2019-2020学年山东省日照一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年山东省日照一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A = {x | ?1

A. (?1,2)

B. (?1,3)

C. (?∞,3)

D. (?∞,2)

2. 函数y =√1?x +1

x+1的定义域是( )

A. (?∞,?1)∪(1,+∞)

B. (?1,1]

C. (?∞,?1)∪(?1,1]

D. (?∞,?1)∪(?1,1)

3. 已知函数f(x)={2x,x ?0

x 2,x <0

，则f[f(?2)]=( )

A. 8

B. ?8

C. 16

D. 8或?8

4. 设a =ln2,b =31

10,c =log 15

6，则( )

A. a >b >c

B. a >c >b

C. c >a >b

D. b >a >c

5. 已知函数f (x )=ax 3?b

x ?3，f (?3)=7，则f (3)的值为( )

A. 13

B. ?13

C. 7

D. ?7

6. 若x 0是函数f (x )=lgx ?1

x 的零点，则x 0属于区间( )

A. (0,1]

B. (1,10]

C. (10,100]

D. (100,+∞)

7. 设函数y =f (x )的图象与y =log 2(x +a )的图象关于直线y =?x 对称，且f (?2)+f (?1)=2，

则a =( )

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

8. 已知函数f(x)=4x 2?kx ?8在区间[5,20]上单调递增，则实数k 的取值范围是( )

A. {40}

B. [40,160]

C. (?∞,40]

D. [160,+∞)

9. 定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且在内是增函数，又f(?3)=0，则f(x)<0的解集

是( )

A. (?3,0)∪(3,+∞)

B. (?∞,?3)∪(0,3)

C. (?∞,?3)∪(3,+∞)

D. (?3,0)∪(0,3)

10. 已知a >1时，函数y =log a x 和y =(1?a )x 的图象只可能是( )

A.

B.

C.

D.

11. 已知函数f(x)={a x (x >1)

(4?a 2

)x +2(x ≤1)

是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A. (1,+∞) B. [4,8)

C. (4,8)

D. (1,8)

12. 函数f(x)=log a x ?4

x (a >1)在区间[1,2]上的最大值为0，则a =( )

A. 2

B. √2

C. 4

D. 2√2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数y =log a (x ?1)+4的图象恒过点P ，点P 在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=__________． 14. 已知函数f(x)={

log 2(?x) (x <0)

3x ?1 (x ≥0)

，且f(a)+f(1)=0，则实数a 的值等于______．

15. 函数f(x)=ln(?x 2+4x ?3)的单调增区间为______________． 16. 已知函数f(x)=

x 2+102x+1

x 2+1

，若f(a)=2

3，则f(?a)=________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知集合A ={x|x 2+5x ?6<0}，集合B ={x|2m

(1)当集合B =?，求m 的取值范围； (2)A ∩B =B ，求m 的取值范围．

18.(1)化简：(2a23b12)(?6a12b13)÷(?3a16b56)；

(2)求值：2(lg√2)2+1

lg2?lg5+√(lg√2)2?lg2+1．

2

19.已知函数f(x)=2+log2x，x∈[1,4]．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)设g(x)=[f(x)]2?f(x2)，求g(x)的最值及取得最值时相应的x的值．

20.某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，

设投资甲、乙两种产品的年收益分别为y1、y2万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=m√x+4+a，y2=bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．

(1)求函数y1,y2的解析式；

(2)若该家庭现有5万元现金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大

收益，其最大收益是多少万元？

21.已知定义域为R的函数f(x)=?2x+b

是奇函数．

2x+1+a

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)已知f(x)在(?∞,+∞)上为减函数，解关于t的不等式f(t2?2t)+f(2t2?1)<0．

22.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意a，b都有f(ab)=f(a)+f(b)，

且当x>1时，f(x)>0，f(3)=1．

(Ⅰ)求证：f(x)在(?∞,0)上是减函数；

(Ⅱ)解不等式f(x2?1)<2．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析： 【分析】

本题主要考查了并集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据并集及其运算即可得到A ∪B ． 【解答】

解：∵集合A = {x | ?1

2.答案：C

解析：

【分析】本题主要考查函数的定义域，属于基础题． 根据函数的解析式，列出满足解析式的不等式组即可． 【解答】解：若函数y =√1?x +1

x+1有意义， 则{1?x ≥0x +1≠0，解得x

3.答案：A

解析： 【分析】

本题考查了根据分段函数的解析式，求出函数值的应用问题，属于基础题． 根据分段函数f(x)的解析式，求出f[f(?2)]的值即可． 【解答】

解：∵函数f(x)={2x,x ?0

x 2

,x <0, ∴f(?2)=(?2)2=4，

∴f[f(?2)]=f(4)=2×4=8． 故选：A ．

4.答案：D

解析：

【分析】

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】

解：由题意得0

10>30=1,c=log1

5

6

5

1=0，

所以b>a>c．

故选D．

5.答案：B

解析：

【分析】

本题考查函数的奇偶性的应用，属基础题．

由已知g(x)=f(x)+3=ax3?b

x

为奇函数，利用已知和奇函数的性质即可求解．【解答】

解：设g(x)=f(x)+3=ax3?b

x

，

则g(?x)+g(x)=ax3?b

x ?ax3+b

x

=0，

即g(?x)=?g(x)，

所以g(x)为奇函数，

所以g(?3)+g(3)=f(?3)+3+f(3)+3=0，

又f(?3)=7，

所以f(3)=?13．

故选B．

6.答案：B

解析：

【分析】

本题考查函数零点存在性定理.计算出选项端点的函数值，由f(1)<0，f(10)>0，根据定理即可得出结果．

【解答】

解：∵f(x)=lgx?1

x

，

∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，∵f(1)=lg1?1

1

<0，

f(10)=lg10?1

10=9

10

>0，

即f(1)·f(10)<0，

∴x0属于区间(1,10]．

故选B．

7.答案：D

解析：

【分析】

本题主要考查函数的性质，函数值的计算，属于基础题．

【解答】

解：函数y=f(x)的图象与y=log2(x+a)的图象关于直线y=?x对称，

由题意，f(x)=?2?x+a,

所以14+a?2=2,a=4．

故选D．

8.答案：C

解析：

【分析】

本题考查二次函数的单调性，关键是掌握二次函数的性质，属于基础题．

根据题意，由f(x)的解析式分析函数f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得k

8

≤5，解可得k的取值范围，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数f(x)=4x2?kx?8为二次函数，其对称轴为x=k

8

，

若函数f(x)=4x2?kx?8在[5,20]上单调递增，

则k

8

≤5，解得k≤40，

即k的取值范围为(?∞,40]．

故选C．

9.答案：B

解析：

本题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题． 结合函数的性质画出函数的图象即可求得不等式的解． 【解答】

解：因为f(x)为R 上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上为增函数． 已知f(?3)=0，必有f(3)=?f(?3)=0，f(x)的草图如下，

可知f(x)<0的解集为x ∈(?∞,?3)∪(0,3)． 故选B ．

10.答案：B

解析：

∵a >1，∴y =log a x 在区间(0,+∞)上是增函数，排除C 、D 又∵a >1时，1?a <0，∴x >0时，y =(1?a )x <0，故选B ．

11.答案：B

解析：

【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键． 若函数是R 上的增函数，则列出关于a 的式子，解得实数a 的取值范围即可． 【解答】

解：∵函数f(x)={a x ,x >1

(4?a 2

)x +2,x ≤1

是R 上的增函数， ∴{

a >1

4?a 2

>0a ≥4?a

2+2

， 解得：a ∈[4,8)， 故选B ．

(a>1)在区间[1,2]上递增，可得f(x)的最大值为f(2)=解析：因为a>1，所以f(x)=log a x?4

x

log a2?2=0，解得a=√2，故选B．

13.答案：9

解析：

【分析】

本题考查对数函数中的定点问题以及幂函数的解析式，属基础概念题．

由题意得到P(2,4)，设幂函数f(x)=xα，则2α=4，解得α=2，即可求解．

【解答】

解：函数y=log a(x?1)+4的图象恒过点P，则P(2,4)，

设幂函数f(x)=xα，则2α=4，解得α=2，

所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9.

故答案为9．

14.答案：?1

4

解析：

【分析】

本题考查分段函数求值问题，属于基础题．

对a进行分类讨论，a<0时，有log2(?a)+3?1=0，可得a的值，a≥0时，3a?1+2=0，可得方程无解，综合可得实数a的值．

【解答】

解：当a<0时，因为f(a)+f(1)=0，

所以log2(?a)+3?1=0，

；

即log2(?a)=?2，得到a=?1

4

当a≥0时，因为f(a)+f(1)=0，

所以3a?1+2=0，

即3a=?1，方程无解．

．

综上所述，a=?1

4

．

故答案为?1

4

15.答案：(1,2)

解析： 【分析】

本题主要考查的是复合函数的单调性，结合复合函数的单调性：在定义域内同增异减，求解即可． 【解答】

解：由?x 2+4x ?3>0得1

则该函数在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减， 又y =lnu 在(0,+∞)上单调递增， 所以函数的单调增区间为(1,2)，

故答案为(1,2)．

16.答案：4

3

解析：

【分析】根据函数奇偶性，即可得到答案 【解答】 解：f(x)=

x 2+102x+1

x 2+1

=1+

102x

x 2+1

，则f(x)?1=102x

x +1是奇函数，

则f(?a)?1=?[f(a)?1]，即f(?a)=?f(a)+2=?2

3+2=4

3

故答案为4

3

17.答案：解：(1)当集合B =?时，2m ≥3m +1，

解得m ≤?1；

(2)A ={x |x 2+5x ?6<0}=(?6,1)， 由A ∩B =B 可得B ?A ，

①当B =?时，即m ≤?1，满足B ?A ； ②当B ≠?时，要使B ?A ， 则{2m <3m +12m ≥?63m +1≤1, 解得?1

综上所述：m 的取值范围为m ≤0．

解析：本题主要考查集合关系中参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑B =?的情况，这是解题的易错点．

(1)集合B =?时，2m ≥3m +1，解不等式即可；

(2)由A ∩B =B 可得B ?A ，分两种B =?或B ≠?情况讨论求解即可．

18.答案：解：(1)(2a 23b 12)(?6a 12b 13)÷(?3a 16b 56)=4a 23+12?16b 12+13?5

6=4a ，

(2)2(lg √2)2+1

2lg2?lg5+√(lg √2)2?lg2+1=2(1

2lg2)2+1

2lg2(1?lg2)+(1?1

2

lg2)=1．

解析：(1)由指数幂的运算得：原式=4a 23+12?1

6b 12+13?5

6=4a ，

(2)由对数的运算得：原式=2(1

2lg2)2+1

2lg2(1?lg2)+(1?1

2lg2)=1.得解 本题考查了对数的运算及指数幂的运算，属简单题．

19.答案：解：(1)∵f(x)=2+log 2x 在[1,4]上是增函数，

又f(1)=2+log 21=2， f(4)=2+log 24=2+2=4． ∴函数f(x)的值域是[2,4]．

(2)g(x)=[f(x)]2?f(x 2)

=4+4log 2x +(log 2x)2?(2+log 2x 2)

=(log 2x)2+2log 2x +2=(log 2x +1)2+1． 由1≤x ≤4且1≤x 2≤4，得1≤x ≤2， ∴g(x)的定义域是[1,2]． ∴0≤log 2x ≤1．

∴当log 2x =0，即x =1时，g(x)有最小值g(1)=2； 当log 2x =1，即x =2时，g(x)有最大值g(2)=5．

解析：本题考查函数定义域与值域，函数的最值，二次函数，换元法，属于基础题． (1)根据对数函数单调性求出函数最值即可；

(2)先求出f(x 2)、[f(x)]2的表达式，再求其g(x)的定义域和值域；

20.答案：解：(1)由函数y 1的图象过点(0,0),(5,1)得{

2m +a =03m +a =1，所以{m =1

a =?2

；

由函数y 2的图象过点(0,0),(5,1)得5b =1，所以b =1

5； 所以y 1=√x +4?2，y 2=1

5x ；

(2)设投资甲产品为x 万元，则投资乙产品为(5?x)万元，0?x ?5， 则总收益y =y 1+y 2=√x +4?2+1

5(5?x)=√x +4?1

5x ?1， 设√x +4=t,(2?t ?3)，

则y =t ?1

5(t 2?4)?1=?1

5t 2+t ?1

5=?1

5(t ?5

2)2+21

20， 所以t =5

2即x =9

4时，总收益最大，为21

20万.

所以当投资甲产品94万元，投资乙产品114万元，可以使得一年的投资获得最大收益，最大收益为21

20万.

解析：本题考查函数模型及其应用．

(1)利用函数图像经过点(0,0),(5,1)，代入解析式即可求解；

(2)利用换元法，借助二次函数在闭区间的最值确定最大收益，解题时一定要注意变量的取值范围．

21.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0?

?1+b 2+a

=0，解得b =1，

f(x)=

?2x +12x+1+a

又由f(1)=?f(?1)?

?2+14+a =?

?1

2

+11+a

，解得a =2．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=

?2x +1

2x+1+2

=?1

2+1

2x +1 由上式知f(x)在(?∞,+∞)上为减函数

又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2?2t)+f(2t 2?1)<0等价于 f(t 2?2t)?2t 2+1， 即3t 2?2t ?1>0解不等式可得t >1或t

3； 故不等式的解集为：{t|t >1或t

3}.

解析：

(Ⅰ)直接根据函数是奇函数，满足f(?x)=?f(x)，把x =0，和x =1代入，即可得到关于a ，b 的两个等式，解方程组求出a ，b 的值．

(Ⅱ)先对函数进行整理得到其单调性，再结合其为奇函数，即可把原不等式转化，从而得到结论． 本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用．解决第二问的关键在于先得到函数的单调性．

22.答案：(Ⅰ)证明：设x 1，x 2是(?∞,0)任意两个变量，且x 11)，

则f(x 1)?f(x 2)=f(x 1)?f(tx 1)=f(x 1)?f(x 1)?f(t)=?f(t) ∵当x >1时，f(x)>0；

∴f(t)<0，即f(x 1)?f(x 2)=?f(t)>0， ∴f(x 1)>f(x 2)，

即y =f(x)在(?∞,0)上的单调递减． (Ⅱ)由f(3)=1.那么f(3)+f(3)=f(9)=2． ∴不等式f(x 2?1)<2.可得f(x 2?1)

∴{x 2?1≠0x 2?1<9或{x 2

?1≠0x 2?1>?9

解得：x ∈(?√10,?1)∪(?1,1)∪(1,√10)．

解析：(Ⅰ)利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．

(Ⅱ)利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可

本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．