[专题分类]2020高三物理一轮复习练习卷：圆周运动中常见模型

圆周运动中常见模型

题型一水平面内圆盘模型的临界问题

【例1】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()

A．当ω>2Kg

3L时，A、B相对于转盘会滑动

B．当ω>Kg

2L，绳子一定有弹力

C．ω在Kg

2L<ω<

2Kg

3L范围内增大时，B所受摩擦力变大

D．ω在0<ω<2Kg

3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大

【变式1】(多选)(2019·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()

A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3

B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9

C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动

【变式2】(多选)(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是()

A ．此时绳子张力为3μmg

B ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内

C ．此时圆盘的角速度为

2μg r

D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动

题型二 竖直面内圆周运动的临界极值问题

球—绳模型或单轨道模型

【例2】(多选)(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L 的细绳一端拴一质量为m 小球，另

一端固定在O 点，绳的最大承受能力为11mg ，在O 点正下方O ′点有一小钉，先把绳拉至

水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O ′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的

位置到O 点的距离为 ( )

A ．最小为25L

B ．最小为35L

C ．最大为45L

D ．最大为910

L 【变式1】(2019·福州质检)如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根轻绳的拉力大小为( )

A ．3mg

B ．43

3mg C ．3mg D ．23mg 【变式2】(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F T ，小球在最高点的速度大小为v ，其F T －v 2图象如图乙所示，则( )

A ．轻质绳长为mb a

B ．当地的重力加速度为a m

C ．当v 2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为ac b

＋a D ．若v 2＝b ，小球运动到最低点时绳的拉力为6a 【变式2】如图所示，半径为R 的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P 时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P 点的水平距离为( )

A.2R

B.3R

C.5R

D.6R

球—杆模型或双轨道模型

【例3】(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径 为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是 ( )

A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B ．小球过最高点的最小速度是gR

C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

【变式1】(2019·山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )

A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B ．小球过最高点的最小速度是gR

C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看做质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.则( )

A ．小球在斜面上的相碰点C 与

B 点的水平距离是0.9 m

B ．小球在斜面上的相碰点

C 与B 点的水平距离是1.9 m

C ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 N

D ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N 题型三 斜面上圆周运动的临界问题

【例4】(2019·江西吉安一中段考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω 转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32

(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则ω的最大值是 ( )

A. 5 rad/s

B. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s

【变式】．(2019·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L 的细线一端固定， 另一端连接质量为m 的小球，小球在斜面上做圆周运动，A 、B 分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A 、 B 点做圆周运动的最小速度分别为v A 、v B ，重力加速度为g ，则 ( )

A ．v A ＝0

B ．v A ＝gL

C ．v B ＝12

10gL D ．v B ＝3gL 题型四 圆周运动的动力学问题

【例5】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A ，细线的上端固定在金属块B 上，B 放在带小孔的水平桌面上，小球A 在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A 改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B 在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )

A ．金属块

B 受到桌面的静摩擦力变大 B ．金属块B 受到桌面的支持力减小

C ．细线的张力变大

D ．小球A 运动的角速度减小

【变式】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )

车辆转弯模型

1、受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。

2、动力学方程：根据牛顿第二定律得

r

v m mg 20tan =θ 其中r 是转弯处轨道的半径，0v 是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。

3、分析结论：解上述方程可知

θtan 0gr v = 可见，最佳情况是由0v 、r 、θ共同决定的。

当火车实际速度为v 时，可有三种可能，

当0v v =时，内外轨均不受侧向挤压的力；

当0v v >时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；

当0v v <时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。

还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等

【例6】如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )

A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s

C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s

【变式】(2019·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则()

A．该弯道的半径r＝v2

g tan θ

B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变

C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压

D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压

参考答案题型一水平面内圆盘模型的临界问题

【例1】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是()

A．当ω>2Kg

3L时，A、B相对于转盘会滑动

B．当ω>Kg

2L，绳子一定有弹力

C．ω在Kg

2L<ω<

2Kg

3L范围内增大时，B所受摩擦力变大

D．ω在0<ω<2Kg

3L范围内增大时，A所受摩擦力一直变大

【答案】ABD

【解析】当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：

ω＝2Kg

3L，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝

Kg

2L，

可知当ω>Kg

2L时，绳子有弹力，B项正确；当ω>

Kg

2L时，B已达到最大静摩擦力，则ω在

Kg

2L<ω<

2Kg

3L

范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<2Kg

3L范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦

力为静摩擦力，所以F f－F T＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．

【变式1】(多选)(2019·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距R A＝2R B.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是()

A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3

B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a A∶a B＝2∶9

C．转速增加后滑块B先发生滑动D．转速增加后两滑块一起发生滑动

【答案】ABC

【解析】由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，

又R A ∶R B ＝2∶1，ωA ：ωB ＝1∶3，所以A 、B 的向心加速度之比为a A ∶a B ＝2∶9，故B 正确；滑块的最大静摩擦力分别为 F f A ＝μm A g ，F f B ＝μm B g ，则最大静摩擦力之比为F f A ∶F f B ＝m A ∶m B ；转动中所受的静摩擦力之比为F f A ′∶F f B ′＝m A a A ∶m B a B ＝m A ∶4.5m B ，由上可得滑块B 先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C 正确，D 错误．

【变式2】(多选)(2019·广东省惠州市第二次调研)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )

A ．此时绳子张力为3μmg

B ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内

C ．此时圆盘的角速度为

2μg r

D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动 【答案】 AC

【解析】 两物体A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2r ，B 的半径比A 的半径大，所以B 所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向指向圆心，A 的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：F T －μmg ＝mω2r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得：F T ＝3μmg ，ω＝ 2μg r ，故A 、C 正确，B 错误．烧断细绳瞬间A 物体所需的向心力为2μmg ，此时烧断细绳，A 的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A 做离心运动，故D 错误． 题型二 竖直面内圆周运动的临界极值问题

球—绳模型或单轨道模型

【例2】(多选)(2019·哈尔滨三中期中)如图所示，长为L 的细绳一端拴一质量为m 小球，另一端固定在O 点，绳的最大承受能力为11mg ，在O 点正下方O ′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O ′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O 点的距离为 ( )

A ．最小为25L

B ．最小为35L

C ．最大为45L

D ．最大为910

L 【答案】 BC

【解析】当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r ，重力提供向心力，则有mg ＝m v 2r

，根据机

械能守恒定律可知，mg (L －2r )＝12mv 2，联立解得：r ＝25L ，故钉的位置到O 点的距离为L －25L ＝35

L ；当小球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F ＝11mg ，此时一定处在最低点，设半径为R ，则有：11mg －mg ＝m v 20R

，根据机械能守恒定律可知，mgL ＝12mv 20，联立解得：R ＝15L ，故此时离最高点距离为45L ，则可知，距离最小为35

L ，距离最大为45

L ，故B 、C 正确，A 、D 错误． 【变式1】(2019·福州质检)如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L .重力加速度大小为g .现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v 时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根轻绳的拉力大小为( )

A ．3mg

B ．43

3mg C ．3mg D ．23mg 【答案】A

【解析】小球在运动过程中，A 、B 两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R

＝L ·sin 60°＝32L ，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v 时，mg ＝m v 2

R

，当小球在最高点的速率为2v 时，应有：F ＋mg ＝m （2v ）2

R

，可解得：F ＝3mg .由2F T cos 30°＝F ，可得两绳的拉力大小均为F T ＝3mg ，A 项正确．

【变式2】(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F T ，小球在最高点的速度大小为v ，其F T －v 2图象如图乙所示，则( )

A ．轻质绳长为mb a

B ．当地的重力加速度为a m

C ．当v 2＝c 时，轻质绳最高点拉力大小为ac b

＋a D ．若v 2＝b ，小球运动到最低点时绳的拉力为6a 【答案】 ABD

【解析】 在最高点，F T ＋mg ＝m v 2L ，解得：F T ＝m v 2L －mg ，可知纵截距的绝对值为a ＝mg ，g ＝a m

，图线的斜

率k ＝a b ＝m L ，解得绳子的长度L ＝mb a ，故A 、B 正确；当v 2＝c 时，轻质绳的拉力大小为：F T ＝m c L －mg ＝ac b

－a ，故C 错误；当v 2＝b 时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL ＝12mv 22－12

mv 2，根据牛顿第二定律：F T ′－mg ＝m v 22L

，联立以上可得拉力为：F T ′＝6mg ＝6a ，故D 正确． 【变式2】如图所示，半径为R 的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P 时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P 点的水平距离为( )

A.2R

B.3R

C.5R

D.6R 【答案】D

【解析】小球从P 点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t ，则2R ＝12

gt 2，解得t ＝2R g ，在最高点P 时，有mg ＋12mg ＝m v 2

R

，解得v ＝3gR 2

，因此小球落地点到P 点的水平距离为x ＝vt ＝6R ，选项D 正确． 球—杆模型或双轨道模型

【例3】(2019·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径 为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )

A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B ．小球过最高点的最小速度是gR

C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

【答案】A

【解析】轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，

杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v ＜gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 2

R

，随v 增大，F 减小，若v ＞gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg ＋F ＝m v 2

R

，随v 增大，F 增大，故C 、D 均错误．

【变式1】(2019·山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )

A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B ．小球过最高点的最小速度是gR

C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

【答案】 A

【解析】 当小球到达最高点弹力为零时，有mg ＝m v 2R

，解得v ＝gR ，即当速度v ＝gR 时，轻杆所受的弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，若v

＝m v 2R ，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v >gR ，则有：mg ＋F ＝m v 2R

，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C 、D 错误．

【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B 点脱离后做平抛运动，经过0.3 s 后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R ＝1 m ，小球可看做质点且其质量为m ＝1 kg ，g 取10 m/s 2.则( )

B ．小球在斜面上的相碰点

C 与B 点的水平距离是0.9 m

B ．小球在斜面上的相碰点

C 与B 点的水平距离是1.9 m

C ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是1 N

D ．小球经过管道的B 点时，受到管道的作用力F N B 的大小是2 N

【答案】AC.

【解析】根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据

牛顿第二定律，有F N B ＋mg ＝m v 2B R

，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．

题型三 斜面上圆周运动的临界问题

【例4】(2019·江西吉安一中段考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大

静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2，则ω的最大值是( )

A. 5 rad/s

B. 3 rad/s C ．1.0 rad/s D ．0.5 rad/s

【答案】C

【解析】 当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2r

ω＝

g （μcos 30°－sin 30°）r ＝10×（32×32－12）2.5 rad/s ＝1.0 rad/s ，故选项C 正确． 【变式】．(2019·沈阳东北育才中学模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L 的细线一端固定， 另一端连接质量为m 的小球，小球在斜面上做圆周运动，A 、B 分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A 、 B 点做圆周运动的最小速度分别为v A 、v B ，重力加速度为g ，则 ( )

A ．v A ＝0

B ．v A ＝gL

C ．v B ＝12

10gL D ．v B ＝3gL 【答案】C

【解析】在A 点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿

第二定律得：mg sin θ＝m v 2A L ，解得A 点的最小速度为：v A ＝12gL ，对AB 段过程研究，根据机械能守恒得：12

mv 2A ＋mg ·2L sin 30°＝12mv 2B

，解得B 点的最小速度为：v B ＝5gL 2＝12

10gL ，故C 正确，A 、B 、D 错误． 题型四 圆周运动的动力学问题 【例5】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A ，细线的上端固定在金属块B 上，B 放在带小孔的水平桌面上，小球A 在某一水平面内做匀速圆周运动．现使小球A 改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B 在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )

A ．金属块

B 受到桌面的静摩擦力变大 B ．金属块B 受到桌面的支持力减小

C ．细线的张力变大

D ．小球A 运动的角速度减小

【答案】D

【解析】.设A 、B 质量分别为m 、M ，A 做匀速圆周运动的向心加速度为a ，细线与竖直方向的夹角为θ，对B 研究，B 受到的静摩擦力f ＝T sin θ，对A ，有：T sin θ＝ma ，T cos θ＝mg ，解得a ＝g tan θ，θ变小，a 减小，则静摩擦力大小变小，故A 错误；以整体为研究对象知，B 受到桌面的支持力大小不变，应等于(M ＋m )g ，故B

错误；细线的拉力T

＝mg cos

θ，θ变小，T 变小，故C 错误；设细线长为l ，则a ＝g tan θ＝ω2l sin θ，ω＝g l cos θ

，θ变小，ω变小，故D 正确．

【变式】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )

【答案】 B 【解析】 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mg tan θ＝mω2L sin θ，整理得：L cos θ＝g ω

2，则两球处于同一高度，故B 正确．

车辆转弯模型

2、受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。

2、动力学方程：根据牛顿第二定律得

r

v m mg 20tan =θ 其中r 是转弯处轨道的半径，0v 是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。

3、分析结论：解上述方程可知

θtan 0gr v = 可见，最佳情况是由0v 、r 、θ共同决定的。

当火车实际速度为v 时，可有三种可能，

当0v v =时，内外轨均不受侧向挤压的力；

当0v v >时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；

当0v v <时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。

还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等

【例6】如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g ＝10 m/s 2，π＝3.14)，则赛车( )

A ．在绕过小圆弧弯道后加速

B ．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s

C ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2

D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s

【答案】AB.

【解析】因赛车在圆弧弯道上做匀速圆周运动，由向心力公式有F ＝m v 2R

，则在大小圆弧弯道上的运动速率分别为v 大＝ FR m ＝ 2.25mgR m ＝45 m/s ，v 小＝ Fr m ＝ 2.25mgr m

＝30 m/s ，可知赛车在绕过小圆弧弯道后做加速运动，则A 、B 项正确；由几何关系得直道长度为d ＝L 2－（R －r ）2＝50 3 m ，由运动学公式v 2大－v 2小＝

2ad ，得赛车在直道上的加速度大小为a ＝6.50 m/s 2，则C 项错误；赛车在小圆弧弯道上运动时间t ＝2πr 3v 小

＝2.79 s ，则D 项错误．

【变式】(2019·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v ，重力加速度为g ，两轨所在面的倾角为θ，则( )

A ．该弯道的半径r ＝v 2g tan θ

B ．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变

C ．当火车速率大于v 时，内轨将受到轮缘的挤压

D ．当火车速率大于v 时，外轨将受到轮缘的挤压

【答案】 ABD

【解析】 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg tan

θ＝m v 2r ，解得：r ＝v 2g tan θ，故A 正确；根据牛顿第二定律得：mg tan θ＝m v 2r

，解得：v ＝gr tan θ，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B 正确；当火车速率大于v 时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C 错误，D 正确．