非齐次线性方程组同解的判定和同解类
非齐次线性方程组同解的判定和同解类
摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题.
预备知识
定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得
B PA =。
定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得
CA B =
则存在m m ?可逆矩阵P ，使得
PA B =
证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使
011A P A A ??=????, 01B QB B ??=????
其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出，
于是矩阵00A B ??
????
的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无
关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得
00r B P A =
又设
110A C A =，12020r B C B C P A ==
令
221
0r
r n r P P C P C I -??
=?
?-??
则1P 为可逆矩阵，且
10212021100r
n r A P A P P A P A C P C I C A -??????
==??????-??????
02000r r 11P A C P A C A C A ??
=??-+?? 00201r r P A B C P A B ????==??????
??QB = 记121P Q P P -=,则
121B Q P P A PA -==.且P 可逆.
定理3如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的
秩相等.
1、 非齐次线性方程组同解的判定定理
1、1设A 、B 都为m n ?矩阵，Ax b =与Bx d =同解的判定定理
定理4
[1]
设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的
充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =.
证明 充分性 若0x 是0Ax =的解.即
00Ax =.
可得,所以00Bx =。即0x 是0Bx =的解
必要性 设0Ax =与0Bx =的同解,所以0Ax =与0A x B ??
=????
同解。
则
[]A R R A r B ??
==????
.其中[]R A 表示矩阵A 的秩. 若0r =，则P 可以取任意的矩阵;
若0r >设,A B 的行向量分别是{}12,,,,
m ααα {}12,,,.s βββ 为了讨论方便，
不妨设12,,,m ααα 的极大无关向量组为12,,,r ααα ，12,,,s βββ 的极大无关向量组为12,,,r βββ ，则12,,,r βββ 可由12,,,r ααα 线性表出，设表示式为
111112211122r r r r r rr r
a a a a a a βαααβααα=+++??
?
?=+++? 令
1111r r rr a a P a a ??
??=??
????
即存在可逆矩阵P 使得PA B =.
定理5设A 、B 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =有解且同解，则它们的导出组0Ax =与0Bx =同解.
证明 设ξ为0Ax =的解，η为Ax b =的一个特解.则由非齐次线性方程组
Ax b =与Bx d =同解及线性方程组的性质可知η为Bx d =的一个特解，ξη+为Ax b =与Bx d =的解.
所以()ξξηη=+-是0Bx =的解.
反之设ξ为0Bx =的解，同样可以证明，ξ为0Ax =的解.
所以0Ax =与0Bx =同解.
定理6设A 、B 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵P 使得PA B =，Pb d =.
证明 充分性显然成立.
必要性 设Ax b =与Bx d =同解，由定理5得，0Ax =与0Bx =同解.又由定理4可知存在可逆矩阵P 使得PA B =. 设ξ为Ax b =与Bx d =的解.即
,A a B d ξξ==
从而
Pa PA B d ξξ===
所以结论成立.
定理[3]7 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ?使得
[][]A b W B d = （2） 证明 充分性 如果存在可逆矩阵m m W ?使得（2）式成立，则对Bx d =的任意
解0x ，有
[]0001x Bx d B d ??
=?=??-??
所以
[][]0000011x x B d A b Ax b ????
=?=?=????--????
故0x 是0Ax b =的一个解.
反之对Ax b =的任意解1x ，把（2）式改写为
[][]1W A b B d -= （3）
同理可证，1x 是Bx d =的一个解. 所以Ax b =和Bx d =同解.
必要性 因为Ax b =和Bx d =同解，则A b x B d ????
=????????
，从而
[][]A b rank A b rank B d rank B d ??
==??
??
（4） 通过行初等变换，总可以求出[]A b 与[]B d 的行向量组的线性无关极大组.即
存在可逆矩阵K 与H 使得
[][],S P K A b H B d T Q ????
==????????
式中,S P 的行向量分别是[][],A b B d 的行向量的线性无关极大组.这里
[][]rankS rankP rank A b rank B d r ====
记{}R x 为矩阵x 的行向量生成的向量空间.
由式（4）及S 与P 的构造知S 与P 的行向量分别构成A b R B d ??
???????
???的一个基底.故存在可逆矩阵C 使得
P CS =
令
1111,m r n m r r r n m r n m r r r n T D S Q F P FCS -?+-??+-?+-??+===
0C
G FC D I ??=??
-??
式中I 为单位阵.显然G 是可逆的，从而
[]0S C
S GK A b G T FC D I DS ??????==??????-?????? []CS P H B d FCS Q ????===??
??????
. 记11W K G H --=,那么W 是可逆的，且[][]A b W B d =.
把式（2）改写为[][]I A b W B d =便可得到用行初等变换来判断Ax b =和Bx d =是否同解的方法，若同解，那么1W -可用如下的方法求出： 在增广矩阵[]A b 的左边写上单位矩阵I ，对[]I A b 进行行初等变换，
当把[]A b 化成[]B
d 时，I 便相应地化成1W -，此时Ax b =和Bx d =同解.
若[]A b 化不成[]B d ，则此方程组不同解.
1、2求可逆矩阵P 的方法
定理[3]6 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ?使得
[][]A b W B d = （2） 证明 充分性 如果存在可逆矩阵m m W ?使得（2）式成立，则对Bx d =的任意解0x ，有
[]0001x Bx d B d ??
=?=??-??
所以
[][]0000011x x B d A b Ax b ????
=?=?=????--????
故0x 是0Ax b =的一个解.
反之对Ax b =的任意解1x ，把（2）式改写为
[][]1W A b B d -= （3）
同理可证，1x 是Bx d =的一个解. 所以Ax b =和Bx d =同解.
必要性 因为Ax b =和Bx d =同解，则A b x B d ????
=????????
，从而
[][]A b rank A b rank B d rank B d ??
==????
（4） 通过行初等变换，总可以求出[]A b 与[]B d 的行向量组的线性无关极大组.即
存在可逆矩阵K 与H 使得
[][],S P K A b H B d T Q ????
==????????
式中,S P 的行向量分别是[][],A b B d 的行向量的线性无关极大组.这里
[][]rankS rankP rank A b rank B d r ====
记{}R x 为矩阵x 的行向量生成的向量空间.
由式（4）及S 与P 的构造知S 与P 的行向量分别构成A b R B d ??
???????
???的一个基底.故存在可逆矩阵C 使得
P CS =
令
1111,m r n m r r r n m r n m r r r n T D S Q F P FCS -?+-??+-?+-??+===
0C
G FC D I ??=??
-??
式中I 为单位阵.显然G 是可逆的，从而
[]0S C
S GK A b G T FC D I DS ??????==??????-?????? []CS P H B d FCS Q ????
===??
??????
. 记11W K G H --=,那么W 是可逆的，且[][]A b W B d =.
把式（2）改写为[][]I A b W B d =便可得到用行初等变换来判断Ax b =和Bx d =是否同解的方法，若同解，那么1W -可用如下的方法求出： 在增广矩阵[]A b 的左边写上单位矩阵I ，对[]I A b 进行行初等变换，
当把[]A b 化成[]B
d 时，I 便相应地化成1W -，此时Ax b =和Bx d =同解.
若[]A b 化不成[]B d ，则此方程组不同解.
例1 判别方程组
123412341
2341022441
x x x x x x x x x x x x -+-=??
--+=??--+=-? 与方程组
12341234123433330
335511
x x x x x x x x x x x x --+=??
--+=-??-+-=?
是否同解？
解 []I
A b =100|1111|1010|1111|0001|2244|1--??
??--????---??
101|3333|0011|3355|1001|2244|1--????
→---????---??
101|3333|0011|3355|1100|1111|1--????→---????-----??101|3333|0011|3355|1100|1111|1--??
??→---????--??
可见这两个方程组同解，且[][]1
W
A b
B d -=.
1、3 设A 为m n ?矩阵，B 为k n ?矩阵，m k ≠，Ax b =与Bx d =同解的判
定定理
定理7齐次线性方程组0Ax =和0Bx =，A 为m n ?矩阵，B 为k n ?矩阵，
m k ≠同解的充要条件是：存在m 阶可逆矩阵M 使
m s B MA O -??
=????
其中m s O -是()m s n -?零矩阵.
证明 充分性 设0x 是0Ax =的解，则00Ax =，即00MAx =，亦即
00m s B x O -??
=????
可得00Bx =,从而0x 也是0Bx =的解； 反之若0x 是0Bx =的解,则，00Bx =有
00m s B x O -??
=????
即00MAx =，由M 的可逆性知00Ax =，也即0x 也是0Ax =的解.
所以0Ax =和0Bx =同解.
必要性 若0Ax =和0Bx =同解，则秩A =秩B =r ，因此A 与B 的行向量等价.当r =0时，可取M 为任意m 阶可逆矩阵.
当0r >时，设A 与B 的行向量分别是{}12,,,,m ααα {}12,,,.s βββ 为了讨论方便，不妨设12,,,m ααα 的极大无关向量组为12,,,r ααα ，12,,,s βββ 的极大无关向量组为12,,,r βββ ，则12,,,r βββ 可由12,,,r ααα 线性表出，设表示式为
111112211122r r r r r rr r
a a a a a a βαααβααα=+++??
?
?=+++? 这里显然有
1111r r rr a a a a ??
????????
11,,r r s s βαβα++-- 也可由12,,,r ααα 线性表出，设表示式为
111,111,221,1122r r r r r r r
s s s s sr r a a a a a a βααααβαααα+++++-=+++??
?
?-=+++?
即
11,111,221,11122r r r r r r r s s s sr r s a a a a a a βααααβαααα+++++=++++??
?
?=++++?
1,,s m αα+-- 也可由12,,,r ααα 线性表出，设表示式为
11,111,221,1122s s s s r r
m m m mr r a a a a a a αααααααα
++++-=+++??
?
?-=+++?
即
1,111,221,1
112200s s s r r s m m mr r m a a a a a a αααααααα
++++=++++??
?
?=++++?
将上面三个式子用矩阵的形式表示出来，有
11
11111,11,1111,11,11
00000000100001000010000010r r rr r r r r r
r r s sr s s s s r s m mr m a a a a a a a a a a a a αβαβαβαβαα+++++++?????????????????????????????=????????????????????????????
?
????
??
??
??????
????
??
??
????
令
11
111,1
1,11,11,1
000000001000010000100001r r rr r r r s sr s s r m mr
a a a a a a M a a a a a a ++++??
??????
??
????=??
????
??
??????
则M 可逆，且m s B MA O -??
=????
. 定理8齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充要条件是：存在m 阶可逆矩阵M 使
m s B MA O -??
=????
其中m s O -是()m s n -?零矩阵.且有一公共解.
1、3、1讨论扩充方程组与原方程组的同解
在生产实际中，由于生产条件的变化，往往需要在原方程组中添加若干个线性方程，形成新的线性方程组，称它为原线性方程组的扩充线性方程组.
定理9设,A B 分别为m n ?与t n ?矩阵，则齐次线性方程组
0Ax Bx =??=?
（9） 与齐次线性方程组
0Ax = （10）
同解的充要条件是：存在t m ?矩阵P ，使得B PA =.
推论1 齐次线性方程组（9）与（10）同解的充分必要条件是：[]A R R A B ??
=????
.
其中[]R A 表示矩阵A 的秩.
定理10 设A 、B 分别为m n ?矩阵和t n ?矩阵，且非齐次线性方程组（11）有解，则它与非齐次线性方程组（12）同解的充分必要条件是：存在t m ?可逆矩阵P ，使得
,PA B Pb d ==。
证明 充分性显然成立.
必要性 设非齐次线性方程组（11）与(12)有解且同解，由定理5得齐次线性方程组（9）与（10）同解，由定理4得，存在t m ?可逆矩阵P ，使得
,PA B Pb d ==.
推论2 设非齐次线性方程组（11）有解，则它与非齐次线性方程组与（12）
同解的充分必要条件是：[]A b R R A b B d ??
=????
. 例3 判断非齐次线性方程组
1345123451234512345
12345463413361123513340
7913275
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-=-??
+--+=??--+-=?-++=-?? （13） 与非齐次线性方程组
13451
234546341
336112x x x x x x x x x -++=??
-++-=-? （14） 是否同解?
解 40634133611A ??=??--??，11315313411791327B --????=---????--??
， 12b ??
=??-??
， []105d =-.
假设满足PA B =的P 存在，设11
1221
223132a a P a a a a ??
??=??????
代入解得： 113321331733P ??-??????=??????-????
也满足Pb d =，即非齐次线性方程组（13）与（14）同解.
定理11 非齐次线性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m P ?使
[]00B d P A b ??
=????
. 其中A 为m n ?矩阵，B 为s n ?矩阵，s m ≤.
证明 充分性 设存在可逆矩阵m m P ?使
[]00B d P A b ??=????
. 又设0x 为Ax b =的一个解，则
[]0001x Ax b A b ??=?=??-??[]001x P A b ??
?=??-??
000001B d x Bx d ????
?=?=????-????
. 故Ax b =和Bx d =同解方程组.
必要性 设Ax b =和Bx d =是同解方程组，于是Ax b =，Bx d =与
A b x
B d ????
=????????
均为同解方程组，从而
秩A =秩[]A b =秩A b B d ??
????
. 于是[]A b 的行向量的线性无关极大组就是A b B d ??
??
??[]A b 的行向量的线性无关极大组，从而A b B d ??
????
的子行向量[]B d 的诸行可由[]A b 的诸行线性表
出，即存在s n ?矩阵1M 使
[][]1B d M A b =.
将1M 增加m s -个零行的m m ?矩阵M ，则
[]00B d M A b ??
=????
. 因此存在可逆矩阵P 使
[]00B d P A b ??=????
. 1、4求可逆矩阵P 的方法
定理12 非齐次线性方程组（5）同解的充分必要条件是存在可逆矩阵m m W ?使得1W S P -=.
判定方程组（5）同解的步骤： 第1步 行初等变换分别求[]A b 与[]B
d 行向量组的一个极大组所构成的
矩阵S 与P ，如果S 与P 的行数不同，说明rankS rankP ≠，则（5）式有不同解；
第2步如果S 与P 的行数相同，对[]I
S 进行行初等变换.当S 化成P ，I 化
成1W -时，式（5）同解，若S 不能化成P ，则式（5）不同解. 例2判别方程组
12345123451
2345214345980
x x x x x x x x x x x x x x x +--+=??
-+++=??+--+=? （7）
与方程组
234534512345
12345233
3453256
21
x x x x x x x x x x x x x x x x x ?
?-+-+=??
-++=?
?+-++=?+--+=?? （8） 是否同解？
解 记式（7）为Ax b =容易由行初等变换得到
[]100111111110023523321001345A b S
--????????-=-=????
????--????
记式（8）为Bx d =由行初等变换得到
[]10
00235
23000111211100110013450
111000000B d -????
????--???
?=??
??
--???
?-????
故
023523112111001345P -??
??=--????-??
可见S 与P 的行数相同，进而
[]100|123523010|012111001|001345I
S -??
??=--????-??
1010|123523100|112111001|001345W P --??
??→--=??
??-??
故1
010100001W -??
??=??????
，且1W S P -=.因此式（7）与（8）为同解方程组.
2、非齐次线性方程组的同解类
定义1 设V 为数域F 上的向量空间，W 为V 的一个子空间，若α为V 中的
任意向量.把和()W αββ+∈组成的集，记作
{}|W W ααββ+=+∈
则这些集称为V 中W 的陪集.
由非齐次线性方程组解的结构可知：一个有解的n 元非齐次线性方程组的解集是该非齐次线性方程组的导出组的解空间的陪集（解集）.
设V 是数域F 上的向量空间，W 是V 的子空间，V 表示V 中关于子空间W 的所有陪集作成的集合，即{}|V W V αα=+∈在集合V 中引进加法与数乘的运算：
()()()W W W αβαβ+++=++;()k W k W αα+=+；k F ∈
可以证明上面的定义的加法与数乘与陪集选取的代表无关，V 是关于这两种运算作成数域F 上的向量空间。
定理13设W 是向量空间n F 上的任意真子空间，n F 中W 的任意异于W 的陪集都可做为某个n 元非齐次线性方程组的解集。
证明 W 可作为n 元齐次线性方程组的解空间，设这个n 元齐次线性方程组为
111122121122221122000
n n n n
m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=? 再设W α+的任意一个陪集，其中12(,,)n k k k α= W ?。
令 11112212112222
2
1122n n n n m m mn n m a k a k a k b a k a k a k b a k a k
a k
b +++=??+++=????+++=?
α是方程组
1111221121122222
1122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=? （1） 的一个特解，因此（1）的解集正是陪集W α+。
定理14 设Ax b =和Bx d =是数域F 上的两个n 元非齐次线性方程组，其中
()ij A a =是s n ?矩阵，()ij B b =是t n ?矩阵，,b d 分别是1,1s t ??矩阵.则非齐次线
性方程组Ax b =和Bx d =同解的充分必要条件是0Ax =和0Bx =同解且Ax b
=
和Bx d =有一公共解.
证明 充分性显然成立.
必要性 设0Ax =与0Bx =的解空间分别是1W 、2W ，α是Ax b =和Bx d =的公共解，则12W W αα+=+.因为对任意的11W β∈都存在22W β∈，使得
12αβαβ+=+.
所以122W ββ=∈从而12W W ?； 同理21W W ?，故12W W =. 例4 判断非齐次线性方程组
123451234512345123451235133407913275
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?
----=-???
+--+=??--+-=?-++-=-?? （15）
与非齐次线性方程组
12345123451
234535133407913275
x x x x x x x x x x x x x x x +--+=??
--+-=??-++=-? （16）
是否同解？
解 虽然非齐次线性方程组（15）与（16）有公共解13,,0,0,044??
???
，但是导
出组的解空间不同，所以它们不同解.
定义2 设W 为数域n F 的真子空间，我们把以W 为导出组的解空间的有解非齐次线性方程组中同解的方程组的集合，称为同解类.
定理15设V 是数域F 上的向量空间，W 是V 的子空间，12,,n ααα 是W 的一个
集，121,,,,
,r r n ααααα+ 是V 的一个基，则V
内的n r -个元素12,,r r n W W W ααα+++++ 组成V =/V W 的一个基。
2、1同解类中非齐次线性方程组解集之间的关系
定理16 设W 是向量空间n F 上的任意真子空间，则以W 为导出组的非齐次线性方程组解集中，存在n r -个解集12,,r r n W W W ααα+++++ 使的上述非齐次
线性方程组的任意一个解，都可表示成它们的线性组合。
证明 设12,,r ααα 是W 的一个基，把它扩充为n F 的一个基，
121,,,,,r r n ααααα+ 。由定理15知12,,r r n W W W ααα+++++ 是/n
F W 的一个
基。而/n F W 中的任意一个元素是以W W 为导出组的解空间的一有解非齐次线性方程组的解的集合。显然能够由12,,r r n W W W ααα+++++ 线性表出，即是它们的线性组合。
2、2解集（陪集）的性质
定理17 设V 是数域F 上的向量空间，W 是V 的子空间，,αβ是V 中的任意向量，
则由下面的等价关系:
(1)W W αβ+=+; (2)W αβ-∈; (3)W βα∈+.
证明 (a )设W α+，W β+是非齐次线性方程组Ax b =的解，即A b α=，A b β=。则()0A αβ-=，所以W αβ-∈.
（b ）若W αβ-∈，则()0A αβ-=，即A A αβ=.令A b α=，则A b β=，所以
W βα∈+。
（c ）若W βα∈+，即A A αβ=，所以W W αβ+=+。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】r(A)= r 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b 齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为 摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank 非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且 ***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月 线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (1３—2) 主要问题就是要判断出方程组(１3－２)何时有解?何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解,以及有怎样的解,完全决定于方程组的系数与常数项。因此,将线性方程组写成矩阵形式或向量形式,以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组(13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组(1３－2)的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵,称为增广矩阵,记作A ,即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(１3-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵(或列向量),记作Ｘ;常数项组成一个m 行、１列 的矩阵(或列向量),记作ｂ,即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组(13-2)实际上就是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX ＝ｂ 齐次和非齐次线性方程组 的解法日 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时， 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 0A =； （3）当m n =且()r A n =时，此时系数矩阵的行列式0A ≠，故齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 高斯消元法解线性方程组 在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。 一、线性方程组 设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11112211211222221122+++=+++=+++=??????? （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。当右端常数项b 1, b 2, …, b m 不全为0时， 称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即 a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000 +++=+++=+++=??????? （3.2） 称为齐次线性方程组。 由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。 （利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。） 非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为： AX = B 其中 A = ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ????????????n x x x 21， B = ????? ???????n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。将系数矩阵A 和常数矩阵B 放在一起构成的矩阵 齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A) 21.线性方程组解的判定与证明 一、基础知识 (1)线性方程组有4种表示形式： ○ 1标准型 11112211 211222221122 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=?? +++=??+++=? ○ 2矩阵型 令A =''1212[],(,, ),(,,)ij m n n m A a x x x x B b b b ?==，那么上面的方程可以表述为 Ax B = ○ 3列向量型 令11112212221212,,,n n n m m mn a a a a a a a a a a a a ?? ???? ????????? ???===???????????????? ?? ， 那么方程又可表述为 1122n n x a x a x a B ++ += ○ 4行向量型 ''''1122n n x a x a x a B +++= (2)在方程组○ 2的表述方式中，若0B =，即0Ax =，称为齐次线性方程组，若0B ≠，称为非齐次线性方程组。 (3)称0Ax =为Ax B =的导出组。 (4)方程组○ 2中，称(,)A A B =为○2的增广矩阵。 (5) 方程组○2中，若0,Ax B =则称0 x 为它的一个解。 (6) 方程组○ 2中，若A 为m n ?矩阵，则方程组○2的解的情况为 ◇ 1秩A =秩A =n ，方程组○2有唯一解； ◇ 2秩A =秩A 齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
线性方程组解的情况及其判别准则
非齐次线性方程组同解的判定和同解类
线性方程组解的判定与解的结构
线性方程组解的判定
齐次和非齐次线性方程组的解法日
高斯消元法解线性方程组
齐次线性方程组的基础解系存在定理及其应用
线性方程组解的判定与证明