新课程高中数学分层章节练习题(选修2-3)含答案

《选修2—3》第一章 计数原理

[基础训练A 组]

一、选择题

1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

A ．81

B ．64

C ．12

D ．14

2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）

A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种 3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ） A ．3

3A

B ．3

34A

C ．523533A A A -

D ．23113

23233A A A A A +

4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A.20 B ．16 C ．10 D ．6

5．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人,女生6人 B ．男生3人,女生5人 C ．男生5人,女生3人 D ．男生6人,女生2人.

6．在8

2x ?- ?的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28

D ．28- 7．5(12)(2)x x -+的展开式中3

x 的项的系数是（ ） A.120 B ．120- C ．100

D ．100-

8．22n

x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）

A ．180

B ．90

C ．45

D ．360

二、填空题

1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法. 2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.

4．在10(x 的展开式中，6

x 的系数是 .

5．在220

(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .

6．在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有 个？

7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .

8．从1,3,5,7,9中任取三个数字,从0,2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共有___ 个？

三、解答题

1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.

（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任

取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾，

（3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人，

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻），

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。

3．解方程432(1)140;x x A A = 112

311(2)n n n n n n n n C C C C +--+-+=++

4．已知21n x x ??- ???展开式中的二项式系数的和比7

(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21n

x x ??- ?

?

?展开式中的系数最大的项和系数量小的项.

5．（1）在

n

（1+x ）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？

（2）

n

?

?

的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。

6．已知50

25001250(2)

,a a x a x a x =++++L 其中01250,,,a a a a L 是常数,计算

220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++L L

《选修2-3》第一章 计数原理

[综合训练B 组]

一、选择题

1．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个

2．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( ) A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 3．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于( ) A ．5569n

n A --

B ．15

69n A -

C ．15

55n A -

D ．14

69n A -

4．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.

A.36 B ．72 C ．90 D ．144 5．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ） A ．120 B ．240 C ．280 D ．60

6．把10

(3)i x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（ ）

A ．135

B ．135-

C ．3603i -

D ．3603i

7．2122n

x x ??+ ???

的展开式中，2

x 的系数是224，则2

1x 的系数是（ ）

A.14

B ．28

C ．56

D ．112

8．在3

10

(1)(1)x x -+的展开中，5

x 的系数是（ ）

A.297- B ．252- C ．297 D ．207 二、填空题

1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？ 2．以1239L ，，，这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有 种不同取法.

3．已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有____个.

4．,n k N ∈且,n k >若11::1:2:3,n n n

k k k C C C -+=则n k +=______.

5．5

11x x ??+- ?

?

?展开式中的常数项有

6．在50件产品n 中有4件是次品,从中任意抽了5件,至少有3件是次品的抽法共有______种(用数字作

答).

7．2

3

4

5

(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中的3

x 的系数是___________

8．{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题

1．集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A I B 中有4个元素，集合C 满足 ⑴C 有3个元素； ⑵C

A U

B ；

⑶C I B ≠Φ， C I A ≠φ求这样的集合C 的集合个数.

2．计算：⑴(

)2

973

100

100

101C C

A

+÷；

⑵333

3

4

10C C C

+++L .

⑶1

1

m n m n n m n m n n

C C C C -++--

3．证明：1

1m m m n n n A mA A -++=.

4．求31

(2)x x

+

-展开式中的常数项。

5．从{}3,2,1,0,1,2,3,4---中任选三个不同元素作为二次函数2

y ax bx c =++的系数,问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

6．8张椅子排成,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有多少种?

《选修2—3》第一章 计数原理

[提高训练C 组]

一、选择题

1．若34

6n n A C =，则n 的值为（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

2．某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）

A ．230C 220C 1

46C

B ． 555

503020C C C --

C ．51441

5030203020

C C C C C --

D ． 322330203020C C C C + 3．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）

A ．2264C C

B ．222

64233

C C C A C ．336A

D ．36C

4．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S

的值为（ ）

A.20128

B ．15128

C ．16128

D ．21128

5

．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2

2

02413()()a a a a a ++-+的值为（ ）

A.1

B ．1-

C ．0

D ．2

6．在()n

x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（ ） A.13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,13

7．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个 8．由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ）

A.100 B ．10 C ．9 D ．90 二、填空题

1．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？

2．在△AOB 的边OA 上有5个点,边OB 上有6个点,加上O 点共个点,以这12个点为顶点的三角形有 个.

3．从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数2

y ax bx c =++的系数,,a b c 则可组成不同的函数_______个,其中以y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.

4

．若9

a x ? ?的展开式中3x 的系数为94，则常数a 的值为 . 5．若2222

345363,n C C C C ++++=L 则自然数n =_____.

6．若5

6

711710m m

m

C C C -=

,则8

__________m

C =.

7．5

0.991的近似值（精确到0.001）是_____.

8．已知772

127(12)o x a a a x a x -=++++L ,那么127a a a +++L 等于_____.

三、解答题

1．6个人坐在一排10个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多

少种?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?

2．有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？ 3．求5

4

(12)(13)x x -+展开式中按x 的降幂排列的前两项. 4．用二次项定理证明22

89n C

n +--能被64整除()n N ∈.

5．求证：0212(1)22n

n n n n n C C n C n -++++=+?L .

6． (1)若(1)n x +的展开式中，3

x 的系数是x 的系数的7倍，求n ；

(2)已知7

(1)(0)ax a +≠的展开式中, 3x 的系数是2x 的系数与4

x 的系数的等差中项,求a ;

(3)已知lg 8

(2)x x x

+的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x .

离散型随机变量解答题精选（选修2--3）

1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

⑴第3次拨号才接通电话； ⑵拨号不超过3次而接通电话.

2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.3

1

⑴求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； ⑵求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。

3． 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望

4．某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中

⑴三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ ⑵恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少

5．如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别 为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. ⑴设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ,当6x ≥时, 则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；

⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

6．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为

,4

3

,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.

⑴在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

⑵三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？ 请画出此时电路图，并说明理由.

7．要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： ⑴其中至少有一件废品的概率； ⑵其中至多有一件废品的概率.

8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，⑴求该题被乙独立解出的概率；

⑵求解出该题的人数 的数学期望和方差

9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？

10．有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． ⑴求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；

⑵求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．

11．高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.2

1

⑴根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？

⑵高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？

12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. ⑴摸出2个或3个白球 ⑵至少摸出一个黑球.

新课程高中数学训练题组参考答案

《选修2-3》 第一章 计数原理 [基础训练A 组]

一、选择题

1．B 每个小球都有4种可能的放法，即44464??=

2．C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1

2

45C C ；（2）甲型2台，乙型1台：2

1

45C C

1221

454570C C C C +=

3．C 不考虑限制条件有55A ，若甲，乙两人都站中间有2333A A ，523

533A A A -为所求 4．B 不考虑限制条件有25A ，若a 偏偏要当副组长有14A ，21

5416A A -=为所求 5．B 设男学生有x 人，则女学生有8x -人，则213

8390,x x C C A -=

即(1)(8)30235,3x x x x --==??=

6．A 14888883

3

18

8811()((1)()(1)()222r r r r r r r r r r r r r x T C C x

C x ------+==-=- 令6866

784180,6,(1)()732r r T C --===-=

7．B 5553322

55(12)(2)2(12)(12)...2(2)(2)...x x x x x C x xC x -+=-+-=+-+-+

2333

55(416)...120...C C x x =-+=-+

8．A 只有第六项二项式系数最大，则10n =，

55102110

1022()2r r r

r r r r T C C x x --+==，令2

310550,2,41802

r r T C -==== 二、填空题

1．（1）10 3510C =；（2） 5 455C =；（3）14 44

6414C C -= 2．8640 先排女生有46A ，再排男生有44A ，共有44

648640A A ?=

3．480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有14A ，其余的有55A ，共有15

45480A A ?=

4．1890 10110(r r

r r T C x -+=，令46

6510

106,4,91890r r T C x x -==== 5．1530

204,C x - 41

1152151530

20

20162020,41120,4,()r r C C r r r T C x C x -+=-++===-=-

6．840 先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有25A ，其余的27A ，共有22

57840A A ?= 7．2 当0x ≠时，有4

424A =个四位数，每个四位数的数字之和为145x +++

24(145)288,2x x +++==；当0x =时，288不能被10整除，即无解

8．11040 不考虑0的特殊情况，有32555512000,C C A =若0在首位，则314

544960,C C A =

325314

5555441200096011040C C A C C A -=-=

三、解答题

1．解：（1）①是排列问题，共通了211110A =封信；②是组合问题，共握手2

1155C =次。

（2）①是排列问题，共有21090A =种选法；②是组合问题，共有2

1045C =种选法。

（3）①是排列问题，共有2856A =个商；②是组合问题，共有2

828C =个积。 2．解：（1）甲固定不动，其余有66720A =，即共有6

6720A =种；

（2）甲有中间5个位置供选择，有15A ，其余有66720A =，即共有16

563600A A =种；

（3）先排甲、乙、丙三人，有3

3A ，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排

列，即55A ，则共有53

53720A A =种；

（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有25A ，甲、乙可以交换有2

2A ， 把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，

则共有224

524960A A A =种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有4

4A ，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

这五个空位，有35A ，则共有34

541440A A =种；

（6）不考虑限制条件有7

7A ，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，

即

7

7125202

A =种； （7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有4

7A ，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到

矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即4

7840A =

（8）不考虑限制条件有77A ，而甲排头有66A ，乙排当中有66A ，这样重复了甲排头，乙排当中5

5A 一

次，即765

76523720A A A -+=

3．解：43

212143(1)140(21)2(21)(22)140(1)(2)x x x x A A x N x x x x x x x ++≥??≥?=??∈??+--=--?

23(21)(21)35(2)3435690x x N

x x x x x N

x x ≥??

?∈??+-=-?

?≥?

?∈??-+=?

得3x =

22122122

311222122

(2),(1)

,2,4

2

n n n n n n n n

n n

C C C C C C C C n n C

C n n +++++++=+++=+-=+==

4．解：722128,8n n -==，8

21x x ??- ??

?的通项281631881()()(1)r r r r r r

r T C x C x x --+=-=-

当4r =时，展开式中的系数最大，即4

570T x =为展开式中的系数最大的项；

当3,5r =或时，展开式中的系数最小，即7

2656,56T x T x =-=-为展开式中

的系数最小的项。

5．解：（1）由已知得25

7n n C C n =?=

（2）由已知得1351

...128,2128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式

系数最大项是44

4418(70T C x +== 6

．解：设50

()(2)f x =，令1x =

，得5001250(2a a a a ++++=L

令1x =-

，得5001250(2a a a a -+-+=L

220245013549()()a a a a a a a a ++++-++++=L L

50500125001250()()(2(21a a a a a a a a ++++-+-+==L L

《选修2-3》第一章 计数原理 [综合训练B 组]

一、选择题

1．C 个位12A ，万位13A ，其余33A ，共计113

23336A A A = 2．D 相当于3个元素排10个位置，3

10720A =

3．B 从55n -到69n -共计有15个正整数，即15

69n A -

4．A 从,,,c d e f 中选2个,有24C ,把,a b 看成一个整体,则3个元素全排列,33A ,共计23

4336C A = 5．A 12

58(4)120C C -=

6．

D 7

377810)()T C x =-=

，系数为

7．A 22221221(2)()22r n r r n r r n r r n n T C x C x x ---+==,令222,1n r r n -==-,则211222224,56,4n n n n C C n --===,再令3

2862

14822,5,4C r r T x x --=-===

8．D 310103105255

1010(1)(1)(1)(1)()...207...x x x x x C C x x -+=+-+=-+=+

二、填空题

1．2n 每个人都有通过或不通过2种可能，共计有22...2(2)2n

n ???=个

2．60 四个整数和为奇数分两类：一奇三偶或三奇一偶，即1331

545460C C C C += 3．23 112

342123C C A -=，其中(1,1)重复了一次

4．3 1,2n k ==

5．51- 5

1()1x x ??+- ?

??

的通项为5255(1)r r r r r r C C x ----,令'

520r r --= 得'52

r r -=，当1r =时，'2r =，得常数为

30-；

当3r =时，'

1r =，得常数为20-；当5r =时，'0r =，得常数为1-；30(20)(1)51∴-+-+-=- 6．4186 3件次品，或4件次品，3241

4464464186C C C C +=

7．15 原式56

(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x

-+--+-==

+-,6(1)x -中含有4x 的项是24246(1)15C x x -=,所以展开式中的3x 的系数是15

8．105 直接法:分三类,233241454545105C C C C C C ++=；间接法：5541

9554105C C C C --=

三、解答题

1．解：A B U 中有元素710413+-= 333

1363286201265C C C --=--=。

2．解：（1）原式32

333333101100

100

101

101

101

1013331()16

A C

C

A

C

A

A A A =+÷=÷=÷=÷=。 （2）原式34444444

35465111011330C C C C C C C C =+-+-++-==L 。

另一方法： 43333344510510C C C C C C =++++=+L L 原式433434

6610101011330C C C C C C =+++==+==L L

（3）原式111111m m m m m n n n n n m

m m m n n n n

C C C C C C C C C ----+=-=+-= 3．证明：左边!!(1)!!()!(1)!(1)!n m n n m n m n n m n m n m ?-+?+?=+=--+-+1(1)![(1)]!

m n n A n m ++===+-右边, 所以等式成立。

4．解：633

(1)1(2)x x x

x

-+-=，在6(1)x -中，3x 的系数33

6(1)20C -=-就是展开式中的常数项。

另一方法：

6=原式，3

346(1)20T C =-=-

5．解：抛物线经过原点，得0c =，当顶点在第一象限时，00,0,0

2a b a b a

?

>?即，则有1134C C 种； 当顶点在第三象限时，00,0,0

2a b a b a

>?>-

>?即，则有24A 种；共计有11234424C C A +=种。 6．解：把4个人先排，有4

4A ，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位

当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有25A ，所以共计有42

45480A A =种。

《选修2-3》 第一章 计数原理 [提高训练C 组]

一、选择题

1．B

!!

6,34,7(3)!(4)!4!

n n n n n n =?-==--?

2．D 男生2人，女生3人，有233020C C ；男生3人，女生2人，有32

3020C C

共计2332

30203020C C C C +

3．A 甲得2本有26C ，乙从余下的4本中取2本有24C ，余下的22C ，共计22

64C C 4．B 含有10个元素的集合的全部子集数为10

2S =，由3个元素组成的子集数

为3

10T C =，

3

1010152128C T S == 5．A 22

024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+

44

(2(21=+?=

6．D 分三种情况：（1）若仅7T 系数最大，则共有13项，12n =；（2）若7T 与6T 系数相等且最大，则

共有12项，11n =；（3）若7T 与8T 系数相等且最大，则共有14项，13n =，所以n 的值可能等于11,12,13

7．D 四个点分两类：（1）三个与一个，有1

4C

；

（2）平均分二个与二个，有2

4

2

C 共计有21

4

4

72

C C += 8．

D 复数,(,)a bi a b R +∈为虚数，则a 有10种可能，b 有9种可能，共计90种可能

二、填空题

1．9 分三类：第一格填2，则第二格有1

3A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；

第一格填3，则第三格有1

3A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；

共计有1

339A =

2．165 333

1267165C C C --=

3．180,30 0a ≠，111665180C C C =；2

60,30b A ==

4．4

3999219

9()((1)2r r r r r

r r r r a T C a C x x ---+==-，令

393,82

r r -==