互为相反数的两点之间的距离
互为相反数的两点之间的距离
【知识点】
一对相反数在数轴上的位置特点：
分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等。
【练习题】
1.数轴上表示-1的点与表示1的点之间的距离是______
2.数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是-2，两点之间的距离是______
3.数轴上点A表示的数是-5，点B表示的数是5，两点之间的距离是______
4.点A为数轴上表示-4的点，点B与点A表示的数互为相反数，则点A与点B
之间的距离为______
5.数轴上点A表示的数是-3，且点A和点B所表示的数互为相反数，那么A与
B两点之间的距离是______
6.数轴上点A表示的数是2019，且点A和点B所表示的数互为相反数，那么A
与B两点之间的距离是______
7.数轴上A、B两个点之间的距离为200，且点A与点B表示的数互为相反数，
其中点A表示较小的数，则点A表示的数为______
8.数轴上点A与点B之间的距离是10，且两数互为相反数，点A位于原点左
侧，点B位于原点右侧，则点A表示的数是______，点B表示的数是______
9.数轴上点A和点B所表示的数互为相反数，且两个点之间的距离为16，则这
两个数中较大的数是______
10.数轴上点A和点B所表示的数互为相反数，且两个点之间的距离为14，则这
两个数中较小的数是______
答案
1.2
2.4
3.10
4.8
5.6
6.4038
7.-100
8.-5；5
9.8
10.-7
《两点间的距离》教学设计(优质课)
两点间的距离 （一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。 （二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法 启发引导式 识解决以下问题：
2
备选例题 例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '
由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)
[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
空间两点之间的距离公式
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
3.3.2《两点间的距离》教案
3.3.2两点间的距离 三维目标 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式：启发引导式。 教学用具：用多媒体辅助教学。 教学过程： 一， 情境设置，导入新课 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点()(2 122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。 在直角ABC V 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121 2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。 由此得到两点间的距离公式 12PP = 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二，例题解答，细心演算，规范表达。 例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。 解：设所求点P （x ，0），于是有 =由 PA PB =得
22 25411 x x x x ++=-+解得x=1。 所以，所求点P（1，0）且 PA==通过例题，使学生对两点间距 离公式理解。应用。 解法二：由已知得，线段 AB的中点为 1 2 ? ?? Ｍ ，直线AB的斜率为 k= 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ＰＡ＝ ３２３ 线段AB的垂直平分线的方程是 y- 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ ２ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，0）。因此 ＰＡ＝ 三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。） 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２， ＋ｃ() ２２２ ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ 所以，() ２２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以， ２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)
空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
两点间的距离公式
5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. ∴|AB |=212212） （）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ???? ++=++=λλλλ1121 21y y y x x x ，（λ≠－1）. 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，?? ?+='+='. k y y h x x ， 特别提示 1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P 点分21P P 成的比为λ，则OP = λ+111OP +λ λ +12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为 A.y =f （x +1）－2 B.y =f （x －1）－2 C.y =f （x －1）+2 D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C 2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得 ? ? ?-'=-'=????=-'=-'，， k y y h x x k y y h x x
高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》
《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。
2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
《两点间的距离》习题
《两点间的距离》习题 一、选择题 1、点),(b a 到y 轴的距离是( ) A . a B . ||a C . b D . ||b 2、若x 轴上的点M 到原点及点(5，-3)的距离相等，则M 的坐标是( ) A . (-2，0) B . (1，0) C . )0,23 ( D . )0,5 17( 3、已知两点A )sin ,(cos αα，B )sin ,(cos ββ，则线段AB 的长为( ) A . 2sin 2β α- B . 2sin 2β α- C . 2cos 2β α- D . 2cos 2β α- 4、已知两点P )sin ,(cos αα，Q )2sin ,2(cos αα，则|PQ |的最大值是( ) A . 1 B . 2 C . 2 D . 4 5、设点P (a ，b )，Q (c ，d )是直线y =mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于( ) A ．︱a －c ︱21m + B ．︱a ＋c ︱21m + C ．︱b －d ︱21m + D ．︱b ＋d ︱21m + 二、填空题 6、已知A (6，0)，B (-2，6)，则|AB |=__________________. 7、已知A (1，3)，B (-2，8)，C (7，5)三点，则?ABC 的形状是_____________. 8、若点Q 与A (0，1)，B (7，2)及x 轴等距离。则点Q 的坐标为__________________. 9、以E (3，-5)，F (2，2)，G (-5，1)为顶点的三角形的外心的坐标是____________. 10、点P )1,1(2m m -+到x 轴的距离小于3且到y 轴的距离不小于1，则m 的取值范围为__________________. 二、答题 11、已知两点A (2，2)，B (5，-2)，试在坐标轴上找点P 使得∠A P B = 90.
湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式
§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
空间两点间的距离公式 （一）教学目标 1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法 3．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 （二）教学重点、难点 重点：空间两点间的距离公式； 难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 （三）教学设计 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
巩固练习 1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：
|.求MN 的长. 备选例题 例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标. 【解析】由题意设P (0，y ，z )，则
222222 2 (03)(2)(5)(03)(5)(2) y z y z y z +=??-+-+-=-+-+-? 解得：1 1 y z =??=? 故点P 的坐标为(0，1，1) 例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标. 【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =??=? 所以==即4607310y z y z --=??+-=?，所以12y z =??=-?， 所以P 的坐标是(0，1，–2).
空间直角坐标系与两点间的距离
11．6空间直角坐标系与两点间的距离 【知识网络】 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标． 3．探索并得出空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离． 【典型例题】 [例1]（1）在空间直角坐标系中，点（1，2，－3）关于x轴的对称点的坐标是( ) A．（1，－2，3）Ｂ．（－1，2，3）Ｃ．（－1，－2，3）Ｄ．（1，－2，－3） （2）已知点A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则O，A，B三点 A．可以构成直角三角形B．可以构成钝角三角形 C．可以构成锐角三角形D．不能构成三角形 （3）已知线段AB两端点坐标为A（2，－3，4），B（2，5，－3），则与线段AB平行的坐标平面（） A．是xoy平面B．是yoz平面C．是xoz平面D．不存在 （4）点A（1，0，1），AB中点坐标为（3，－4，9），则B点坐标是． （5）与两点M（1，0，0），N（－1，0，0）等距离的点的坐标（x,y,z)满足的条件是． [例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。 [例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），
（1）求面对角线的长度； （2）该三棱柱是否有外接球？若有，求出球的方程，若没有，说明Array理由． [例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．
【课内练习】 1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是( ) ．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0） B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5） C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5） D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0） 3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（） A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆 5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是． 6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于． 7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是． 8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？若能共线，求出a的值；若不能共线，说明理由． 9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是 A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C （4，3，－1）A1（－1，－1，3） 求C1、D1点的坐标．
(完整版)《空间两点间的距离公式》习题
《空间两点间的距离公式》习题 一、 选择题 1、点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yoz 内的射影，则OB 等于（ ） 2、到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点的集合是（ ） A {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 21} B {（x ，y ，z ）|（x-1）2+y 2+z 2=1} C {（x ，y ，z ）|（x-1）+y+z=1} D {（x ，y ，z ）|x 2+y 2+z 21} 3、点P （x ，y ，z ）满足 ，则点P 在（ ） A 以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上 B 以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上 C 以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上 D 无法确定 4、已知三点A （-1，0，1），B （2，4，3），C （5，8，5），则（ ） A 三点构成等腰三角形 B 三点构成直角三角形 C 三点构成等腰直角三角形 D 三点构不成三角形 5、已知A （1-t ，1-t ，t ），B （2，t ，t ），则A 、B 两点间的距离的最小值是（ ） A 5 B 5 C 5 D 115 6、点P(1,3,5)关于原点对称的点/P 的坐标是（ ） A 、(-1,-3,-5) B 、(-1,-3,5) C 、(1,-3,5) D 、(-1,3,5) 7、点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ） A 、 二、填空题 8、已知空间两点A （-3，-1，1），B （-2，2，3），在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距
离相等，则C点的坐标是_____________________。 的三顶点分别为A(3,1,2)，B（4，-2，-2），C（0，5，1），则BC边上的中9、已知ABC 线长为___________________。 10、若P（x，y，z）到A（1，0，1），B（2，1，0）两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是-----------------------。 11、在z轴上与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点C的坐标为----------------------。 12、已知点P在z轴上，且满足|PO|=1（O是坐标原点），则点P到点A（1，1，1）的距离是-----------------------。 三、解答题 13、球到两定点A（2，3，0），B（5，1，0）距离相等的点P的坐标满足的条件。 14、已知A（1，0，1），B（2，-1，0），求线段AB的中垂面的方程 15、若点G到ABC三个顶点的距离的平方和最小，则点G就为ABC的重心。 已知ABC的三个顶点分别为A（3，3，1），B（1，0，5），C（-1，3，-3），求ABC的重心的坐标。
示范教案(4.3.2 空间两点间的距离公式)
4.3.2 空间两点间的距离公式 整体设计 教学分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 三维目标 1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐 标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两 点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？ ⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点 ) [基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题． 1．空间直角坐标系
空间一点M 的坐标可用有序实数组( x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( ) 【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式 阅读教材P 136“练习”以下至P 137部分，完成下列问题． 1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2. 2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2， z 2)间的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________． 【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2 ＝110，
两点间的距离公式
3.3 直线的交点坐标与距离 公式 3.3.2两点间的距离 【教材导读】 一、情景导入 已知平面上点A （1,3），你能求出A 点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？ 二、教材导读 1.两点间距离公式的推导 已知平面上点A （1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形， 由勾股定理可求得A 点与原点O 之间的距离： d == 那么已知平面上任意两点),(111y x P ， ),(222y x P ，是否能用相同方法求得2 1P P 的距离呢？ 阅读教材P 104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式 平面上两点),(111y x P ，),(222y x P 间的距离公式： 由公式可知，原点)0,0(O 与任一点 ),(y x P 的距离22y x OP +=； 3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模 也得到了两点间的距离公式：平面上两点 ),(111y x P ，),(222y x P ，则： （1）122121(,)PP x x y y =--u u u u r （2）12||PP = u u u u r 注意比较两种情形下推证方法. 4. 沙尔定理:设A 、B 是x 轴上任意一条有向线段，O 是原点，OA=1x ，OB=2x ，那么 有AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ：21(,0),AB x x =-u u u r 12(,0),BA x x =-u u u r 于是21||||AB x x =-u u u r 显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的 直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当21P P ⊥y 轴时，21y y =， 1221x x P P -=； （2）当21P P ⊥x 轴时，21x x =， 1221y y P P -=. 请完成自主评价1 【课堂点金】 一、重难点突破 1. 熟悉两点间距离公式 例1．在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点P 在直线20x y -=上， ∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得： 2222 5)82()5(=-+-=a a PM 即0644252 =+-a a 解得3225a a ==或，∴3264 (2,4)(,)55 P 或． ∴直线PM 的方程为 8585 6432482585 55y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+ =--=或 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式. 【变式1】求与A （32，10），B （42，0），
两点之间距离公式教案
数学系 09数本四班 090401426 夏溦 两点之间的距离公式 一、教学目标 1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。 2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。 3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 二、教学重、难点 1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。 三、教学过程 （一）复习式导入： 回顾上一节课提到的存在两点,A B ,若这两点都在X 轴或Y 轴上，两点之间距离是： （1） 若两点都在X 轴上，且已知12(,0),(,0)A x B x -时，有()21AB x x =-- （2） 若两点都在X 轴上，且已知''12(0,),(0,)A y B y -，有21''A B y y =--
（二）讲解新课 如果已知的两点不是都在坐标轴上的，那我们怎么求两点之间的距离呢？ 现在，我们来看一个生活中的实例，通过这个例子来尝试推导出两点之间的距离公式。 生活实例： 同学们都知道中国即将步入3G网络的时代，而且福建省的3G网络铺设已经进入了倒计时。现在有一只工程队要铺设一条网络，连接A，B两城。他们首先要知道两城之间的距离，才能准备材料。他们用全球定位系统将两城的位置在平面直角坐标系中表示出来。现在我们就来试试看能不能帮他们求出A、B两城之间的距离。 在黑板上画出A，B两点，如下图： 那么，我们怎么求出AB之间的距离呢？ 我们来试试看，能不能通过添加一些辅助线，来解答问题呢？ 首先我们作点A关于X轴的垂线，设垂足为A’，再作B关于Y轴的垂线，设垂足为B’；延长AA’和BB’使之交与C点。 如下图： 显然角C等于90度，这样我们就构造出了一个三角形ABC，而我们要求的AB就在这