

（d）解：○1、求反力

C=0, F D*a+qa*a/2-M E-F*2a=0

F D=5/2qa

ＦＹ=0,F C+F D-qa-F=0

F C=-qa/2

○2求内力

1-1截面：

F S1=-qa，M1=-qa*a/2=-qa2/2

2-2截面：

F S2=F C-qa=-3/2*qa

M2=F C a-qa*3/2*a=-qa2

6.3设已知图示各梁的载荷F、a、M E和尺寸a

（1）列出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）确定丨F S丨max及丨M 丨max

（a）解：○1.内力方程

求解内力时，应对杆件分段进行。该梁应分成AC、CB段。

AC段，1-1截面：

F S1=q（2a-x1），

M1=-M e-q（2a-x1）2a-x1/2

=qa2-q/2（2a-x1）

CB段，2-2截面：

F S2=0,M2=-M e=-qa2

○2画内力图

○3内力最大值

丨F S丨max=2qa

丨M丨max=3qa2

（b）解：○1求反力。

经受力分析，由静力学平衡方程可求的A、B两点反力。

F A=0，F B=F

○2内力方程

该梁应分成AC、CB两段

AC段，1-1截面：

F S1=0, M1=0

CB段，2-2截面：

F S2=-F，M2=Fa-F（x2-a）

○3画内力图

○4内力最大值

丨F S丨max=F，丨M丨max=Fa

（d）解：○1求反力

经受力分析，由静力学平衡方程可求得C、E两点反力

F C=F E=40kN

○2内力方程

该梁应分为AC、CD、DE、EB四段

AC段，1-1截面：

F S1=-30x1，M1=-30x1*x1*x1/2=-15x12

F S2=-30*1+F C=10Kn

M2=F C（x2-1）-30（x2-0.5）=10x2-25

DE段，3-3截面：

F S3=-10kN, M3=-10x3+15

EB段，4-4截面：

F S4=30（4-x4），M4=-15（4-x4）2

○3画内力图

○4内力最大值

丨F S丨max=30kN，丨M丨max=15kN m

6.4 作图示系统的剪力图和弯矩图

解：○1求反力

分析BC段：F B=F C=25Kn

分析ABD段：F A=75kN

M A=-200KN m

○2内力方程

分别分析ABD段梁和BC段梁，AD段、DB段、BE段、EC段各取一个截面，写出每一截面的内力方程（方程略）

○3画内力图

6.5作图示刚架的弯矩图。

（a）解：○1求反力

=0, F C*2a-q*3a*3/2*a=0

A

F C=4/9*qa

x=0，q*3a-F Ax=0

F Ax=3qa

=0,F C-F AY=0

Y

F Ay=9/4*qa

○2内力方程只写出弯矩方程。

AB段。1-1截面：

M1=q x1x1/2-F Ax x1

=1/2qa2-3qax1

BC段，2-2截面：M2=F C*x2=9/4qax2

○3画弯矩图

注意弯矩图画在受力一侧

（b）解：○1内力方程

本结构应分为3段进行内力分析：

AB、BC、BD段。分别写出各段内力方程（方程略）

○2画弯矩图

6.7 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图和载荷图。已知梁上没有集中力偶。

解：首先把结构分成3个区域（3段）：

AB、BC、CD。由载荷集度、剪力和弯矩间的关系可知：AB段没有载荷集度，弯矩呈斜线；CB段也没有载荷集度，同时剪力为零所以弯矩呈水平线;CD段有载荷集度，弯矩呈抛物线。因A、B、D点的剪力图有突变，所以在A、B、D三点处有集中力。做出的弯矩图和载荷图见图。

6.8 已知梁的弯矩图如图所示，试做剪力图和载荷图。

解：按弯矩图走势，可把结构分成三个区域：由载荷集度、剪力和弯矩间的关系可知：整个结构上没有载荷集度；因ABC三点弯矩图有转折，所以集中力；因CD两点弯矩图有突变，所以有集中力偶。做出弯矩图

6.9 6.10改图

7.2矩形截面悬梁臂如图，已知l=4m,b/h=2/3,q=10kN/m,〔〕=10MPa.

试确定梁的横截面尺寸。

解：○1内力

剪力梁的内力方程（弯矩方程），画弯矩图。由弯矩图可知固定端截面为危险截面。M max=ql2/2

○2强度计算

=M max/W z=ql2/bh2/6〔〕

h9ql2/2〔〕=9*10*103*42/10*106=0.416m=416mm

B=2h/3，取b=278mm

7.3 20a工字钢梁的支撑和受力情况如图所示。若〔〕=160MPa，试求许用载荷F。

解：○1求反力

经过受力分析，由静力学平衡方程可求得A、B两点的反力

F A=F B=F/3

○2内力

建立梁的内力方程（弯矩方程），画出弯矩图。由弯矩图可知B、C截面的弯矩绝对值相等，为最大：M max=2F/3

○3强度计算

由附录钢表差得：N0.20a工字钢的 W z=273cm3

max=M max/W z〔〕

F3W z〔〕/2=56880N=56.88Kn

7.6 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力〔〕=40MPa，许用压应力〔〕=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T行横截面倒置，即翼缘在下成为形，是否合理？何故？

解：○1求反力

经过受力分析，由静力学平衡方程可求的B、D两点的反力

F B=30Kn，FD=10KN

○2内力

建立梁的内力方程（弯矩方程），画弯矩图。因梁的横截面只有一个对称面，以及铸铁的材料，所以应对正负弯矩极值所在的截面惊醒分析。

丨M B丨=20kN m MC=10kN m

○3强度计算

首先计算截面的y C:

y C=A i y i/A i=200*30*215+200*30*100/200*30*2=157.5mm

计算Izc：

I zc=200*303/12+（200*30*200+15-157.5）2+30*2003/12+30*200*（157.5-100）2=6.0125*107mm4

求B截面的最大应力

Bt=丨M B丨（230-157.5）103/Izc=20*103*（230-157.5）*10-3/6.0125*10-5=24.1MPa〔〕Bc=M B157.5*10-3/Izc=10*103*157.5*10-3/6.0125*10-5=26.1MPa〔〕

由计算结果可知，梁的强度是满足的，安全。若载荷不变，但将T行横截面倒置，即翼缘在下成为形，则计算出的拉应力和压应力与上面的计算结果正相反，将导致最大拉应力大于许用拉应力〔〕，

梁的强度不能确定，梁不安全，所以不合理。

7.8 试计算在均布载荷作用下，圆截面简支梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。

解：○1求反力

F A=F B=q*12=5Kn

○2内力

建立梁的内力方程（剪力方程、弯矩方程），画剪力图和弯矩图

F Smax=5kN，M max=5/4kN m

○3求应力

max=M max/W z=5/4*103//32*503*(10-3)2=1.02*108Pa=102MPa

max=4/3 *(F Smax/A)=4/3*(5*103)//4*502*(10-3)2) 3.4*106Pa=3.4MPa

7.11 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度l=1m。若胶合面上的许用切应力为0.34MPa，木料的许用弯曲正应力为=10MPa，许用切应力为〔〕=1MPa,试求许用载荷F.

解：○1内力

求出最大剪力和最大弯矩：

F Smax=F,丨M max丨=Fl

○2强度计算

正应力：max=丨M max丨/W z=Fl/bh2/6〔〕，F 3.75Kn

切应力：max=3/2*F Qmax/A〔〕,F10Kn

胶合面上的切应力：=F Smax/I z b〔胶〕，F 3.825kN

综合上面计算结果，取：许用载荷〔〕=3.Kn

7.12 如图梁由两根36a工字钢毛姐而成。铆钉的间距为s=150mm，直径d=20mm，许用切应力〔〕=90MPa。粱横截面上的剪力F S=40kn。试校核铆钉的剪切强度

解：○1确定截面参数：

由附录型钢表查得：N0.36a工字钢的

h=360，A=76.480cm2，b=136，Iz=15800cm4

确定组合截面的参数：

Iz=2Iz+A*（h/2）2=2*15800+2*76.48*1802=81159cm2

S*Zmax=A*2h/2=1376.6cm2

○2强度计算

max=Fs*S*Zmax/I z*b=40*103*1376.6*103/84459*104*136=0.499MPa

铆钉上的切应力：

=F Smax/2A=0.499*150*136/2*/4*202=16.2MPa〔〕

铆钉的强度是安全的。

9.3构建受力如图所示。（1）确定危险点的位置（2）用单元体表示危险点的应力状态（3）写出各个面上已知的应力分量表达式

解：（a）危险点为构件上的个点

应力状态为

=F/A=F/d2/4

(b)危险点为右段外缘各个点

应力状态为

max=2M e/W t=32M e/d3

(c)危险点为左端截面上、下两点

应力状态为

max=M/W z=32Fl/d3

=M e/W t=16M e/d3

（d）危险点为外边缘各点

应力状态为

=F/A=F/d2/4，=M e/Wt=16M e/d3

9.5d 在图示单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa 解：（1）解析法按应力的符号规则，x=-50MPa，y=100MPa，xy=0.

由几何关系可知=-30

=（x y）/2+（x y）/2-xy

=-50+100/2+-50-100/2（）=-12.5MPa

=（x y）/2+xy

=-50-100/2（）=64.95MPa

9.6f 已知应力状态下如图所示，图中应力单位为MPa。试用解析法和图解法求：（1）主应力大小，住平面位置（2）在单元体上绘出平面位置及主应力方向（3）最大切应力

解：（分析法）按应力的符号规则，x=-20MPa，y=30MPa，xy=20

由几何关系可知，=-30

｝=x y/2（）+202=

（2）=-2xy/x-y=-2*20/-20-30=0.8

0=19.33或0=109.33

（3）｝=（=)2

=32MPa

（图解法略）

9.7b 在图示应力状态中，试用解析法和图解法求出指定斜截面上的应力。应力的单位为MPa。

解：（解析法）按应力的符号规则，x=（x y）/2+x y/2-xy

=52.32MPa

=（x y）/2+xy=-18.66MPa

图解法略

9.10 试求单元体的三个主应力及最大切应力。画出单元体的三向应力圆，应力单位为MPa。解：（a）由图看出，=0为其中一个主应力，可将其视为右图所示的平面应力状态，则

｝=（=40-30/2（）

=

所以1=51.1MPa，2=0，3=-41.4MPa

max=1-3/2=46.1MPa

(c)由图看出，=50为其中一个主应力，可将其视作所示的平面的应力状态，则

｝=（=30/2（）

=

所以1=57.7MPa，2=50，3=-27.7MPa

max=1-3/2=42.7MPa

9.12对题9.10中各应力状态，写出四个常用强度理论的相当应力。设=0.30.如材料为中碳钢，指出该用哪一强度理论。

解：10（a）1=51.1MPa，2=0，3=-41.1MPa。

所以

r1=1=51.1MPa

r2=1-（13）=51.1-0.3（-41.4）=63.4MPa

r3=1-3=51.1+41.1=92.2MPa

r4=[(1-2)2+(1-3)2+(3-1)2]=80.0MPa

应该用第三、第四强度理论

10（c）1=57.7MPa，2=50，3=-27.7MPa。

所以

r1= 1=57.7MPa

r2= 1- （ 1 3）=57.7-0.3 （50-27.7）=64.4MPa r3= 1- 3=57.7+27.7=85.4MPa

r4=

[( 1- 2)2+( 1- 3)2+( 3- 1)2

]=81.8MPa

应该用第三、第四强度理论

9.15 炮筒横截面如图所示。在危险点处， t =550MPa ， r =-350MPa ，

第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa 。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。

解： r3= 1- 3=550+350=900MPa r4=

[( 1- 2)2

+( 1- 3)2

+( 3-

1)2

]=842.6MPa 第十章 组合变形

10.4 矩形截面折杆ABC ，受力F 的作用如图，已知α=arctg

3

4

，α=l/4.如果l=12h ，试求杆内横截面上的最大正应力，并做危险截面的正应力分布图。 解：∵α=arctg

34，tg α=34

可将截面分解为： F x =F ·cos α=53F ，F y =F ·sin α=5

4F

危险截面为A 截面其上轴力F N =-F y =-5

4F

弯矩M A =F x ·l-F y ·α=53Fl -5

4F ·4l =52Fl

∴A 截面上的最大拉、压应力分别为 σmax=

A F N +Z A W M =

bh F

bh Fl bh F 286

/5/25/42=+- σmin=

bh F

bh F bh FL bh F W M A F Z A N 6.2951486

/5/25/42-=-=--=- 应力分布图如右图

10.6 一拉杆如图所示，截面原为边长为a 的正方形，拉力F 与轴杆重合，后因使用上的需要，开一个a/2的切口，试求杆内的最大拉、压应力，最大拉应力是截面削弱前拉应力的几倍？

解：截面削弱前拉应力为σ=

2α

F

A F N =,开切口后m-m 截面上的轴力为F N =F ，弯矩M=F ·4α。

刀杆内的最大拉、压应力均在m-m 截面上，且

σmax=

2

2286/)2/(4/2/α

ααααF

F F W M A F Z A N =+=+

σmin=

2

2246/)2/(4/2/α

ααααF

F F W M A F Z A N -=-=- 不难看出最大拉应力是截面削弱前拉应力的8倍。

10.10 电动机的功率为9Kw,转速715r/min ，带轮直径D=250mm ，主轴外伸部分长度

l=120mm ，主轴直径d=40mm ，若[σ]=60Mpa,试用第三强度理论校核轴的强度。 解：轴上作用的外力偶矩为m=9.55m kN ??=?

-3102.120715

9

由受力分析知，m=(2F-F)·D/2 ∴F=2m/D=2*120/0.25=962N

∴主轴外伸部分上作用的最大弯矩M=3Fl=3*96*0.12=346N ·m 根据第三强度理论

σr3][3.582.12034604

.03212

23

22

max σπ<=+?=

+=

MPa Pa T M W

∴该轴强度足够。

10.11 已知圆片铣刀切削力F Z =2.2kN ，径向力F r =0.7kN ，试按第三强度理论计算刀杆直径d ，

已知铣刀杆的许用应力[σ]=80Mpa 。

解：1.轴的计算简图如图b 所示，由平衡分析可求得： 在竖直平面内，右端轴承上的竖向支反力Y c =400N ， 在水平面内，右端轴承上的水平支反力Z c =1257N 。 2.扭矩图与弯矩图 ①AB 轴段上作用的扭矩为

T=F z D/2=2.2*0.09/2*103=99N ·m （见图c ）

②根据铅锤力做出铅锤平面内的弯矩图MZ(图d) ③根据水平力做出水平面内的弯矩图My （图e ） 由于铅锤平面最大弯矩为48N ·m ，水平面最大弯矩 为150.8N ·m ，均发生在圆片铣刀所在的B 截面， 故为危险截面，其上合成弯矩的最大值为 M max =m N M M z

y ?=+=+3.158488.150222

2

对于圆轴，其最大正应力发生在最大合成弯矩所在的截面上 3.强度计算

按第三强度理论进行强度校核

σ

][32122

max 3

22

max 3σπ≤+=

+=

T M d T M W

r

∴d ≥mm T M 8.28993.15880

1032][323223

32

2max =+??=+πσπ

10.15 折轴杆的横截面积为边长12mm 的正方形。用单元体表示A 点的应力状态，确定其主

应力

解：1.如图建立坐标系，∵32212

2

2

=++ ∴F x =2kN, F y =1Kn, F z =-2kN

2.对A 截面

F N =-2kN ， F Sy =Fy ， F Sx =F x M y =0.1F x +0.2F z =0.6kN ·m M x =0.1F=0.1kN ·m T=0.2F y =0.2kN ·m 3.应力计算

正应力：σMPa W M A F x x N A 4.3331210*26/1210*1.02

3

36=-=+=

扭转切应力：MPa a T A

4.55612*0208.010*2.03

6

3'===

ατ 弯曲切应力：MPa a F A F Sx Sx A

8.2012

10*2*5.15.1232

3

2'

'====τ 总切应力：MPa A A A 2.5778.204.556'

''=+=+=τττ

A 点的应力状态如图所示，其中最大，最小切应力为：

∴A 点的主应力为

,5.7371M P a =σ ,02=σ M P a

1.4343-σ 第十一章 能量法

11.01 车床主轴如图，在转化为当量轴以后，其抗弯度刚度EI 可以作为常量，试求在载荷F

作用下，截面C 的挠度和前轴承B 截面处的转角。

解：1.求出A.B 两点的支反力分别为F/4(↓)和5F/4（↑）

2.分别写出AB.BC 的弯矩方程 M(x 1)=-Fx 1/4， M(x 2)=-Fx 2

3.为求出C 点的挠度，在C 的单位力1，

写出该单位力作用下的弯矩方程 ()

114

1

x x M -= ()

22x x M -= 利用莫尔定理，可求出C 点的挠度：

()↓=

+

=

--+--==????

EI

Fa

x EI

F x EI

F

EI dx x Fx EI dx x x F EI dx x M x M a a

a a l

C 35348))(()4/1()4/()()(3

3

2

40

3

1022240111

4.为求B 截面转角，在B 截面加一单位力偶，

此时的单位力弯矩方程为：M(x 1)=x 1/4a 0)(2=x M

∴EI

Fa x EIa F EI dx x a x F EI dx x M x M a

a l

B 3448414)()(3

40

31

40111-=

-=??

?

??-??? ??-==??θ( ) 与所设力偶方向相反。

11.02 图示折杆的横截面为圆形，在力偶Mc 作用下，试求折杆自由端的线位移和角位移。

解：在Mc 作用下，水平杆只发生扭转变形，树脂杆只发生向前的弯曲变形。

T(x 1)=M e M(x 2)=M e

① 为求折杆端的线位移，在自由段加一水平 向前的单位力，得：

()()()()1

0222111====x T x x M x T x x M

∴

()()()()()()（水平向前）4

2

2

2202

22222322d

E h

M EI h M EI dx x M EI dx x M x M EI dx x T x T EI dx x M x M e e h

e h l

l

π====+=??

???

② 为求折杆端的角位移，在此加一单位力偶（如图） ()11=x T ()12=x M ∴θ=

()()()()??+l l

P

GI dx

x T x T EI dx x M x M =

P e e l P

e h

e GI l

M EI h M GI dx M EI dx M +=+??

010

2 =

)(3264e 4

4同向与M d G l M d E h M e e ππ+

11.03 钢架各赶的材料相同，但是横截面积不同，所以抗弯刚度EI 不同，试求在F 力作用下，

截面A 的位移和转角。

解：1.受力分析知：A 、D 两点反力均为向上的，F/2

∴两竖杆上无弯矩作用 水平杆上：M(x 2)=(F/2)x 2 M(x 1)=(F/2)x 1

2.为求A 点位移，在A 点加一水平单位力1，（如图）

水平杆上：()h x M -=2 h x M -=)(1

∴ ()()()??-==?2

02

22

)(2/2l l

A EI dx h x F EI dx

x M x M ()←-=

-=

2

2

20

2

22

82EI Fhl x EI Fh l 3.为求A 点转角，在A 点加一单位力偶（如图），此时， A 、D 两点反力分别为1/l （↓）和1/l （↑） 水平杆上：1111)(x l

x M -= ()l

x x M 2

2=

∴θ

()()?=l

A EI

dx

x M x M

2

223

23

22

202222202111162222422)11)(2(EI Fl lEI l lEI l F EI l F EI dx l x x F EI dx x l x F l l =

??? ??+??? ??+??? ??=??? ????? ??+-=??( ) 11.03 试求图示各梁截面B 的挠度和转角。EI 为常数。 解：1.画出结构在外载作用下的弯矩图

2.欲求B 载的转角，在B 处加一单调力偶，并画出结构在单该位力偶作用下的弯矩图

3.用图乘法求θB

θB=()EI

qa EI qa a EI M W e 61232

2=

-???? ???-=（ ） 4.欲求B 处挠度，在B 处加一单位力，画出结构在单位力作用下的弯矩图，用图

乘法求ΔB

ΔB=()

()a l EI

qa EI a l qa a EI M W e -=

+-???? ???-=4244233

2 10.04钢架受力如图，各杆的EI 相等，求D 点的水平位移和截面C 的转角。

解：1.求外载作用下A 、D 两点的支反力，并画弯矩图M

2.D 点加水平单位力1.求A 、D 两点的支反力，并画弯矩图11,M M M 、图乘可求D 点

的水平位移

Δ=EI

m a EI a

m a EI a am EI M W c 617243

2322212=+??? ????? ??=（→） 3.C 截面加单位力偶1，求A 、D 两点的支反力，并画弯矩图22,M M M 、图乘可求C 截面的转角。

EI

M W c

c =

θ

()EI

m a

EI

am 3232221-=??? ??-??? ?

?=

11.05钢架手里如图，EI 相等，求C 点的铅锤位移和水平位移

解：1.画出外载F 、q 作用下的弯矩图M

2.C 点加铅锤单位力1，并画弯矩图11,M M M 、图乘可求C 点水平位移。

Δcv=()↓=

+=???? ??++??? ??-???? ??-=EI

ql EI ql EI ql EI l l ql ql EI l ql l EI M W c 874382243231444222

3.C 点加水平单位力1，并画弯矩图22,M M M 、图乘可求C 点水平位移。

ΔCH =()→=???? ??+=EI

ql EI l ql ql EI M W c 12522132242

22 10.06钢架AC 和CD 两部分的I=3*103cm 4，E=200GPa ，试求截面D 的水平位移和转角。F=10kN ，

l=1m 。

解：1.画出外载F 、2F 作用下的弯矩图M

2.D 点加水平单位力1，并画弯矩图11,M M M 、图乘可求D 点水平位移

ΔDH=()EI Fl EI Fl EI l Fl l EI l l Fl Fl l Fl EI M W c 3810232

22212442*233+=??? ??+??????++=

=

()mm EI Fl 1.2110*10*3*10*200*31000*10*10*383384

333

33==←

3.D 点加单位力偶1，画弯矩图22,M M M 、图乘可求D 截面转角。

()()rad EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl l EI l Fl Fl l Fl EI M W c D 0117.010

*10*3*10*2001000*10*10*77252221442*24

3333222===

+=???

??+??????++==θ

第十三章 压杆稳定

13.2如图所示压杆，其直径为d ，材料为Q235钢，试问： 1.哪一根杆件的临界压力大；

2.如d=160mm ，E=205GPa ，σP =200MPa ，两个杆件的临界力。

解：1.

又图13-6克制，柔度越小，临界应力就越大（而F σr =σσ

r A ）

，所以（b ）图中杆件的临界压力就大。

2.

两杆件均为大柔度杆件，其临界压力均用欧拉公式计算，分别为

13.3 Q235钢之城的矩形截面杆的受力和两端约束如图所示。在A、B处用螺栓夹紧。已知

l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的E=205GPa，σP=200MPa，试求该杆的临界压力。

解：首先，假设在xoy平面内失稳，此时杆件为两端铰支。

其临界应力可用欧拉公式计算，故

其次，假设在xoz平面内失稳，此时杆件为两端固定。

为中柔度压杆，其临界压力用直线公式计算，得

最终，比较可知，在xoy平面内失稳，因此临界压力为F cr=275.4kN

13.5设如图所示千斤顶的最大承载压力为150kN，螺杆内经d=52mm，l=50cm，材料为Q235钢，E=200GPa，σP=200MPa，安全洗漱为n st=3，试比较其稳定性。

解：压杆可简化为右图所示

所以为中柔度杆，用公式计算临界压力

安全

13.8蒸汽机车的连杆如图，截面为工字形，材料为Q235钢，连杆所受的最大轴向压力 为465kN ，连杆在摆动平面内发生弯曲时，两端可认为铰支，在与摆动平面垂直的平面内发生弯曲时，则可认为是两端固定，试确定其工作安全系数。 解：首先，靠炒在摆动平面内失稳弯曲时

()42

3317755479485140285*285140*96285140*1296*21285*14mm

I z =???

?

??????? ??-+-+??? ??-+= 61

2.594.523100

*14.522=-=<=====

b a i l mm A I i s z

z σλμλ

故为小柔度杆，不会失稳

其次，考察在与摆动平面相垂直的平面内失稳弯曲时。

()2

214

3375.611

.253100*5.01001.256470

4074476

407447612

14*851296*85140λμλσπλ>===>====

=

=+

-=i l E m m

A

I i m m I P y

y y

为中柔度压杆，其临界压力用直线公式计算，得

()()kN A b a A F cr cr 4.15196470*75.61*12.1304=-=-==λσ 最后，工作安全系数为 n=

27.3465

4

.1519max ==F F cr 13.9 如图所示结构中，梁AB 为14号普通热轧工字钢，支撑柱的直径d20mm 。二者的材料

均为Q235钢，E=206GPa ， p =200MPa, =165MPa.A 、C 、D 三处均为球形铰链约束。已知F=25Kn ，l 1=1.25m ，l 2=0.55m ，规定的稳定安全系数nst=3.0.试校核此结构是否安全。

解：此结构中AB 承受弯曲与拉伸的组合作用，属于强度问题;支撑柱CD 承受压力，属于稳定问题。

1、 梁AB 的强度校核

梁AB 在C 处弯矩最大，故为危险截面，其上之弯矩和轴向力分别为

于是可得，最大正应力为 max =

+ =15.63/102*10-6+21.65/21.5*10-4=163MPa

此值略大于[]σ，但不超过5%，所以梁是安全的 2、 压杆CD 的稳定校核

由平衡条件求得CD 柱的轴力为 N CD =2Psin300=2.5kN

??

??

?==>===?===

-110011010*555

.0*15413μλμλi l mm d A I i 压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算其临界力，得

kN d E A F cr cr 8.52110

*410*20*10*206*42

6

233222==?==-ππλπσ 压杆的工作安全系数为

st CD cr n N F n >===

11.225

8

.52 所以CD 柱也稳定，整个结构安全。

概念

1. 屈服极限：塑性材料破坏时的应力叫做屈服极限。

2. 强度极限：脆性材料破坏时的应力叫做强度极限，也可称为破坏强度或破

坏应力。一般用标称应力来表示。根据应力种类的不同，可分为拉伸强度(σt)、压缩强度(σc)、剪切强度(σs)等。

3. 许用应力：在强度计算中，对极限应力除以大于1的因数所得到的应力。脆性：

【σ】=nb/n(n=2~2.5)；塑性：【σ】=σs/n （n=1.2~2.5）。

4. 惯性半径：也叫回转半径；物体的转动惯量除以物体质量的商的正二次方根。

（任一截面对某轴的惯性矩除以该截面面积所得商的平方根值。） iy=√Iy/A;iz=√Iz/A

5. 主应力：主平面上的正应力叫做主应力。

6. 主平面：在单元体中，三个相互垂直的面均无切应力，这种切应力等于零的平面叫主平

面。

7. 超静定次数：约束力的数目减去平衡方程的数目，也就是多余约束反力的个数。

问答

1. 在拉、压、剪、弯、扭各基本变形下的内里名称？ 拉、压的内力为轴力；剪的内力为

剪力；弯的内力为剪力、弯矩；扭的内力为扭矩。

2. 矩形、圆形界面的惯性矩和抗弯截面模量的表达式？ 矩形：Zz=bh3/12；Wz=bh3/6。

圆形：Zz=πD4/64;Wz=πD3/32

3. 四种常用强度理论的相当应力表达式？ （1）σr1=σ1；（2）σr2=σ1-μ(σ2+σ3);

（3）σr3=σ1-σ3；（4）σr4=√1/2[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]。

4.计算杆件在组合变形下的应力和变形时可应用（叠加）原理。

5.连接件发生剪切变形时，主要校核其（剪切强度）和（挤压强度）。

6.单向拉压和纯剪切时胡克定律的表达式？单向拉压：σ=Eε；纯剪切：σ=Gγ。

7.杆、轴、梁的区别？杆主要发生拉伸、压缩、扭转、弯曲、剪切变形；轴主要发生

扭转变形；梁主要发生弯曲变形。

8.低碳钢材料试件从受力到拉断经历了（弹性阶段）、（屈服阶段）、（强化阶段）、（局部颈

缩阶段）。

9.纯梁弯曲正应力公式中的Iz是指梁的横截面对哪一轴的惯性矩？横截面对中性轴

z轴的惯性矩。

10.能够确切反映圆轴扭转变形程度的物理量是（单位长度扭转角θ）。