信号带宽

4 信号带宽

带宽用来表示频谱中有效的最高正弦波频率分量，为了充分近似时域波形的特征，这是需要包含的最高正弦波频率，所有高于带宽的频率分量都可忽略不计。值得注意的是，带宽的选择对时域波形的最短上升时间有直接的影响。

4.1 带宽与上升时间

如图3.5所示，如果只用零次，一次和三次谐波合成时域波形，那么所得波形的带宽只达到三次谐波的值，即3GHz。设计时，这个波形的最高正弦波频率分量是3GHz，其他正弦波频率分量的幅度为零。

如果像图3.6那样增加更高次谐波来生成波形，那么设计的带宽为7GHz，19GHz和31GHz。如果取出图3.6中上升时间最短的波形，并把它变换到频域中，则其频谱与图3.4所示的非常相似，其中含有的谐波分量从零次谐波一直到31次谐波，超过31次谐波的所有分量为零。这个波形中有效的最高正弦波频率分量就是31次谐波，即此波形的带宽为31GHz。

以理想方波的频谱为基准，每种情况下生成的波形的带宽越来越高。并且，波形的带宽越大，10-90上升时间就越短。上升时间越短，与理想方波的波形就越接近。同理若降低信号的带宽（如删除高频分量），则其上升时间会变长。

例如，信号沿FR4的有损传输线传播时，其时域响应就很难估算。正如我们知道的，有两种损耗机理：导体损耗和介质损耗。如果每种损耗过程对低频分量和高频分量的衰减是一样的，则远端的信号仅仅是减小，而输出的频谱模式同输入的频谱模式是相同的，且对波形的上升时间没有影响。

然而，这两种损耗对高频分量的衰减要大于对低频分量的衰减。当信号沿导线传播4in长时，约从8GHz开始，以上高频分量的功率衰减量要大于50%，而对低频分量的影响却小得多。图4.1所示是同通过FR4板上4in长的传输线时，测量的正弦波频率分量的衰减。其中，使用网络分析仪对其进行测量，且传输线的特性阻抗为50Ω。

图4.1 信号通过FR4板的传输线时测量的衰减

从图中可以看出，位于2GHz以下的频率分量的衰减不超过-1dB，而10GHz 上的频率分量的衰减为-4dB。

这种选择性衰减使得在互连线中传播的信号的带宽降低。下图4.2所示为一个上升时间为50ps的信号进入FR4板上36in长的传输线时以及离开传输线时的波形。

图4.2 信号通过FR4板测得的输入信号和输出信号

由于高频分量的衰减比较多，其上升时间从50ps增加到近1.5ns。36in长的线条是常见的，如经过两个6in长的插卡和24in的底板，走线就是36in。在超过

1GHz的高速串接中不能使用FR4叠层的主要限制就是上升边退化。一般来说，时域中上升时间越短的波形在频域中的带宽越高，如果改变频谱使波形的带宽降低，那么波形的上升时间就会随之增加。

对于重新生成的理想方波，其上升时间与带宽之间的关系可以加以量化，每个波形都是通过加上某次谐波的正弦波频率分量而人为合成的。定义为从10%到90%的上升时间，也可以从时域图中测量得到。

如果已知每个波形测量得到的10-90上升时间和带宽，可以画出一个简单的关系式，如下图4.3所示，这是个基本关系式，对所有信号均适用。

图4.3 信号带宽与10-90上升时间关系式

对于重新生成的方波中只包含一些较高次谐波这种特殊情况，带宽与上升时间的倒数有关。可以通过一些点画出一条直线去近似，以找出带宽与上升时间的关系：

其中：

BW表示带宽，单位为GHz

RT表示10%-90%上升时间，单位为ns

4.2 带宽与时钟频率

众所周知，带宽与信号的上升时间有关。对两个不同的波形，可以有相同的时钟频率，但上升时间和带宽却很可能不同。仅知道时钟频率并不能告诉我们带宽，图4.4展示了四种不同的波形，每个波形的时钟频率都1GHz。然而它们的上升时间却不同，因此带宽也不同。

图4.4 四个1GHz的不同波形

我们并非总能知道信号的上升时间，但却需要知道它的带宽。若使用一个简单的假设，则仅从信号的时钟频率就可以估算出它的带宽。

在实际的时钟波形中，上升时间与时钟周期原则上讲，两者之间的惟一约束是：上升时间一定小于周期的50%。除此之外没有任何限制，上升时间可以是周期的任意百分比。如果不知道上升时间与周期的比值，则一个合理的归纳为：上升时间是时钟周期的7%，但许多系统更接近于10%，所以我们对上升时间的假设要短于那些典型的情况。这样，上升时间被低估了，带宽则被高估了，而这比

带宽被低估要安全得多。

如果上升时间是周期的7%，那么周期就是1/0.07或15倍的上升时间，可以将带宽近似为0.35/（上升时间）。频率和周期互为倒数，所以可以把两者联系起来。用时钟频率代替时钟周期可以得出最终的关系式，即带宽是时钟频率的5倍：

其中：

BW clock表示时钟带宽的近似值，单位为GHz

F clock表示时钟频率，单位为GHZ

这是根据上升时间是时钟周期的7%这个假设得出的结论，也是个近似。如果给出这个假设，它就是一个很有用的经验法则，通过它可以很容易地估算出带宽。这就是说，时钟波形的最高正弦波频率分量通常就是第五次谐波。

4.3 实际信号的带宽

除了基于上升时间来近似波形的带宽外，其他计算基本都不能用手工完成。任意波形的傅里叶变化之能由数字仿真来完成。

几乎是理想方波的高质量信号有一个简单的行为特性，即如果传输线电路的终端匹配欠佳，则信号就会发生振铃，频谱在振铃频率处产生峰值。振铃频率的幅度会比没有振铃时信号的幅度高十倍以上，如图4.5所示。

图4.5实际信号的振铃

上图为接近方波的时域波形和由于终端匹配欠佳引起的振铃现象，而下图则是由DFT得出两个波形的频谱图，从图中可以看出振铃对频谱的影响，用宽条表示理想波形的频谱，用窄条表示振铃波形的频谱。

有振铃时的带宽明显高于没有振铃时的带宽。当波形中出现振铃时，其带宽约等于振铃频率。但是若仅用这个带宽来表征振铃信号，可能会引起误导。取而代之的是，应当考虑整个频谱。

EMI由电流中每个分量的辐射引起。最严重的辐射源是共模电流，其总辐射将随着频率而线性增加。这说明，如果电流有理想方波的特性，则尽管各次谐波的幅度都以1/f的速率下降，但辐射能力仍会以速率f上升，所以各次谐波对EMI 的影响都是相等的。为了减少EMI，设计时应在所有信号中采用尽可能低的带宽。高于这个带宽时，谐波幅度就比1/f下降得快，对辐射的影响就会小些。将带宽保持在最低值，辐射量就会保持在最小值。电路中的振铃可能会使高频分量的幅

度增加。

4.4 测量的带宽

在以上的讨论中，用带宽这个术语来表示信号或时钟波形。我们这里的带宽就是波形频谱中有效的最高正弦波频率分量。对信号而言，所谓的有效是基于信号的幅度与同频率理想方波的幅度相比较而言的。除此之外，也可以用带宽来度量其他的量，特别是涉及到测量的带宽、模型的带宽和互连线的带宽时。每种情况中它都指的是有效的最高正弦波频率分量。

测量的带宽是指有足够精度的最高正弦波频率分量。当在频域中进行测量时，使用阻抗分析器或网络分析仪就能很容易知道它的带宽，它就是测量中的最高正弦波频率。

如图4.6所示，从1MHz到1GHz测量去耦电容的阻抗，可以看出在10MHz 以下时，阻抗表现为电容，但在10MHz以上时，它就表现为电感。在网络分析仪的整个测量范围内，这些数据都很好、很精确。所以在这个例子中，测量的带宽为1GHz。测量的带宽不同于器件本事的有用带宽。

图4.6 1206陶瓷去耦电容的测量阻抗，其中测量带宽为1GHz 对于在时域工作的测量仪器，例如时域反射计（TDR），它的测量带宽取决

于它能输出到DUT信号的最快上升时间。但由于高频分量总是比较小，所以这种度量就比较粗略。

在常见的TDR中，TDR产生一个快速阶跃边沿，此边沿与DUT相互作用时发生的变化可以加以测量。进入DUT的典型上升时间可以是35ps到70ps，这与使用的探针和电缆有关。图4.7中，测量所得的TDR的上升时间约为52ps。边沿的带宽为0.35/52ps=0.007THz，即7GHz，这是TDR中最高的测量带宽。

图4.7 TDR曲线

4.5 模型的带宽

模型的带宽指的是：模型能被精确地用来预测它所表示的结构的实际性能时的最高正弦波频率分量。可以使用一些诀窍来确定模型的带宽，但一般来说，只有与实际测量值相比较时，才能确定得到的模型带宽是否准确。

例如，表示键合线的最简易的初始等价电路模型就是电感。那么当带宽达到多大时，它仍是个良好的模型？获得此答案的唯一方法就是把模型的预测结果与实际测量结果相比较。当然对于不同的键合线，答案也不相同。

例如假设有一根很长的键合线，如30mil长，它连接了位于返回路径上方的两个焊盘。返回路径平面在下方10mil处，如图4.8所示。

图4.8 两焊盘间键合线回路的示意图

一个简单的初始电路模型就是一个电感和电阻串联而成的直到2GHz之前，采用合适的电感和电阻参数预测出的阻抗与实际测量的阻抗都非常一致，所以这个简易模型的带宽就是2GHz，如图4.9所示。

图4.9阻抗与一阶模型仿真结果对比

当使用这个物理结构时，若其中的信号带宽为2GHz，就可以放心的用这个简易模型来预测此物理结构的性能。不可思议的是，对这么长的键合线，仅用恒量的电感和电阻构成的简易模型，直到2GHz时都能工作得这么好。2GHz很可能已超过了键合线的有用带宽，但此模型仍是很精确的。

如果需要带宽更高的模型，它能够在更高频率下预测实际键合线的阻抗，那就要考虑焊盘电容的影响。可以建立一个新模型，即二阶模型，并找到元件R、L和C的最优值，使得直到4GHz时，仿真的阻抗与实际阻抗都能一致，如图4.10所示。

图4.10阻抗与二阶模型仿真结果对比

4.6互连线的带宽

互连线的带宽指的是能被互连线传输且损耗不是很大时的最高正弦波频率分量。在一些应用中，若传输的信号小于入射信号的95%，就认为是太小了而不起作用。而在其他的情况中，传输的信号幅度小于入射信号的10%依然认为是可用的。在远距离电视电缆系统中，接收端甚至可以使用仅有源端功率1%的信号。很明显，传输信号为多大才算是有效的这个概念，与应用和详细的指标密切相关。实际上，互连线的带宽指的是互连线能够传输的满足实际应用的性能指标的最高正弦波频率分量。

互连线的带宽可以在时域中测量，也可以在频域中测量。一般来说，如果源阻抗与传输线的特性阻抗不等，则会发生复杂的多次反射。

在频域中测量互连线的带宽是非常直截了当的。网络分析仪产生不同频率的正弦波从互连线的前端注入，然后测出远端输出正弦波的大小。它基本上测量的是互连线的传递函数，而互连线就如同一个滤波器。这有时也称互连线的插入损耗。如果互连线的阻抗为50Ω，就与网络分析仪的阻抗相匹配，这时就很好解释了。

图4.11为正弦波通过FR4板上4in长、50Ω的传输线时所测的幅度值。

图4.11 不同频率的正弦信号通过FR4板的幅度值

这里的测量带宽为20GHz，互连线的3dB带宽约为8GHz。这意味着如果输入一个8GHz的正弦波，那么远端得到的信号幅度至多为原信号幅度的70%。进一步说，如果互连线的带宽为8GHz，那么1GHz正弦波几乎100%地传至互连线的远端。

对于互连线带宽可以近似用下述情况解释：如果理想方波传输通过该互连线，则低于8GHz的各个正弦波分量都能被传输，传输前后的幅度大致相同；但高于8GHz分量的幅度就会变得不再是有效成分。

一个上升时间为1ps的信号，在经过互连线输出后，其上升时间可能

0.35/8GHz=0.043ns，这说明互连线使上升时间退化了。如果互连线的带宽是

1GHz，那么它所能传输的最快边沿是350ps，这有时称为互连线的本征上升时间。如果一个边沿为350ps的信号进入互连线，那么它输出时的上升时间可以近似为：

RT2out=RT2in+RT2interconnect

其中：

RT out表示输出信号的10-90上升时间

RT in表示输入信号的10-90上升时间

RT interconnect表示互连线的本征10-90上升时间

这里假设入射频谱和互连线的响应频谱都对应于高斯形状的上升时间。

前面介绍的是在频域中的测量，下图4.12给出了对于同一个4in长，50欧

姆的互连线，在时域中进行的测量。从下图可以看出，与输入波形相比，输出波形从起点开始就有了时移。

图4.12 经过FR4板传输线时，测量的输入和输出信号

由上图可知，上升时间发生了退化，输入的上升时间是50ps，由互连线带宽预测的输出上升时间是67ps。

要使互连线对信号上升时间造成的增量不超过10%，互连线的本征上升时间就要小于信号上升时间的50%，从频域的角度看，为了比较好传输带宽的1GHz 的信号，互连线的带宽至少为该信号带宽的两倍，即2GHz。