数学联赛考前练习题五套
高中数学奥林匹克模拟真题(三)
一、填写题
1.由10个元素组成的集合}11
,2,19,91,36,25,0,1,99,1{----=M ,记M 的所有非空子集为i M ,1023,2,1 =i ,每一个i M 中的所有元素之积为i m ,则
∑=1023
1
i i
m
= .
2.○
·O 的半径为7,D,B,C 为○·O 上的三点, 120= 3.已知sin )10cos()10cos()20( -++=+x x x ,则tan x = . 4.若实数x ,y 满足1442 2=-y x ,则x y x -21的取值范围是 . 5.所有能使]5 [2 n 为质数的正整数n 的倒数和为 . 6.已知函数)123(log )(2 -++-=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义,则实数a 的 取值范围是 . 7.设三位数abc n =,若c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,这样的三位数n 有 个. 8.一个正三梭锥的体积为 3 2 ,则它的表面积的最小值为 . 二、解答题:共56分,第9题16分,第10、11题各20分. 9.设点Z 是单位圆12 2 =+y x 上的动点,复数W 是复数Z 的函数:2 ) 1(1 Z W +=,试求点W 的轨迹。 10.设二函数)(x f y =的图象过点)0,0(O ,且满足26)(132 +≤≤--x x f x .数列 }{n a 满足:)(,3 1 11n n a f a a ==+. (1)确定)(x f 的表达式; (2)证明:n n a a >+1; (3)证明: 335.01 11-≥-+=∑n n i i a . 11.已知+ ∈R c b a ,,,且满足22)4()(c b a b a c b a kabc ++++≥++,求k 的最小值. 第二试 一、(本题满分40分)如图1,半径为为R 的○·O 经过ABC ?的顶点A 、B ,且分别与边CA 、CB 交于点D 、E ,AE 与BD 交于点P.求证:2 2222R PC OP OC =-+. 二、设正实数a 、b 、c 满足333c b a =+,证明: 2 22c b a -+ 三、(本题满分50分)设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点,其中p 为素数,求满足下列条件的直角三角形的个数: (1)三角形的3个顶点都是整点,而且M 是直角顶点; (2)三角形的内心是坐标原点. (四)(本题满分50分)求所有的非零整数b a b a ≠,,,使得:可以把整数集分拆为3个子集,使得对每个b n a n n n ++、、,分别属于这3个集合. 图1 A 高中数学奥林匹克模拟真题(三)答案 一、填空题: 1.—1. 19(·)191(·)136(·)125(·)10(·)11(·)199(·)11(10231 +-+-+++-++=∑=i i m 11)111(·)12(·)1-=-++-+. 2.4. 连接BC .OBC ?中,由余弦定理可得 21120cos ·7·7·2)7()7(22=-+= BC . 设x DB =,则1+=x DC . 在OBC ?中,由余弦定理可得 60cos ·)1(·· 2)1()21(2 22+-++=x x x x ,解得4=x 或5-=x (舍去). 3.3. 由已知等式可得 10cos cos 220sin cos 20cos sin x x x =+,所以 20 cos 20sin 10cos 2tan -=x 又 20sin )2030cos(220sin 10cos 2--=- 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 2-+= 20cos 320sin 20sin 20cos 3=-+=,所以320 cos 20cos 3tan == x . 4.(—1,1). 令)2 ,2(,tan 2,sec 2π πθθθ-∈==y x , 则 θθsin cos 21 122 -=-x y x )1,1()1(sin 2 1 12-∈+-=θ. 5.60 37. 3,2,1=n 时,]5[2n 都不是质数;4=n 时,3]5[2=n 是质数;5=n 时5]5[2 =n 是质 数;6=n 时,7]5 [2 =n 是质数. 当8≥n 时,可设r k n ±=5(其中k 为不小于2的正整数,1,0=r ,或2)则 )25(51 )5(5152222r kr k r k n +±=±=25 1)25(r r k k +±=, 所以)25(]5[2r k k n ±=,因为2≥k ,所以225>±r k ,所以)25(]5 [2 r k k n ±=不 是质数. 因此,能使]5[2 n 为质数的正整数n 只有4,5,6,它们的倒数和为60 37615141=++. 6.),1()1,2 1 [+∞ . 显然0>a 且1≠a . 由题意知01232 >-++-a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立,即2 1 32 --> x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立. 令213)(2--=x x x g ,则2 22) 2(6 23)(--+-='x x x x g ,显然,对一切]1,0(∈x ,0)(<'x g ,所以函数21 3)(2--= x x x g 在]1,0(上单调递减,因此,当]1,0(∈x 时,)0()()1(g x g g <≤,即21)(2<≤-x g .因此,2 1 ≥a . 综合可知:实数a 的取值范围是),1(]1,2 1 [+∞ . 7.165. 因为c b a ,,为边长,且分别是n 的百位数字,十位数字和个位数字,所以 }9,3,2,1{,, ∈c b a . (1)如果以c b a ,,为三条边的长构成等边三角形,则c b a ==,这样的三位数n 有9个; (2)如果以c b a ,,为三条边的长构成等腰(非等边)三角形,则c b a ,,中恰好含有两个不同的数码,不妨设为)(,B A B A >.这时,又有两种情况: ①三个数为B A A ,,,这样的三位数n 有10832 9=C 个; ②三个数为B B A ,,,则B A B 2<<,列表可知有如下16种可能. 个. 综上可知,满足条件的三位数n 共有9+108+48= 165 个. 8.3 2· 32. 设三棱锥的底面正三角形的边长为a ,斜高为h ,侧面与底面而所成角θ,易知 θcos 32h a =,正三棱锥的高θ=H . 因为正三棱锥的体积为 3 2 ,所以32·43·312=H a , 32sin ·)cos 32(·43·312=θθh h ,所以θ θ23 cos ·sin ·332=h . 正三棱锥的表面积 ah a S ·2 1 ·3432+= h h h ·cos 32·2 1·3)cos 32(·432θθ+= )cos 1(cos 332θθ+=h . 3363)cos 1(cos 381θθ+=h S 3322)cos 1(cos )cos ·sin ·332 ( ·381θθθ θ+= θ θθcos ·)cos 1()cos 1(· 362 -+= )1cos cos cos 31( ·362--+=θ θθ , 记θθ θθcos 31cos cos )(2+-=f ,令θcos 31+=t ,则)1(31cos -=t θ, t t t t g f 2 )]1(31 [)1(31)()(---==θ )4(9195t t +-= t t 4·2·9195-≤ 9 1= , 当且仅当2=t ,即3 1 cos = θ时取等号. 因此,348)19(· 363=-≥S ,所以32·32≥S ,故S 的最小值为3 2·32. 二、解答题: 9.1||=Z ,∴设θθsin cos i Z +=,?? ? ?? +=+2sin 2cos 2cos 21θθθi Z 。令yi x W +=,则 () 2 2 2 2sin 2cos 2cos 41 11 ?? ? ?? +=+= +θθθi Z yi x ()()θθθ θθθ sin cos 2cos 41 sin cos 2cos 41 22i i -= += 。 2cos 4cos 2θθ=∴x ①,2 cos 4sin 2 θθ-=y ② ②÷①得 x y tg -=θ ③ 从②得2212 cos 42cos 2sin 22 θθθθtg y -=- =。 y tg 22-==∴θ,代入③得224142 122y y tg tg x y --=-=-θθ。 4 1 2+-=∴x y 。 这里由于01≠+Z ,所以)()12(Z n n ∈+≠, πθ,在0≠y 时,导出轨迹方程。但当πθn 2=时,0=y ,41= x ,故轨迹过点??? ??0,41,而点?? ? ??0,41在此抛物线上。 10.(1)设c bx ax x f ++=2 )(,由0)0(=f 可得0=c . 由26132 +=--x x 可得1-=x ,故4)1(-=-f ,即4-=-b a ,所以 bx x b x f +-=2)4()(. 再由26)(+≤x x f 恒成立可得2=b ,故x x x f 22)(2 +-=. (2)n n n n a a a f a 22)(2 1+-==+,311= a ,下用数学归纳法证明)2 1,0(∈n a . ①1=n 时显然成立; ②假设k n =时,)21,0(∈k a ,则1+=k n 时,)21 ,0(21)21(221∈+ --=+k k a a . 综上,+ ∈N n 时,)21,0(∈k a . 故)81 ,0(81)41(221∈+--=-+n n n a a a ,即n n a a >+1. (3)由(2)知,)21,0(21),21,0(∈-∈n n a a ,且2 1)2 1(221n n a a -=-+. 即)21 (212lg )21lg(1n n a g a -+=-+. 故]2lg )2 1 [lg(22lg )21lg(1+-=+-+n n a a . 所以 1 23 22 11-?=-k n a . 易证k k ≥-1 2,故 k n k a 32322 111 2 ?≥?=--, 从而 )333(25.01 211 n n i i a +++?≥-∑= 331-=+n . 11.因为2 2 )4()(c b a b a ++++2 2 )]2()2[()(c b c a b a +++++= 22)2222()2(bc ac ab ++≥ab c bc ac ab 16884+++=. 所以 ) (16884)()4()(22c b a abc ab bc ac ab c b a abc c b a b a +++++≥++?++++))(16881(c b a ab a b c +++++= )2 222)(111121( 8c b b a a ab ab a b c ++++++++= )2 5()215(8542 2522c b a c b a ?≥100=. 故c b a ab c c b a b a ++≥++++100)4()(2 2,当02>==c b a 时等号成立. 由已知条件 22)4()(c b a b a c b a kabc ++++≥++,所以k 的最小值为100. 第二试参考答案 一、如图2所示,过点C 作○ ·O 的两条切线,切点分别为M 、N ,连结MA 、MD 、NB 、NE 、DE . 易证CDM ?∽CMA ?,CEN ?∽CNB ?,CDE ?∽ CBA ?. 于是 CD CB CE AB CB CN BN NE CM CD MA DM ===,,. 由切线长定理知CN CM =,所以 1=??=??CD CB CB CN CM CD ED NE BN AB MA DM ,于是由塞瓦定理可知AE 、BD 、MN 相交于点P. 又MN ⊥CO ,所以2222222R R OC NO NC PO PC --=-=-, N 图2 即2 2222R PC OP OC =-+. 二、证 因为3 3 3 c b a =+是齐次等式,所以,不妨假设1=c .则 .1))((12233=-++?=+ab b a b a b a 设t ab s b a ==+,则 s s t t s s 31 31)3(22 -=?=-.而))((6222b c a c c b a -->-+ )1(6122ab b a b a +-->-+? t s t s 666122+->--? 07862>--+?t s s 073138622 >-??? ? ??--+?s s s s 021********>-+-+?s s s s 082118523<-+-?s s s 0)85()1(2<--?s s . 若085≥-s ,即58≥+b a ,则1125 128 2213 33>= ??? ??+≥+=b a b a ,矛盾. 故0)85()1(5 82 <--? 三、如图3所示,关于OM 的中点Q 作中心对称,满足条件的直角三角形变为以O 为直角顶点、M 为内心的直角三角形OAB ,A 、B 仍是整点. 直线OM 的斜率为7tan =β,直线OA 斜率为 4 3 tan 11tan )45tan(tan =+-= -=βββα ,直线OB 的斜率为 3 4- . 由此可设点A 的坐标为)3,4(t t ,点B 的坐标为(-3s,4s ), 从而知t t t 34-=,s s s 43+-=都是整数. 设ABC ?的内切圆半径为r ,则 200257120022 2 2222?=+??== p p OM r . 又如225,5,5s t AB s OB t OA +===,r AB OB OA 2=-+,所以 20025255522??-+=+p s t s t , 即2 2 2 2 2 20024)(20024)(?++??-+=+p s t p s t s t ,整理得 2220022)4004)(4004(?=--p p s p t 图3 22223131172p ????=,由于r s r t 25,25>>,所以04004,04004>->-p s p t . 所以所求三角形个数等于2 2 2 2 3 131172p ????的正因子个数. 当13,11,7,2≠p 时,有324)12)(12)(12)(12)(13(=+++++个直角三角形符合题意; 当2=p 时,有162)12)(12)(12)(15(=++++个直角三角形符合题意. 当7=p ,或11,或13时,均有(3+1)(4+1)(2+1)(2+1)=180个直角三角形符合题意. 四、设r b a =),(,考虑r b b r a a ='= ',,则)3(mod 2≡'?'b a 为所求充要条件. 先证充分性.当)3(mod 2='?'b a 时,考虑这样的3个t t kr n n A i ≤+==0,|{ 1-≤r 且)3,2,1)}(3(mod =≡i i k ,则自然数集被分拆为3个集合1A 、2A 、3A . 下证这样的分拆满足条件. 设)10(-≤≤+=r t t kr n ,则t r b k b n t r a k a n +'+=++'+=+)(,)(. 由于)3(mod 2≡''b a .所以0、a '、b '构成模3的完全剩余系,所以b k a k k '+'+,,构成模3的完全剩余系,所以b n a n n ++、、在不同的子集中. 设321,,A b r n r A a r n r A n r ∈'+'∈'+'∈',可知,2A b r a r n r ?'+'+'+'+'a r n r 3A b r ?',所以1)'''(A b a n r ∈++. 又21)'2'(,)'2'(A a n r A a n r ?+?+,所以3)'2'(A a n r ∈+. 同理可得:1)'3'('A a n r ∈+,从而1)'3'(A la n r ∈+,其中Z ∈l . 同理,1)'3'(A kb n r ∈+,从而1)'3'3'(A kb la n r ∈++,其中Z ∈k l ,. 若'|3a ,则由裴蜀定理知存在Z ∈k l ,,使得3 '''a kb la =+,从而φ=∈+21)'(A A a n r ,矛盾!所以'3a ?. 同理可证:''3,'3b a b -??. 于是有''0b a 、、模3互不相同,则)3(mod 2''≡b a . 必要性获证. SSAT考试数学练习题(1) 1. Add 0.98 + 45.102 + 3 2.3333 + 31 + 0.00009 A. 368.573 B. 210.536299 C. 109.41539 D. 99.9975 E. 80.8769543 2. Find 0.12 ÷ 1 A. 12 B. 1.2 C. .12 D. .012 E. .0012 3. (9 ÷ 3) x (8 ÷ 4) = A. 1 B. 6 C. 72 D. 576 E. 752 4. 6 x 0 x 5 A. 30 B. 11 C. 25 D. 0 E. 27 5. 7.95 ÷ 1.5 A. 2.4 B. 5.3 C. 6.2 D. 7.3 E. 7.5 6. -32 + 7 equals: A. -25 B. 25 C. -26 D. 26 E. 27 7. -37 + -47 equals: A. 64 B. -84 C. 65 D. -75 E. -66 8. 41% equals: A. 4.1 B. .41 C. .041 D. .0041 E. .00415 答案:1.B 2.C 3.B 4.0 5.B 6.A 7.B 8.B 1. Round 907.457 to the nearest tens place. A. 908.0 B. 910 C. 907.5 D. 900 E. 907.46 2. At a certain high school, the respective weights for the following subjects are: Mathematics 3, English 3, History 2, Science 2 and Art 1. What is a student's average whose marks were the following: Geometry 89, American Literature 92, American History 94, Biology 81, and Sculpture 85? A. 85.7 B. 87.8 C. 88.9 D. 89.4 E. 90.2 数一模拟一题目 (7) 设X 与Y 相互独立, 12(),()f x f y 及12(),()F x F y 分别是概率密度与分布函数,则max(,)Z X Y =的概率密度函数为( ) (A) 12()()f x f x (B) 1122()()()()f x F x f x F x + (C) 12()()f x f x + (D) 1221()()()()f x F x f x F x + 数一模拟二 选择题 (3)设221 ln ()d ()d x x e v F x v f v u --=?? ,则()()( )xF x F x '''-= (A )2 ()x f e - (B )2 2 22()x x x e f e --- (C )2 2 34()x x x e f e --- (D )2 2 34()x x x e f e -- 数一数三(模三) 答案(15)【解】令0x →可得(1)(1)0,(1)0f ef f -==,22 0(cos )(ln()) lim x f x ef e x x →-+ 2 220[1ln(1)](1)(1cos 1)(1)3lim (1)22→??++-+--' ?=-=-= ??? x e x f f f x f e f x x ,所以 4(1)3f '=-,()f x 为偶函数,()f x '为奇函数,从而有(1)0-=f ,4 (1)3 f '-=,故 所求的切线方程为4 (1)3 y x =+. 数一模拟三题目 (22)设随机变量(,)ξη的联合分布律如表所示, 令max{,},min{,}X Y ξηξη== 试求:(I )(,)X Y 联合分布律; (II )协方差(,2)Cov X X Y +;(III )1Y =-时,X 的条件分布律. 数一模拟三题目 (13) 设A 为三阶矩阵,其特征值为12321λλλ=-==,,其对应的线性无关的特征 向量为123,,ααα,令)2,,4(32321ααααα+-=P ,则P E A P )3(1+*-为 数三题目模拟三 (19) (本小题满分 10 分) 计算积分σd y x x I D ),max (2??=,其中D:10≤≤x ,11-≤≤y η ξ -1 0 1 -1 0.1 0.2 0.1 1 0.4 0.1 0.1SSAT考试数学5套题+答案
合工大共创五套题勘误