均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法
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用均值不等式求最值的方法和技巧
一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈??
? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；
④)(333
3+
∈??
? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b
ab +≤≤≤
2
2
2b a +。 一、拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数3
2
1y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()2
2
2111111y x
x x x x x x =-+++=+-=+-
()()3
11111322241422327x x x x x x ++??
++- ?++=???-≤=
? ?
??
。 当且仅当
112x x +=-，即13x =时，上式取“=”
。故max 32
27
y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，
求“积”的最大值。 例2 求函数()2
2101y x
x x =-<<的最大值。
解：()()22
4
2
214122
x x y x x x =-=???-。
因()()3
2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤=
? ? ?
??
，
当且仅当()2212
x x =-，即6
3x =时，上式取“=”。故max 239y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()
()()2
2
2
222236418244y x
x x x x =-=?--
()()3
2223
24418818327x x x ??+-+-???≤=????
。
当且仅当()
2224x x =-，即23
3
x =
时，上式取“=”。 故max
3
2
18827
y ?=，又max 3230,3y y >=。
二、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
例4 (1)已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值 (2)设1x >-，求函数()()521
x x y x ++=
+的最小值。
解：()()()
141144
152
15911
1
x x y x x x x x ++++????????=
=+++≥++=+++g 。 当且仅当1x =时，上式取“=”。故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定
积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()
()
2
2413x y x +=
+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>Q ，()
()
()()2
24124
24
34
224
1414
141
x y x x x x +∴=
=
≤
=?+++++++
++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法
将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x
y x
-=
的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<
<，令tan 2
x
t =，则0t >。 所以211cos 1131323sin sin 22222
x t t t
y t x x t t t -+=
+=+=+≥=g 。 当且仅当
1322
t
t =，即3,33t x π==时，上式取“=”。故min 3y =。 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的
环境。
三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围 四、拼凑常数降幂
例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=Q g g g g 。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”
， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：3
3
3
3
3
3
311,311,311,x x x x y y y y x y x y ???≤++???≤++???≤++Q
()
()
3333333322115177573
3
x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤
=
=。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故2
2
5x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：3
3
3
3
3
3
131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥???++≥???++≥???Q ，
()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又322233ab bc ca a b c ++≥=Q ， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、拼凑常数升幂
例10 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证55543a b c +++++≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是1
3
a b c ===
，故应拼凑
16
3
，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 证明：()()()161616161616255,255,255333333
a a
b b
c c +≤+++≤+++≤++Q g
g g g g g ， (
)
()16
25553132.55543
3
a b c a b c a b c ∴+++++≤+++=∴+++++≤g
当且仅当1
3
a b c ===
时，上述各式取“=”，故原不等式得证。 例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：3
3
3
3
3
3
31111,31111,a a b b ??≤++??≤++Q g
g ()3334a b a b ∴+≤++。 又33
2,2a b a b +=∴+≥Q 。当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、约分配凑
通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28
,,0,1x y x y
>+=，求xy 的最小值。
解：2
22846446413223264y x y x
xy xy xy x y x y x y ??==+=++≥+= ?
??
g g g 。 当且仅当
281
2
x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。 例13 已知01x <<，求函数41
1y x x
=
+
-的最小值。 解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()41414
1159111x x y x x x x x x x x -??=
+=+-+=++≥?? ???---??
。 当且仅当
()411x x x x -=-时，即2
3
x =，上式取“=”，故min 9y =。 例14 若,,a b c R +
∈，求证
()2221
2
a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。 分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时
22
a a
b c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4
b c
+为拼凑的需要而添，解题可见眉目。
证
明
：
2222222,2,2444444
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
a b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++Q g g g ()2221
2
a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。七、引入参数拼凑
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149
x y z
++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y z
λλλλλ??????
∴++=+++++-=+++++- ? ? ??????? 24612λλλλλλ≥++-=-。当且仅当
149
,,x y z x y z
λλλ===同时成立时上述不等式取“=”， 即1
2
3
,,x y z λ
λ
λ
=
=
=
，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时1236λλ-=，故
149
x y z
++的最小值为36。
八、 引入对偶式拼凑
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ???为互不相等的正整数，求证
3122222
1111
123123n a a a a n n
+++???+≥+++???+。 证明：记3
122222
123n n a a a a b n
=
+++???+，构造对偶式1231111n n d a a a a =+++???+， 则
3122222
1231111111
12123123n n n n a a a a b d a a a n a n ??????????+=++++++???++≥+++???+ ? ? ? ? ???????????
， 当且仅当(
)
,i a i i N i n +
=∈≤时，等号成立。又因为12,,,n a a a ???为互不相等的正整数，
所以1111123n d n ≤+
++???+，因此1111
123n b n
≥+++???+。 评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
九、确立主元拼凑
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ?中，证明1cos cos cos 8
A B C ≤
。 分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。
证明：当cos 0A ≤时，原不等式显然成立。
当cos 0A >时，()()1
cos cos cos cos cos cos 2
A B C A B C B C =
++-???? ()1
cos cos cos 2
A B C =--??
[]co 11cos 1cos 22A A ?≤-≤??
。
当且仅当cos()1
cos 1cos B C A A
-=??
=-?，即ABC ?为正三角形时，原不等式等号成立。
综上所述，原不等式成立。
评注：变形后选择A 为主元，先把A 看作常量，B 、C 看作变量，把B 、C 这两个变量集中到cos()B C -，然后利用cos()B C -的最大值为1将其整体消元，最后再回到A 这个主元，变中求定。
用均值不等式求最值的类型及方法
高三理应培优 （用均值不等式求最值的类型及解题技巧） 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 （技巧1：凑项）解：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- x a b ab 2-ab 2a b - o y
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=” 号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+>-的最小值。 解析： 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 1 ≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23 (32)(0)(32)2 y x x x x x x =-<<=??-
均值不等式求最值的常用技巧及习题
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 2 2 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 33 3 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④) (333 3 +∈? ? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+ 2a b ab +≤≤≤ 2 2 2 b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<，求函数3 2 1y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 22 111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ??? 。
当且仅当1 12x x +=-，即13 x =时，上式取“=”。故max 3227 y = 。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因 ()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当 ()2 212 x x =-，即3x =时，上式 取“ =”。故max 9 y = 。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()2 64y x x =-的最大值。 解：()()()2 2 2 22 2 2 36418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-?? ?≤=???? 。 当且仅当()2 2 24x x = -，即3x =时，上 式取“=”。
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
利用基本不等式求最值的类型及方法
利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,b a ，[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 30,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立，故 23 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2 (22 2b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x
解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
三元均值不等式求最值及绝对值不等式
三元均值不等式求最值 三元均值不等式： 例1、求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值 例2、求函数)01y x x =<<的最大值。 例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 练习： 1、求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值。 2、0>x 时，求236x x y += 的最小值。 3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-= 的最大值。 4、若10<
绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
利用均值不等式求最值
专题：利用均值不等式求最值 基本公式: 1.x ，y ∈R +，x+y ≥2xy （当且仅当x =y 时取“=”号） 2.x ，y ∈R +，xy ≤2()2x y +（当且仅当x =y 时取“=”号） 3. 222()22x y x y ++≤（当且仅当x =y 时取“=”号） 题型1：和型b ax x +的最值 例1.⑴若x >3,求函数1y x =+的最小值； ⑵若x >3,求函数231x y x +=-的最小值； 解: ⑴11333533y x x x x =+=-++≥=-- 当且仅当133x x -=-,即4x =时,等号成立. ⑵223134411261111 x x y x x x x x x +-+===++=-++≥---- 当且仅当411x x -=-,即3x =时, 等号成立. 点评：用均值求最值时，要注意“一正．．，二定．．，三相等．．． ” 练习:若0x <,求函数133y x x =+的最大值. 例2. 求函数2y 的最小值. 解 :2y 设2)t t ≥,则1y t t =+在[2,)+∞上单调递增, ∴当2t =,即0x =时,y 有最小值52 练习:该题不能使用均值不等式求最值(等号不成立) 错解: 22y 【练习】若k θπ≠,求函数24 sin sin y θθ=+的最小值. 题型2：积型()ax c dx -的最值 例3.⑴若0
运用均值不等式的八类配凑方法_
运用均值不等式的八类拼凑方法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y == 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当()2212x x =-，即3 x =时，上式取“= ”。故max 9y =。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 解：() ()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-???≤=???? 。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧 【基本知识】 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； )(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=” 号成立. 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。
【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 3：设2 3 0<
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 解析：y x 1 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 2(x L 2LJ 2 1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ①a 2 b 2 2ab ab a 2 b 2 (a 、 x 1 x 1 33 立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 2(x 1) ③a 3 成立? 注: 二、函数 b 3 2 ab ab 2 (a 、 当且仅当 b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2(x 2(x 1)2 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 - 2 3 c 3 3abc abc — b 3 c 3 3 -(a 、 b 、 R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： 3 3 ----- abc , b c 3v abc abc ---------------- (a 、 3 ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: ② 熟悉一个重要的不等式链: ab f(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、 0性质: ①值域: ,2 ab] [2 ab,); R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号 定 、三 等 ; 2 2 a b J -------------- 2 ①y x 2 解析：①Q 0 ?- y (3 2x)(0 x x - ,? 3 2 当且仅当 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 (3 2x)(0 ②单调递增区间：( );单调递减区间: :], (0, ］ ， ,0). 2x x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 sin 2 x sin 2 x .2 sin x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 coSx 2cos x (0 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 二 -------- —) 刃 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f (x) (0 x 1)的最小值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：(单调性法)由函数 f(x) K ax 一(a 、b 0)图象及性质知，当 x (0,1］时，函数 x 例1、求函数y x 1 2(x 1)的最小值。 2(x 1)2 f (x) x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则
均值不等式方法及例题
均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑1. 凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当且仅当，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。 解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。 ∵∴ 当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离例3. 求的值域。 解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。 当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方例6. 求函数的最大值。 解析：注意到的和为定值。 又，所以当且仅当，即时取等号。故。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 1. 若，求的最大值。 2. 求函数的最小值。 3. 求函数的最小值。 4. 已知，且，求的最小值。 参考答案：1. 2. 5 3. 8 4.
用均值不等式求最值的方法和技巧
几个重要的均值不等式 ①，、)(222 22 2R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+2a b +≤≤≤22 2b a +。 三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数2216 32y x x =++的最小值. 2、 配系数（乘、除项） 例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求 lg lg x y +的最大值.
3、 裂项 例3 已知1x >-，求函数 ()()521x x y x ++=+的最小值. 4、 取倒数 例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 5、 平方 例5 已知0,0x y >>且2 2 283y x += 求. 6、 换元（整体思想）
例6 求函数 y =的最大值. 7、 逆用条件 例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） . 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 . 9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2 y xz 的最小值是. 几个重要的均值不等式
利用均值不等式求最值
8 利用均值不等式求最值 高考要求：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并 会应用求最值? 考查形式：1.以选择题或填空题的形式考查利用基本不等式求最值问题 . 2. 以解答题形式考查求函数最值问题. 一、回归课本 1. _______________________ a>0, b>0时，称 ____________________ 为a , b 的算术平均数；称 ___________________________ 为a , b 的几何平均数. 2. _________________________________________ 定理1如果a 、b R ,那么a 1 2+ b 2 2ab （当且仅当 _________________________________________ 时 取 丄”号） 3. _____________________________________ 定理2如果a 、b R ，那么耳 > （当且仅当a = b 时取 二”号）即两个数的算术 平均数不小于它们的几何平均数. 4. 已知x 、y R ', x + y = P , xy = S.有下列命题： ⑴ 如果S 是定值，那么当且仅当x = y 时，x + y 有最小值 __________________ .（积定和最小） ⑵ 如果P 是定值，那么当且仅当x = y 时，xy 有最大值 _____________________ .（和定积最大） 二、引例：下列问题的解法是否正确，如果错误，请指出错误原因. 1 （1）.求函数y = x ?— x = o 的值域. x 1 ' 1 1 解：；y = x 2 x 2 . y = x 的值域为 2, ?:: x V x x 错误原因：不满足各项为正数 1 1 1 正解：当x 0时，幕y = x ? — _2、x 2，当且仅当x 即x =1时，等号成立 x V x x 1 1 1 1 当 x :：: 0时，- x 0, o. （-x ） ? （ ）_2,. y 二 x ， 2，当且仅当 x 即 x =「1 时，等号 x x x x 成立 3 ⑵已知0 ：：： x ，求函数 y 二x （3 -2x ）的最大值. 2 3 x 川‘3~2 x 2 3—x 2 解：0 ■ x <2， ?x ?0,3-2x ?0, y=x （3-2x ）iu ） =（ ）?函数无最大值 错误原因：不满足和为定值 3 1 1 正解： 0 ：：x 厂 x 0,3—2x 0, y=x(3—2x) 2x(3—2x)_^( 2 3 解：；x 2 4 0，—%2=4 °，厂厂 J V x 2 +4 -函数的最小值为2 1 ,2x 3 — 2X 、2