上海市普陀区2017届高考数学二模试卷(解析版)

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷

一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）

1．计算：（1+）3=．

2．函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．

3．若＜α＜π，sinα=，则tan=．

4．若复数z=（1+i）?i2（i表示虚数单位），则=．

5．曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．

6．若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．

7．若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是．

8．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，

AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．

11．设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．

12．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC

的面积为1，则?+2的最小值为．

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）

A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2

14．若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

15．设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥β

C．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β

16．关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）

A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数

B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数

C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数

D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数

三、解答题（共5小题，满分76分）

17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；

（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．

18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当

x=时，f（x）取得最大值．

（1）计算f（）的值；

（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B 港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）

（1）试用含有v、ω的代数式表示P；

（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．

20．（16分）已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．

（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；

（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；

（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．

21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n

}为等比数列，则称{a n}具有

+1

性质P．

（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；

（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；

（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，