离散数学期末复习试题及答案(七)

第七章 谓词逻辑

１．用谓词表达下列命题

1) 小张不是工人。

设 c:小张 W(x): x 是工人 )c (W ?

2) 所有教练员都是运动员。

设 J(x):x 是教练, W(x):x 是运动员 ))x (W )x (J )(x (→?

3) 没有一个国家选手不健壮。

设 C(x):x 是国家选手,J(x):x 健壮 ))x (J )x (C )(x (?∧??

4) 有些大学生不钦佩老师。

设 D(x):x 是大学生, L(x):x 是老师, P(x,y):x 钦佩y

)))y ,x (P )y (L )(y ()x (D )(x (∧?∧?

5) 小莉既聪明又美丽。

设 l:小李 C(x):x 聪明 M(x):x 美丽 )l (M )l (C ∧

6) 不是所有的高中生都能上大学。

设 G(x):x 是高中生, D(x):x 上大学 ))x (D )x (G )(x (→??

7) 每个有理数都是实数。

设Q(x):x 是有理数, R(x):x 是实数 ))x (R )x (Q )(x (→?

8) 某些实数是有理数。

设R(x):x 是实数, Q(x):x 是有理数 ))x (Q )x (R )(x (∧?

9) 并非每个实数都是有理数。

设R(x):x 是实数, Q(x):x 是有理数 ))x (Q )x (R )(x (→??

10) 若m 是奇数，则2m 不是奇数。

设Q(x):x 是奇数， )m 2(Q )m (Q ?→

11) 直线A 与直线B 平行，当且仅当直线

A 与

B 不相交。

设L(x):x 是直线，P(x,y):x 平行于y, X(x,y):x 与y 相交

→←))B ,A (X )B (L )A (L ())B ,A (P )B (L )A (L (?∧∧∧∧

12) 对于每个实数ｘ，存在一个更大的实数ｙ。

设R(x):x 是实数, D(x,y):x 大于y,

)))x ,y (D )y (R )(y ()x (R )(x (∧?→?

2. 设P(x)为“x 是质数”，E(x)为“ｘ是偶数”，

Q(x)为“x 是奇数”，D(x,y)为“x 除尽y ”，把下

列各式译成汉语：

1）P(5)；

2）E(2)∧P(2)；

3）(?ｘ)(E (x)∧D(x,6))；

4）(?ｘ)(D(2,x)→E(x))；

5) (?ｘ)(E(x)→D(2,x))；

6）(?ｘ)(E(x)→(?ｙ)(D(x,y)→E(y)))；

7) (?ｘ)(P(x)→(?ｙ)(E(y)∧D(x,y)))；

8) (?ｘ)(Q(x)→(?ｙ)(P(y)→D(x,y))

1) P(5)；5是偶数。

2) E(2)∧P(2)；2是偶数也是质数。

3) D(x,6))(E (x))x (∧?;存在偶数可以除尽6。

4) E (x))x)(D(2,)x (→?;被2除尽的数都是偶数。

5) x))D(2,E (x)()x (?→??;

非偶数都不能被2除尽。

6) )))y (E )y ,x (D )(y ()x (E )(x (→?→?;

所有能被偶数除尽的数都是偶数。

7) )))y ,x (D )y (E )(y ()x (P )(x (∧?→?;

对任给的质数，存在偶数可被质数除尽。

8) )))y ,x (D )y (P )(y ()x (Q )(x (→?→?；

所有质数都不能被任意奇数整除。

3. 求下列各式真值：

T

T T )T F ()F T ())2(Q )2(P ())1(Q )1(P (}

2,1{,

2x :)x (Q ,1x :)x (P ))x (Q )x (P )(x )(1?∧?∨∧∨?∨∧∨?==∨?个体域是其中

F

F F F ))F T ()T T ()T T (()

5(R )))6(Q P ())3(Q P ())2(Q P ((}

6,3,2{:,5a ,5x :)x (R ,

3x :)x (Q ,12:P ),a (R ))x (Q P )(x )(2?∨?∨→∧→∧→?∨→∧→∧-→?-=>≤>∨→?个体域其中

T

T T T )F F (T ))1(Q )1(P (},

1{:,T ,

0x :)x (Q ,2x :)x (P ,T ))x (Q )x (P )(x )(3?∧?∧→?∧→?=>∧→?个体域是任何永真式其中

4. 如果论域是集合{a,b,c}，试消去下面公式中的量词。

S (c ))

)b (S )a (S ())c (R )b (R (R (a ))

x (S )x ()x (R )x ()5))

c (P )b (P )a (P ())c (P )b (P )a (P ()

x (P )x ()x (P )x ()4)c (Q )c (P ())b (Q )b (P ())a (Q )a (P ())

x (Q )x (P )(x ()3))

c (S )b (S )a (S ())c (R )b (R )a (R ()

x (S )x ()x (R )x ()2)

c (P )b (P )a (P )x (P )x ()1∨∨∧∧∧??∧?∧∧∨?∧?∧???∨??→∧→∧→?→?∧∧∧∧∧??∧?∧∧??

5. 对下列谓词公式中的约束变元进行改名：

y)S(x,Q(v))z)v)(P(u,)(u (y)

S(x,Q(y))z)y)(P(x,x)(( 1)?→????→??

w)

w)S(x,(v)R(v))(Q(u)))(R(u)u)(P(u)((z)

z)S(x,(x)R(x))

(Q(x)))(R(x)x)(P(x)2)((?→?∧∨→???→?∧∨→?

6. 对下列谓词公式中的自由变元进行代换：

)

w ,x (R )x ())z ,v (Q )z ()y ,u (P )y (()

y ,x (R )x ())z ,x (Q )z ()y ,x (P )y )((2)

z ,w ,x (C )z )(x ()v ,x (B )x ()y ,u (A )y (()

z ,y ,x (C )z )(x ()z ,x (B )x ()y ,x (A )y )((1?∨?∧???∨?∧???∧?→????∧?→?

7. 设个体域是自然数集，试证明下列关系式：

左

右?∨???∨???∨????∨???∨??∨??))y (Q )x (P )(y )(x ())

x (P )y (Q )(y )(x ())x (P )y (Q )y )((x ())

y (Q )y ()x (P )(x ()

y (Q )y ()x (P )x ())y (Q )x (P )(y )(x ()1

)

I ()x (P )x ()y (Q )y ()x (P )x ())

y (Q )y ()x (P )(x ())x (P )y (Q )y )((x ())

x (P )y (Q )(y )(x ()

x (P )x ())y (Q )x (P )(y )(x )(21???∧???∧??∧???∧?????∧??左

右

左??∧???∧??∧???∧????∧??∧??)y (Q )y ()x (P )x ())

y (Q )y ()x (P )(x ())x (P )y (Q )y )((x ())

x (P )y (Q )(y )(x ()

y (Q )y ()x (P )x ())y (Q )x (P )(y )(x )(3

右

左??→???∨????∨????∨????∨????∨???∨?????→??→??)y (P )y ()x (P )x ()

y (P )y ()x (P )x ()y (P )y ()x (P )x ())y (P )y ()x (P )(x ())x (P )y (P )y )((x ())x (P )y (P )(y )(x ())y (P )x (P )(y )(x ())

y (P )y ()x (P )x (())y (P )x (P )(y )(x )(4

右

左??→???∨????∨????∨????∨????∨???∨?????→??→??)y (Q )y ()x (P )x ()

y (Q )y ()x (P )x ()y (Q )y ()x (P )x ())y (Q )y ()x (P )(x ())x (P )y (Q )y )((x ())x (P )y (Q )(y )(x ())y (Q )x (P )(y )(x ())

y (Q )y ()x (P )x (())y (Q )x (P )(y )(x )(5

8. 把下列各式化为前束范式：

))

y ,x (Q )x (P )(y )(x ())y ,x (Q )y ()x (P )(x ())

y ,x (Q )y ()x (P )(x )(1∨?????∨????→?

))

x (R )z (Q )y ,x (P )(z )(y )(x ())x (R )z (Q )z ()y ,x (P )y )((x ()))

x (R )z (Q )z (())y ,x (P )y )(((x ()))

x (R )z (Q )z (())y ,x (P )y (()(x )(2∨?∨????∨??∨???∨??∨???→?→???

))v ,y (Q )v ()u ,x (Q )u ()z ,y ,x (P )z ()(y )(x ())v ,y (Q )v ())u ,x (Q )u ()z ,y ,x (P )z (()(y )(x ())v ,y (Q )v ())u ,x (Q )u ()z ,y ,x (P )z )(((y )(x )(3?∨??∨??????∨?∧??????→?∧??? ))v ,y (Q )u ,x (Q )z ,y ,x (P )(v )(u )(z )(y )(x ())v ,y (Q )v ()u ,x (Q )u ()z ,y ,x (P )z )((y )(x (∨?∨????????∨??∨?????

9. 求等价于下列合式公式的前束合取范式与

前束析取范式：

T

))x (Q )x (P )(x ())x (Q )x (P )(x ())x (Q )x (P )(x ())x (Q )x (P )(x ())

x (Q )x (P )(x ())x (Q )x ()x (P )x )((1?∨?∨∨???∨?→∨??∨?→?∨?

∑∏???????∨?∨?????∨??∨?????→??→?6

,5,4,3,2,1,07)y )(x ()y )(x ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P )(y )(x ()))

x ,y (R )y ,x (Q )(y ()x (P )(x ()))

x ,y (R )z ()y ,x (Q )z )((y ()x (P )(x )(2

)))

x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P ())x ,y (R )y ,x (Q )x (P )((y )(x (∧?∧?∨?∧∧?∨∧∧?∨?∧?∧∨∧?∧∨∧?∧?∨∨

?∧?∧???? ∑∏????????∨∨??????∨?∨????∨??∨????∨??∨????∨??→?7

,6,5,3,2,1,04)u )(z )(x ()u )(z )(x ())

u ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P )(u )(z )(x ())u ,y ,x (R )u ()z ,x (Q )z ()x (P )(x ())

u ,y ,x (R )u ()z ,x (Q )z )((x ()x (P )x ())

z ,y ,x (R )z ()z ,x (Q )z )((x ()x (P )x ())

z ,y ,x (R )z ()z ,x (Q )z )((x ()x (P )x )(3

)))

z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P ())

z ,y ,x (R )z ,x (Q )x (P )((u )(z )(x (∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨?∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧????? ))

z ,y (Q )u (P ())y ,x (Q )x (P )(z )(u )(x ())z ,y (Q )z ()u (P )u (())y ,x (Q )x (P )(x ())

z ,y (Q )z ()y (P )y (())y ,x (Q )x (P )(x ())

z ,y (Q )z ()y (P )y (())y ,x (Q )x (P )(x )(4∧∨?∧?????∧?∨?∧???∧?∨∨?????∧?→→? )))z ,y (Q )y ,x (Q ())u (P )y ,x (Q ())

z ,y (Q )x (P ())u (P )x (P )((z )(u )(x (∨?∧∨?∧∨∧∨????

10. 证明以下各式

)

6(EG )x (A )x )(7Q

)Q P (P :),5)(4(T )u (A )6Q

P Q P ),2(T )u (B )u (A )5)

3(US )u (B )4P )x (B )x )(3)

1(US )u (B )u (A )2P

))x (B )x (A )(x )(1:

);x (A )x ()x (B )x ()),x (B )x (A )(x )(1(??∨∧?∨??→∨???→?→??????→??析取范式直接法

矛盾量词转换律

附加前提

反证法,I ),9)(5(T F )c (B )c (B )10)

8(US )c (B )9Q

)Q P (P ),7)(6(T )x (B )x )(8P

)x (B )x ()x (A )x )(7)

4(EG )x (A )x )(6I ),3(T )c (B )5I ),3(T )c (A )4)

2(ES ))c (B )c (A ()3))x (B )x (A ()x )(2))x (B )x (A )(x ()1:

));x (B )x (A )(x ()x (B )x ()x (A )x )(2(76

5

??∧?→∧??→???→?→??→??→???→?

)

6(UG ))x (A )x (C )(x )(7),5)(4(T )u (A )u (C )6,11E ),2(T )u (A )u (B )5)

3(US )u (B )u (C )4P ))x (B )x (C )(x )(3)

1(US )u (B )u (A )2P

))x (B )x (A )(x )(1));

x (A )x (C )(x ())

x (B )x (C )(x ()),x (B )x (A )(x )(3(?→??→?→??→?→?→→??→???→?→?假言三段论

逆反律

)8(UG )x (A )x )(9),7)(5(T )u (A )8)

6(US )u (B )u (A )7P

))x (B )x (A )(x )(6),4)(2(T )u (B )5)

3(US )u (C )4P

)x (C )x )(3)

1(US )u (C )u (B )2P

))x (C )x (B )(x )(1);

x (A )x ()x (C )x ()),x (C )x (B )(x ()),x (B )x (A )(x )(4(?∨∨????→?→?????→?∨?析取三段论

拒取式

Q P Q P ),4(T ))c (W )c (M ()5M

.D ),3(T ))c (W )c (M ()4),2(T ))c (W )c (M ()3)1(ES )c (W )c (M )2P

))y (W )y (M )(y )(1))

x (S )x (F )(x ())y (W )y (M )(y ()),y (W )y (M )(y ())x (S )x (F )(x )(5(∨??→→?∨???∧???∧?∧??→???∧?→?→∧?对合律

)

13(UG ))x (S )x (F )(x )(14Q

P Q P ),12(T )a (S )a (F )13M

.D ),11(T )a (S )a (F )12)

10(US ))a (S )a (F ()11),9(T ))x (S )x (F ()x )(10),8)(7(T ))x (S )x (F )(x ()9P

))y (W )y (M )(y ())x (S )x (F )(x )(8),6(T ))y (W )y (M )(y ()7)

3(EG ))y (W )y (M ()y )(6→?∨??→?→?∨?∧?∧??∧??→?→∧?→??→??量词转换律拒取式

量词转换律

11. 指出下面推理中的错误

(1)设个体域为整数集Ｉ，y x :)y ,x (G >

)

4(EG )y ,x (G )x )(y )(5)

3(US )c ,x (G )x )(4)2(ES )c ,a (G )3)

1(US )y ,a (G )y )(2P

)y ,x (G )y )(x )(1??????

3)到4)错, 运用推广规则应按量词次序自右而左顺序推广， 保持多重量词原来次序。

)

5(EG )x (Q )x )(6,I ),4)(2(T )y (Q )5)

3(ES )y (P )4P )x (P )x )(3)

1(US )y (Q )y (P )2P

))x (Q )x (P )(x )(1)

2(9??→→?假言推论

4)不能指定为y, 1),2)与3),4)换一下就行。