解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型
类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状
2 2 2
例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解:T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C
由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2
c 2
三角形为等腰直角三角形.
例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.
解:T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120
A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1
二A+30 90,即A 60 ,所以三角形为等边三角形
2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)
0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2
即三角形为等腰三角形或直角三角形
例4:在厶ABC 中,(1)已知sinA=2cosBsinC ,试判断三角形的形状; (2)已知sinA= sin B sinC ,试判断三角形的形状.
cosB cosC
解:⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC
整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC
,结合正、余弦定理得
例3:在厶ABC 中,已知
tan A tan B
2
,试判断厶ABC 的形状.
b 2
解:法1:由题意得 sin AcosB
sin B cos A ■ 2 A
sin A ■ 2 - sin B
,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B
??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A
a
2
a
2 ,2
c b 法2:由已知得sinAcosB sin B
cos A
2
a
2
结合正、余弦定理得
b 2
2ac b b 2 2 2 c a
a 2
b 2
B
i ,?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
为等腰直角三角形.
类型二求范围与最值
1、在中,角所对的边分别为满足
,”则的取值范围是_
2 2 2 2 2 2
a — c - a a - c
b
c ,化简整理得 (a 2 b 2 c 2
2ac 2ab
)(b c) 0
2 2
b c 即三角形为直角三角形.
例5: (2
在厶ABC 中,(1)已知a — b=ccosB — ccosA ,判断△ ABC 的形状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. 解: (1)由已知结合余弦定理可得
a b c
a 2 c 2
b 2
c 2
(a
b)(a 2 b 2 c 2) 0 ??? a b 或a 2 b 2 (2)
b=as inC
可知b sinC 哑, a sin A
2ac
b 2
c - 2bc
2
a
,整理得
c 2,?/三角形为等腰三角形或直角三角形 2 2 ,2
a c
b 亠
c=acosB 可知c a
整理得
2ac
b 2
c 2
a 2,即三角形 ,定是直角三角形,Z A=90 , /? sinC=sinB /-Z B=Z C,「.A ABC
例6:已知△ ABC 中, cos A -,且(a 2): b : (c 2) 5 1:2:3, 判断三角形的形状. 解:由题意令a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0),则 a k 2,b 2k, c 3k 2 4
??? cos A —,由余弦定理得k
5
角三角形.
2
4 ?/ a 6,b
8, c 10 ?/ a
b c 即厶ABC 为直
7.在厶 ABC 中, a 、 b 、c 分别为 A B C 的对边,cos
2
-
匕工,则△ ABC 的形状为
2c
8.在 ABC 中,若
tan A 2c b
,,则 A=
tan B b
2、在厶ABC 中, AD 为BC 边上的高线, AD= BC 角代 B , C 的对边为a , b c
b ,
c ,则齐的最
大值是
1 1
解析 因为AD= BC= a ,由尹2 = ?bc sin A,解得sin A =
2
bc 再由余弦定理得
.2 2 2
b +
c — a
cos A='
2bc
1 b
2 c
值为.5
2
a bc
1 b c
b c
1(b b sinA),得 c +2cos A + sin A 又
A € (0 ,n ),最大
解析几何或者几何法
1解析几何法: ABC,BC 2,AB 、、3AC,求 ABC 面积的最大值。 2几何法: ABC ,知道BC=4, AC=2 3,求B 的范围。 方程有解,利用判别式求范围。 附例:
4、 已知 ABC 中,B=—,b 3,且 ABC 有两解,则边a 的取值范围是
3
5、 借力打力型求取值范围
附例:钝角三角形中, B ―,若最大边和最小边长的比为
m 则m 的取值范围是
3
设钝角三角形的另外两个角是 + , -—
3 3
6、 已知△ ABC 中, AB= 1, BO 2,则角C 的取值范围是 _________
A
/
b
c
J F
/
B
C
a
AB
7、 在厶ABC 中若 C 2 B ,则竺 的取值范围 ____________________
AC
8、 已知 ABC 中,B=—,b 3,且 ABC 有一解,则边a 的取值范围是
3
9、 已知 ABC 中,a x,b 2,B 45o ,若该三角形有两解,则x 的取值范围是 ________________ 10、钝角三角形 ABC 的三边长为 a , a +1, a +2( a 11、在锐角 ABC 中,BC 1 , B 2A ,则 12、设 ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 2C ,则 si nA : si n B : sin C 为
取值范围
C 一
N
),则 a=
AC 的取值范围为
a,b,c ,若三边的长为连续的三个正整数,
且 ABC , A 14、在锐角三角形
ABC 中,
黑)
15、在锐角三角形
ABC 中,
A 2
B ,则一「的取值范围是 b c
2 2
S
c (a b)
, C 既不是最大角,也不是最小角,求
k 值
k
k 4tan ,C (45 ,90 ), k (4、2 4,4)2
45°
11、在 ABC 中,若 A = 600, a 2.3,则
a 2
b 3
c sin A 2sin B 3sin C
16.在钝角三角形 ABC 中,已知a 1,b 2,则c 的取值范围为 _ (1,、.3) (..5,3)_
类型三求值专题
1、 在厶ABC 中,若BC=5 CA=7, AB=8,则厶ABC 的最大角与最小角之和是
.
2、 在厶 ABC 中,已知(b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,则 sin A : sin B : sin C = _____ .
3、 在厶 ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC= 3BD AD=^2,/ ADB= 135°,若 AC={2AB 则 BD= .
解析:T (b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6,二设 b + c = 4k , c + a = 5k , a + b = 6k (k > 0), 7 5
3
解得 a = q k , b = q k , c = q k , — sin A : sin B : sin C= a : b : c = 7 : 5 : 3.答案:7 : 5 : 3 4、钝角三角形边长为 a , a + 1, a + 2,其最大角不超过120°,则a 的取值范围是 ______________ . 5、 在厶ABC 中,已知a-b=4,a+c=2b 且最大内角为 120°,贝U a= .
6、 如果满足/ ABC= 60°,AC = 12 , BC= k 的三角形恰有一个,那么k 的取值范围是 _________ .
7、 在厶 ABC 中,若 C = 30°, AC= 3寸3, AB= 3,则厶 ABC 的面积为 ______ . 、
AB AC
AC 疝 1 J 3
解析:由正弦定理得:
= ,sin B = sin C = ?7=二_,所以B= 60 °或120° . sin C sin B AB 3 2 2
1
1
厂叭用
1
当 B = 60° 时,S A = 2ABX AC= 2 - 3 - 3 .3=丁 ;当 B = 120。时,S A = ^AB X AC- sin30 ° =症
=4 '
答案:攀或攀 8、
仅有一个等式作为方程求解时,注意整体思想,整体带入
b a
tan C
附例:在锐角△ ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若-+匚=6cos
C,贝U
-
a b
tan A
誓的值是 tan B
9海上有 A B 两个小岛,相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60o 的视角,从B 岛望C 岛 和A 岛成
75o 的视角;贝U B 、C 间的距离是 ___________________________ 海里.
10?某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,测得该渔轮在方
位角450、距离为10海里的C 处,并测得渔轮正沿方位角 105o 的方向、以每小时9海里 的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时 21海里的速度前去营救;则舰艇靠 近渔轮所需的时间是 _______________ 小时?
4
cos A — , A .
2
3
13、在 ABC 中,在
ABC 中,若 tan A 2c b ,,求 A .
tan B
b
sin A
解:由正弦定理知
c 2Rs inC ,b sinB ,
cosA 2si n C sinB
2s inC
sin B sin B
sin B
cosB
sin AcosB 2s inC sin (A B) 2si nC sin C 2sin C I cos As in B
sin B ' sin B cos A sin B '
sin BcosA
sin B '
12、在 ABC 中,三边a,b,c 与面积s 的关系式为s —(a 2 b 2 c 2)则角C 为
4
,
---------
1