2015年理科数学高考真题(全国所有试卷)答案
详解答案
2015年数学(新课标Ⅰ卷)
试卷总评：本套试卷围绕课程标准中的内容主线、核心能力、改革理念命题，试题注重基础知识、基本技能和基本方法的考查，也考查了课标的新增内容，体现了课改理念．
1．2015年高考试卷相对于2014年高考试卷中所考查的知识点整体变化不大，整体平衡，依然是重点内容重点考查，依然延续了2014年高考的风格，体现了稳中有变的特点，保持了变化的稳定性．
2．本套试卷难易适度，试题的排列由易到难，试卷注重在知识的交汇处命题，扩大了知识的容量，如第5、12、14、20、21题等都在两个或两个以上的知识点交汇处命题．对传统内容的考查也适度创新，如第6题将圆锥的体积问题与《九章算术》知识联系起来，形式新颖别致．多数试题都是注重通性通法，有利于考生发挥真实水平，很好地体现了课程标准的理念．
3．本套试卷考查内容比较全面，对三角函数、圆锥曲线、立体几何、数列、函数与导数、概率与统计等内容都进行了重点考查，本套试卷在考查基本知识点的同时，注重考查了学生的数形结合、转化与空间想象能力，对推动数学教学改革起到良好的导向作用．
1．解析：由已知等式先求出复数z ，然后利用复数的模的计算公式求|z |. 由
1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i
＝(－1＋i )(1－i )2＝2i
2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.
答案：A
2．解析：利用诱导公式将cos 160°化为－cos 20°，然后利用两角和的正弦公式求解． sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝1
2
，故选D. 答案：D
3．解析：依据含有一个量词的命题的否定判定即可．
因为“?x ∈M ，p (x )”的否定是“?x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“?n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“?n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.
答案：C
4．解析：利用独立重复试验概率公式求解．
3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63
＝0.648.故选A.
答案：A
5．解析：由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→
，然后利用向量的
数量积公式求解．
由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→
＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，
即x 20－3＋y 2
0＜0.
∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202
－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 2
0＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A. 答案：A
6．解析：由米堆底部的弧长可求出圆锥底面半径，进而求得米堆的体积．
设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝
π
12
×????16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209
÷1.62≈22(斛)．故选B. 答案：B
7．解析：以AB →，AC →
为基底利用向量的加减运算和平面向量基本定理求解． AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13
(AC →－AB →)＝
43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →
.故选A. 答案：A
8．解析：由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．
由图象知，周期T ＝2????
54－14＝2， ∴2π
ω
＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4
，
∴f (x )＝cos ????πx ＋π4. 由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋3
4，
k ∈Z ，
∴f (x )的单调递减区间为????2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z .故选D. 答案：D
9．解析：逐次运行程序，直至输出n . 运行第一次：S ＝1－12＝1
2＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，
S ＞0.01；
运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2， S ＞0.01；
运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5， n ＝3，S ＞0.01；
运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6， S ＞0.01；
运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7， S ＜0.01.
输出n ＝7.故选C. 答案：C
10．解析1：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，
含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·
y 2
. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.
解析2：利用组合知识求解．
(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2
的系数为C 25C 23C 1
1＝30.故选C.
答案：C 11．解析：
由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解．如图，该几何体是一个半球与
一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝1
2×4πr 2
＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.
答案：B
12．解析：由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)＜0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解．
∵f (0)＝－1＋a ＜0，∴x 0＝0.
又∵x 0＝0是唯一的使f (x )＜0的整数，
∴?????
f (－1)≥0，f (1)≥0，
即?
????
e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e
.
又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1，经检验a ＝3
4
，符合题意．故选D.
答案：D
13．解析：依据偶函数的定义列方程求解． ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立， ∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋
a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a
＝1.
答案：1
14．解析：由椭圆的标准方程可求出其四个顶点的坐标，由圆心在x 轴的正半轴上知该圆过上、下顶点和右顶点．
由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则???
?
?
m 2＋4＝r 2，
(4－m )2＝r 2，解得???
m ＝32
，
r 2＝254.
所以圆的标准方程为???
?x －3
22＋y 2＝254
. 答案：????x －322＋y 2＝254
15．解析：由约束条件可画出可行域，利用y
x
的几何意义求解．
画出可行域如图阴影所示，∵y
x
表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x ，y )在点A 处时y
x
最大．
由????? x ＝1，x ＋y －4＝0，得?????
x ＝1，y ＝3.
∴A (1,3)． ∴y
x
的最大值为3. 答案：3 16．解析：
画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围． 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF ＜AB ＜
BE .
在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°， CF ＝BC ＝2，∴BF ＝
22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.
在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，
BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2
sin 30°，
∴BE ＝2
12×6＋24＝6＋ 2.
∴6－2＜AB ＜6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2) 17．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②
②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．
由a n ＞0，得a n ＋1－a n ＝2.
又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.
所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12? ????12n ＋1－12n ＋3.
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12????
??
????13－15＋????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3
＝
n
3(2n ＋3)
.
18．(1)证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .
在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22
. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝
6
2
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322
. 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .
因为EG ?平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)解：如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →
|为单位长度，建立空间直角坐标系G -xyz .
由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)，F ?
??
?－1，0，
22， C (0，3，0)，
所以AE →＝(1, 3， 2)，CF →
＝?
???－1，－3， 22.
故cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →|AE →||CF →
|
＝－33.
所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为3
3
.
19．解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归
方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由于d ^＝
∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w )2
＝108.81.6
＝68， c ^＝y －d ^
w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
＝100.6＋68w ，
因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x . (3)①由(2)知， 当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年
利润的预报值最大．
20．解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，
或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．
又y ′＝x 2，故y ＝x 2
4在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a
＝a (x －2a )，
即ax －y －a ＝0. y ＝x 2
4在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x
＋2a )，
即ax ＋y ＋a ＝0.
故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：
设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b
x 2
＝
2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )
a
.
当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．
21．解：(1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f ′(x )＝3x 2＋a ，f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，
即
?????
x 30＋ax 0＋14
＝0，3x 20＋a ＝0，解得???
x 0＝1
2，a ＝－34.
因此，当a ＝－3
4
时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．
(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x ＜0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )＜0，故h (x )在
(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋5
4≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)
＝0，故x ＝1是h (x )的零点；
若a ＜－5
4
，则f (1)＜0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)＜0，故x ＝1不是h (x )的零点．
当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x ＞0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．
①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．
而f (0)＝14，f (1)＝a ＋5
4，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )
在(0,1)上没有零点．
②若－3＜a ＜0，则f (x )在????0，
－a 3上单调递减，
在?
??? －a
3，1上单调递增，故在(0,1)上，当x ＝ －a 3时，f (x )取得最小值，最小值为f ?
??? －a 3＝2a
3 －a 3＋14.
a ．若f ?
??? －a
3＞0，即－34＜a ＜0，则f (x )在(0,1)上无零点．
b ．若f ?
??? －a
3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点．
c ．若f ?
??? －a
3＜0，即－3＜a ＜－34，由于f (0)＝14，
f (1)＝a ＋54，所以当－54＜a ＜－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3＜a ≤－5
4
时，f (x )在
(0,1)上有一个零点．
综上，当a ＞－34或a ＜－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－5
4
时，h (x )有两个零点；
当－54＜a ＜－3
4时，h (x )有三个零点．
22.
(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB . 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB . 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，
故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)解：设CE ＝1，AE ＝x . 由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.
由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ，
即x 2＝
12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.
解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.
23．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4
代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
24．解：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；
当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得2
3＜x ＜1；
当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.
所以f (x )＞1的解集为????
??
x |23＜x ＜2.
(2)由题设可得f (x )＝????
?
x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，
－x ＋1＋2a ，x ＞a .
所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ? ??
??
2a －13，0，B (2a ＋1,0)，
C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为2
3
(a ＋1)2.
由题设得2
3
(a ＋1)2＞6，故a ＞2.
所以a 的取值范围为(2，＋∞)．
2015年数学(新课标Ⅱ卷)
错误!
1．解析：化简集合B ，利用交集的定义求解．
由题意知B ＝{x |－2＜x ＜1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A. 答案：A
2．解析：先将已知等式左边用复数的乘法法则化简，然后利用复数相等的定义求解． ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.
∴?????
4a ＝0，a 2－4＝－4.
解得a ＝0.故选B.
答案：B
3．解析：依据给出的柱形图，逐项验证．
对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D. 答案：D
4．解析：利用等比数列的通项公式求解． ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2＋3q 4＝21. ∴1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. 答案：B
5．解析：依据给出的分段函数，分别求出f (－2)与f (log 212)的值，然后相加即可． ∵－2＜1，
∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝12
2＝6.
∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C