习题2 母函数
习 题 二
2-1 求下列数列的母函数(n =0,1,2,…):
(1)()???
?
?????? ??-n n α1 ; (2){ n +5 }
(3){ n (n -1) } ; (4){ n (n +2) }
(解)(1)()x G =()∑∞
=???
? ??-01n n n
x n α=()∑∞
=-?
??? ??0n n
x n α=()αx -1 (2)()x G =()∑∞=+05n n
x n =()∑∑∞
=∞=++0
41n n n n
x x n
=()
x x n n -+'
∑∞
=+1401=x
x n n -+'???? ??∑∞
=+1401
=x x -+'
???
??--14111=()x x -+-14112
=
()
2
145x x
--
(3)()x G =
()∑∞=-01n n
x
n n =()∑∞
=--++2
2
2
100n n x
n n x
=()()∑∞
=++0
212n n
x
n n x
=()∑
∞
=+"0
2
2
n n x x
="???? ??∑∞
=+022n n x x ="???
? ??-x x x 122
=
()3212x x - (4)()x G =
()∑∞
=+02n n
x
n n =
()()()∑∑∑∞
=∞=∞
=-+-++0
121n n n n
n n
x x n x
n n
=
()
()
x x x n n n n --'
-"
∑∑∞
=+∞
=+11
1
2
=x x x n n n n --'
???
? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102
=x x x x x --'
???
??--"???? ??-11112 =()()x x x -----11111223=()
3
2
13x x x --
组合数学 2
2-2 证明序列C (n ,n ),C (n +1,n ),C (n +2,n ),…的母函数为()
111+-n x
(证)已知集合{}n e e e S ?∞?∞?∞=,,, 21的r-组合的母函数为
()∑∞
=???
? ??-+=-0111
r r n
x r r n x 所以序列()n n C ,,()n n C ,1+,()n n C ,2+,……的母函数为
()x G = +???? ??+++???? ??++???? ??++???? ??r
x n r n x n n x n n x n n 21021 =∑∞
=???? ??+0r r
x r r n =()∑∞
=???
? ??-++011r r
x r r n =
()
1
11
+-n x
2-3 设S ={}4321,,,e e e e ?∞?∞?∞?∞,求序列{}n a 的母函数,其中a n 是S 的满足
下列条件的n 组合数:
(1) S 的每个元素都出现奇数次; (2) S 的每个元素出现3的倍数次; (3) e 1不出现,e 2至多出现一次;
(4) e 1只出现1、3或11次,e 2只出现2、4或5次; (5) S 的每个元素至少出现10次。
(解)(1)()x G =()
4
5
3
+++x x x =
()
4
24
1x x -;
(2)()x G =()
4
9631 ++++x x x =
()
4
311
x -;
(3)()x G =()(
)2
3
211 +++++x x x x =
()
2
11x x
-+;
(4)()x G =()()()
2
325421131 ++++++++x x x x x x x x x
=
()
2
16
151********x x x x x x x x x -+++++++;
(5)()x G =(
)
4
12
1110
+++x x x
=
()
4
40
1x x -。
第二章 母函数及其应用 3
2-4 投掷两个骰子,点数之和为r (2≤r ≤12),其组合数是多少? 2-5 投掷4个骰子,其点数之和为12的组合数是多少?
2-6 红、黄、蓝三色的球各8个,从中取出9个,要求每种颜色的球至少一个,问
有多少种不同的取法?
(解)设从中取r 个的不同取法有r a 种,那么,数列r a 的母函数为
()x G =()
3
832x x x x ++++
=(
)
16109843278732x x x x x x x ++++++++
()
832x x x x ++++? =24
109854335282163x x x x x x x ++++++++
因此所求方案数为
9a =28
另法:原问题等价于从集合S ={}c b a ???888,,中取出9个元素,且每个元素至少取一个。现在先把元素a 、b 、c 各取一个,然后再随意选出6个,则问题转变为从集合1S ={}c b a ???777,,中取出6个元素,且每个元素个数不限,求重复组合的方案数。又由于每个元素的个数大于6,故从1S 中取6个元素与从集合2S ={}c b a ?∞?∞?∞,,中
取出6个元素的组合数一样多,从而知不同的取法为
282
86163==-+C C
2-7 将币值为2角的人民币,兑换成硬币(壹分、贰分和伍分)可有多少种兑换方
法?
(解)这是求正整数n 的分项只能等于1、2、5的分拆数。设n 的分拆数为 n a ,则n a 的母函数为
()x G =()()()
+++++++++105422111x x x x x x
=???
? ?
?
+????
??++++++++ n
x n x x x x x 21332215
432 ()
+++?1051x x
= ++++++++20
54322943221x x x x x x
所以,共有20a =29种兑换方法。
2-8 有1克重砝码2枚,2克重砝码3枚,5克重砝码3枚,要求这8个砝码只许
放在天平的一端。能称几种重量的物品?有多少种不同的称法?
(解)设秤r 克重的物体有r a 种秤法,那么数列{{}r a 的母函数是
()()()()
151056422111x x x x x x x x x G +++?+++++=
展开后得
组合数学 4
()1110987654323222332221x x x x x x x x x x x x G +++++++++++=
222120191817161514131223242323x x x x x x x x x x x +++++++++++
因此,能称1~22克共22种重量的物品,所有不同的称法总数为
()1G =3×4×4=48
2-9 证明不定方程n x x x +++ 21=r 的正整数解组的个数为 ()11--n r C ,。 (证)问题可以视为将r 个相同的1放入n 个盒子。由于将i x 之间的值互换,对应不同的解,所以盒子不同。设共有r a 个解,则由式(2.1.1)知r a 的母函数为
()x G =(
)
n
x x x +++3
2=n
x x ??
?
??-1
=∑∞
=-+0
1
r r
r
r n n
x C
x =∑∞
=+-+0
1r r
n r r n x C =
∑∞
=--0
1
k k
n
k k x C
=∑∞
=--0
11k k
n k x C 所以
r a =()11--n r C ,
2-10 求方程z y x ++=24 的大于1的整数解的个数。
(解)原方程即 ???=≥=++.,,,,
321224321i x x x x i
,令1-=i i x y ()321,,=i ,可得等价方程
??
?=≥=++.
,,,,
321121321i y y y y i 由上题知后者共有()13121--,C =190组正整数解,从而知原不定方程的大于1的整数解的个数为190。
2-11 设
a n =
()∑=+n k k k n C 02,,b n
=()∑=++n
k k k n C 0
12,
其中a 0=1,b 0=0,
(1) 试证a n +1=a n +b n +1, b n +1=a n +b n ; (2) 求出{ a n },{ b n }之母函数A (x ),B (x )。 (解)(1)由序列的定义
1+n a =∑+=++1
021n k k k n C =
∑+=++++1
1
210
1
n k k
k n n C C
第二章 母函数及其应用 5
=∑∑+=-++=++++1
11
21
1201
n k k k n n k k k
n n C C
C
=∑∑=+++=+++n
k k k n n
k k k n n
C C
C 0
1
211
20
=
∑∑+=+++=++1
1
210
2n k k k n n
k k
k
n C C
1+n b =∑+=+++10
1
21n k k k
n C
=()()1
12120121+++=++++∑n n n
k k k n C C =
∑∑=++=++n k k k n n
k k k
n C C
1
20
2 =n n b a +
(2)由母函数的定义及(1)中所知数列n a 和n b 的关系知
()x A =
∑∞
=0
n n
n x
a =()∑∞
=-++110
n n n n x b a a
=∑∑∞
=∞=--++
1
1111n n n n n n x b x a x
=∑∑∞
=∞
=++0
1n n
n n n
n x b x a x
=()()x B x xA ++
1
()x B =∑∞
=0
n n
n x
b =()∑∞
=--++1
1
10n n
n n x b a b =∑∑∞=--∞
=--++1
111
1
10n n n n n n x b x x
a x
=()()x xB x xA
+
组合数学 6
即函数()x A 和()x B 满足方程
()()()
()()()?
?
?+=++=x xB x xA x B x B x xA x A 1 解之得
()x A =
2311x x x +--,()x
B =2
31x x x
+- 2-12 设S ={}k e e e ?∞?∞?∞,,,21 ,求序列{}n p 的母函数,其中p n 是S 的满足
下列条件的n 排列数:
(1)S 的每个元素都出现奇数次; (2)S 的每个元素至少出现4次; (3)e i 至少出现i 次(i =1,2, …,k ); (3) e i 至多出现i 次(i =1,2, …,k )。
(解)(1)()x G e =k
x x x ???? ??+++ !!!53153=k
x x e e ???
?
?
?--2; (2)()x G e =k
x x x ???? ??+++ !!!654654=k
x x x x e ???
?
??----!!32132;
(3)()x G e =()()∏=++???
? ??+++++k
i i i i i x i x i x 12
121 !!!
=()∏=-???
? ??------k
i i x i x x x e 112121!! ; (4)()x G e =∏=???
?
??++++k
i i i x x x 12211!!!
2-13 把23本书分给甲、乙、丙、丁四人,要求这四个人得到的书的数量分别不
得超过9本、8本、7本、6本,问
(1) 若23本书相同,有多少种不同的分法? (2) 若23本书都不相同,又有多少种不同的分法?
2-14 8台计算机分给3个单位,第一个单位的分配量不超过3台,第二单位不
超过4台,第三单位不超过5台,问共有几种分配方案?
(解)设分配n 台计算机的分配方案有n a 种,则n a 的母函数为
第二章 母函数及其应用 7
()x G ()()()
543243232111x x x x x x x x x x x x ++++++++++++
=1+8
7
6
5
4
3
2
14171817141063x x x x x x x x +++++++
+1211109
3610x x x
x +++
所以分配8台计算机共有8a =14种方案。
2-15 用母函数证明等式
(1)???
? ??=???? ??++???? ??+???? ??n n n n n n 2102
22 。
(2)???
? ??+++=???? ??+++???? ??++???? ??111n m n n m n n n n n
(证)(1) ∵ ()n
n
x x ??? ?
?++111=()n
n x x 21+-
∴ ???
??????? ??++???? ??+???? ??+???? ????????????? ??++???? ??+???
? ??+???? ??n n x n n x n x n n x n n x n x n n 11211021022
=??
?????
??? ??++???? ??+???? ??+???? ??-n n
x n n x n x n n x
2222221202 比较两边的常数项,即得结论。
(2)()()
()
m
n n n
x x x ++++++++1111
=()()()1
11
111
-+-+++x x x m n
=
()()[]
n m n x x x
+-+++111
1 比较两边n
x 的系数有
???
? ??+++=???? ??+++???? ??++???? ??111n m n n m n n n n n 上式还可表为
组合数学 8
???? ?
?++=???? ??+++???? ??++???? ??m m n m m n n n 1110
2-16 证明:自然数n 分拆为互异的正整数之和的分拆数等于n 分拆为奇数之和
的分拆数。
(证)将n 分拆为互异的正整数之和的分拆数的母函数为
()x G 1=()()()()()()
65432111111x x x x x x ++++++
=
6
12
5104836242111111111111x x x x x x x x x x x x ------------ =
5
311
1111x
x x --- 将n 分拆为奇数之和的分拆数的母函数为
()x G 2= ???
?
?????? ?????? ??∑∑∑∞=∞=∞=05030i i i i i i x x x
=
5
311
1111x x x ---=()x G 1
所以,两种分拆的方案数相同。
2-17 求自然数50的分拆总数,要求分拆的每个分项不超过3。
(解)方法一 用母函数。设正整数n 的分项不超过3的分拆数为 n a ,则n a 的母函数为
()x G =()()()
+++++++++63422111x x x x x x
=???
? ??+??????++++++++ n x n x x x x x 21332215432 ()
+++?631x x
= ++++++++50
5
4
3
2
23454321x
x x x x x
所以,50满足要求的分拆数为234种方法。
另外,可以看出,对一般的n ,记
第二章 母函数及其应用 9
??
?
???=3n t ,n r ≡ mod 3 ()20<≤r
则
n a =??
????+?+++??????+?++??????+?++??????+2132123211321t r r r r 故当50=n 时,t =16,r =2,31=+r 代入上式即得
50a =()∑=???
??
?+16
0213i i =2+3+5+6+8+9+11+12+…+21+23+24+26
=(1+2+3+4+…+23+24+25+26)-(1+4+7+10+…+22+25) =
22627?-2
9
26?=234 方法二 利用递推公式(2.1.3)求解。这里是求 ()350,Q 。首先由公式(2.1.3)知对任何正整数n ,有()11=,n Q 。其次,由递推关系()m n Q ,=()()m m n Q m n Q ,,-+-1
()n m <<1知
()2,n Q =()()221,,-+n Q n Q =1+()22,-n Q
直接迭代,并利用初值()m Q ,1=1()1≥m 和()22,Q =2得
()2,n Q =??????
?-=+=+122
1212
k n n k n n
,,,, ,,,321=k 即
()2,n Q =?
?
????+21n , ,,,321=n 最后对m =3,有
()3,n Q =()()332,,-+n Q n Q =?
?
?
???+21n +()33,-n Q 令n =50,代入上式得
()350,Q =26+()347,Q =26+24+()344,Q =26+24+23+()341,Q
=……
=26+24+23+21+…+12+11+9+8+6+5+3+2 =234
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 C.当幂指数α取1,3,1 2 时,幂函数y=xα是增函数 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 1 5 (7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+ ∞)上为增函数,求实数t的值. 分析关于幂函数y=xα(α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设p q (|p|、|q|互 质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x p q 是非奇非偶函数;当q是奇数时,y= x p q 的奇偶性与p的值相对应. 解∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1, ∴t=-1,1或0. 当t=0时,f(x)=x 7 5 是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 2 5 是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 8 5 是偶函数,且 2 5 和 8 5 都大于0,在(0,+∞)上为增函数. 故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视. 例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( ) A .-1 例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。 解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1( 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数,则有 ( ) A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3x y -= B .3-=x y C .32x y = D .13-=x y 3、1.指数式b c =a (b >0,b ≠1)所对应的对数式是 ( ) A .log c a =b B .log c b =a C .log a b =c D .log b a =c 4、若210,5100==b a ,则b a +2= ( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ,那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 ( ) A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 一、选择题(每小题4分,共计40分) 1.下列各式中成立的一项是 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B . 33 39= C .4 343 3 )(y x y x +=+ D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{>< 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示, 则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号 为 , 例4 (镇江2001中考题)老师给出一个函数y=f (x ),甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 (荆州2001)已知二次函数y=x 2+bx +c 的图像过点A (c ,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是 (只要写出一个可能的解析式) 例6 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( ) (A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内,则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是( ) 例8 在同一坐标系中,直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知:函数c bx ax y ++=2的图象如图:那么函数解析式为((A )322++-=x x y (B )322--=x x y (C )322+--=x x y (D )322---=x x y 幂函数 知识点 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α =(R x ∈)的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如1 12 3 4 ,,y x y x y x -===等 都是幂函数 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点. 三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 四、解题方法总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =α x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象 限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 典型题 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数2 223 (1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+, ∞时为减函数,则幂函数y =__________. 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4 3 3.14 -与43 π - (2)35 (- 与35 (- (3)比较0.5 0.8 ,0.5 0.9,0.5 0.9 -的大小 类型三、求参数的范围 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式: y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式: y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式: y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0 时, 简记左增右减 , 当 x=- 时 y 最大值= . 2a 4a 3. 待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法 一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式为 y=ax 2+bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ; 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大 值 时 , 可设解析式为 y=a(x-h) 2+k; 在所给条件中已知抛物线与 x? 轴两交点坐标或已知抛物 线与 x 轴一交点坐标和对称轴 ,则可设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2) 来求解 . 4. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax 2+bx+c 当 y=0 时抛物线便转化为一元二次方程 ax 2+bx+c=0, 即抛物线与 x 轴 有两个交点时 , 方程 ax 2+bx+c=0 有两个不相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴有一个 交点 , 方程 ax 2+bx+c=0 有两个相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴无交点 ,? 方程 ax 2+bx+c=0 无实根 . 5. 抛物线 y=ax 2+bx+c 中 a 、b 、c 符号的确定 a 的符号由抛物线开口方向决定 ,当 a>0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函 数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误. 经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数,则幕函数y二___________________ . 解析:由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数, 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时,nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数; 当m = -l时,/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数,不合题意,舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华:求慕函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了;(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解:⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙,???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此,(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减,且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕,因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值,从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中,我们是利用幕函数的奇偶性,先把底数化为正数的幕解决的问题.当然,若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小,再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解:y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增,且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖, 易知0.严< 0.9心. 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A .y x =43? B.y x =32 C .y x =-2 ? D.y x =- 14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ) A. 4 1 ?B.1-?C.4 D.4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是? ?( ) A.3 x y -=?B.3 -=x y ? C.3 2x y =?D.13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ) A. B. C. D . 5.下列命题中正确的是? ? ( ) A.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? ( ) A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D .是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ) A .]6,(--∞ ? B .),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A.102431<<<<<αααα B.104321<<<<<αααα C.134210αααα<<<<< D .142310αααα<<<<< 10. 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<,则 )2( 21x x f +,2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?B. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C . )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分). 11.函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12.的解析式是?? . 13.9 42 --=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 14.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限,不过原点,则n m k ,,的奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤(共76分) . 15.(12分)比较下列各组中两个值大小 (1)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与;()与-- 1α 3α 4α 2α 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y <0;③ y>0 知识点二:二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 (3)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例1】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则: (1)abc 0 (>或<或=) (2)a 的取值范围是 ? 【例3】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 – 3 二次函数与幂函数 1.求二次函数的解析式. 2.求二次函数的值域与最值. 3.利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题. 【复习指导】 本节复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,此类问题经常与其它知识结合命题,应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用. 基础梳理 1.二次函数的基本知识 (1)函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)叫做二次函数,它的定义域是R . (2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象是一条抛物线,对称轴方程为x = -b 2a ,顶点坐标是? ?? ?? -b 2a , 4ac -b 2 4a . ①当a >0时,抛物线开口向上,函数在? ????-∞,-b 2a 上递减,在?????? -b 2a ,+∞上递增,当x =-b 2a 时,f (x )min =4ac -b 2 4a ; ②当a <0时,抛物线开口向下,函数在? ????-∞,-b 2a 上递增,在?????? -b 2a ,+∞上递减,当x =-b 2a 时,f (x )max =4ac -b 2 4a . ③二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)当Δ=b 2-4ac >0时,图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0),|M 1M 2|=|x 1-x 2|=Δ |a | . (3)二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0); ②顶点式:f (x )=a (x -m )2+h (a ≠0); ③两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.幂函数 二次函数典型例题——找规律 1、如图,一段抛物线:y =-x(x -3)(0≤x≤3),记为C 1,它与x 轴交于点O ,A 1; 将C 1绕点A 1旋转180°得C 2,交x 轴于点A 2;将C 2绕点A2旋转180°得C 3,交x 轴于点A 3; …… 如此进行下去,直至得C 13.若P (37,m )在第13段抛物线C 13上,则m =_________. 2、二次函数223 y x =的图象如图所示,点A 0位于坐标原点,点1232015,,,,A A A A ???在y 轴的正半轴上,点1232015,,,,B B B B ???在二次函数223 y x =位于第一象限的图象上,若△A 0B 1C 1,△A 1B 2C 2,△A 2B 3C 3,…△A 2014B 2015C 2015都为正三角形,则△011A B A 的边长= , △201420152015A B A 的边长= . 1,2015 3、如图,点A 1、A 2、A 3、……、A n 在抛物线2y x =图象上,点B 1、B 2、B 3、……、B n 在y 轴上,若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、……、△A n B n -1B n 都为等腰直角三角形(点B 0是坐 标原点),则△A 2014B 2013B 2014的腰长= . (石景山区)已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根,且m 为非负 整数. (1)求m 的值; (2)将抛物线1C :1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位,再向上平移b 个单位得到抛物线2C ,若抛物线2C 过点),(b A 2和点),(12 4+b B ,求抛物线2C 的 表达式; (3)将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转?180得到抛物线3C ,若抛物线3C 与直线 12 1+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧,求n 的取值范围. (石景山区)解:(1)∵方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根, ∴0≠m 且0≥?, ……………………1分 则有0)1(4-)1(42≥--m m m 且0≠m ∴1≤m 且0≠m 又∵m 为非负整数, ∴1=m . ………………………………2分 (2)抛物线1C :2x y =平移后,得到抛物线2C :b a x y +-=2 )(,……3分 ∵抛物线2C 过),2(b A 点,b a b +-=2)2(,可得2=a , 同理:b a b +-=+2)4(12,可得3=b , …………………………4分 ∴2C :()322+-=x y )(或742+-=x x y . …………5分 (3)将抛物线2C :3)2(2+-=x y 绕点(n n ,1+)旋转180°后得到的抛物线3C 顶 点为(322-n n ,), ………………6分 当n x 2=时,1122 1+=+?= n n y , 由题意,132+>-n n , 高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 (幂函数)经典 1.设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α,则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 2.设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ,则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.对于幂函数f(x)=45x ,若0<x 1<x 2,则12( )2x x f +,12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +>12()()2f x f x + B. 12()2x x f +<12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4.设函数y =x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4) 5.下列说法正确的是( ) A .幂函数的图像恒过(0,0)点 B .指数函数的图像恒过(1,0)点 C .对数函数的图像恒在y 轴右侧 D .幂函数的图像恒在x 轴上方 6.若0>>n m ,则下列结论正确的是( ) A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7.若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数,则m 的值为( ) A .1- B .0 C .1 D .2 8.幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,),则(2)f ( ) A. 14 B. 12 - 9.幂函数35m y x -=,其中m N ∈,且在(0,)+∞上是减函数,又()()f x f x -=, 则m =( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知幂函数()m f x x =的图象经过点(4,2),则(16)f =( ) 二次函数 专题一:二次函数的图象与性质 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是(-2b a ,244ac b a -). 例 1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5 y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -,. (1)求m 、c 的值; (2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2 +bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第二、三、四象限 D .第一、三、四象限 考点3.二次函数的平移 当k>0(k<0)时,抛物线y=ax 2+k (a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向上(或向下)平移|k|个单位得到;当h>0(h<0)时,抛物线y=a (x-h )2(a ≠0)的图象可由抛物线y=ax 2向右(或向左)平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是( ) A.y=3(x+2)2 B.y=3(x-2)2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2 -2 图1 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+ 103x 163 -,下列说法正确的是( ) A.开口向下,顶点坐标为(5,3) B.开口向上,顶点坐标为(5,3) C.开口向下,顶点坐标为(-5,3) D.开口向上,顶点坐标为(-5,3) 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为(-1,0),(3,0) 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从图2所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c <;②0abc >;③0a b c -+>;④230a b -=;⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号) 专题复习二:二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1 如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙 的长度不限)的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y (单位:米2 )与x (单位:米)的函数关系式为 (不要求写出自变量x 的取值范围). 考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax 2+bx+c (a ≠0); 2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a (x-h )2+k (a ≠0); 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0). 例2 已知抛物线的图象以A (-1,4)为顶点,且过点B (2,-5),求该抛物线的表达式. 图2 A B C D 图1 菜园 墙二次函数经典例题及答案
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