2018届二轮复习 导数的概念及运算 学案(全国通用)
3.1 导数的概念及运算
考情考向分析 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均
变化率可表示为Δy
Δx
.
(2)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy
Δx ＝
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在
x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率
k ，即k ＝f ′(x 0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)??
??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )
g 2(x )
(g (x )≠0)． 知识拓展
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．
3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × ) 题组二 教材改编
2．[P26习题T2]若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝ . 答案 2e
解析 ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 3．[P24练习T3]曲线y ＝1－2
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为 ． 答案 2x －y ＋1＝0
解析 ∵y ′＝2
(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2.
故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝ . 答案 －1
解析 函数y ＝kx ＋ln x 的导函数为y ′＝k ＋1
x ，由导数y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，得k ＝－1.
5．有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3
t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬
时速度为 ． 答案
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6．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′????π2sin x ＋cos x ，则f ′????π4＝ . 答案 － 2
解析 因为f (x )＝f ′????
π2sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′????π2cos x －sin x ， 所以f ′????π2＝f ′????π2cos π2－sin π2
， 即f ′????π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ， f ′(x )＝－cos x －sin x .
故f ′????π4＝－cos π4－sin π4
＝－ 2. 7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ . 答案 1
解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1， 又f (1)＝a ＋2，
∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又点(2,7)在切线上，可得a ＝1.
题型一 导数的计算
1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝ . 答案 1
解析 由题意得，f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1
x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋
ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.
2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ . 答案 －2
解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.
3．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝ . 答案 －4
解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 思维升华 导数计算的技巧
求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
典例 (1)曲线f (x )＝e x
x －1在x ＝0处的切线方程为 ．
答案 2x ＋y ＋1＝0
解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)， f ′(x )＝(x －1)(e x )′－e x (x －1)′(x －1)2＝(x －2)e x
(x －1)2，
故切线的斜率k ＝f ′(0)＝(0－2)e 0
(0－1)2＝－2，
则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.