高考数学专题复习函数与导数(理科)练习题
高考数学专题复习 《函数与导数》 练习题
1．已知函数x b a x f ?=)(的图像过点)4
1,4(A 和)1,5(B ． （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）记)(log 2n f a n =，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前项和，求满足0
≤?n n S a 的n 值.
2．已知函数)(x f y =是定义在R 上的周期函数，5是)(x f 的一个周期，函数)(x f y =在[]1,1-上是奇函数，又知)(x f y =在区间[]1,0上是一次函数，在区间[]4,1上是二次
函数，且2=x 在时函数)(x f y =取得最小值－5
（1）证明：0)4()1(=+f f ；
（2）试求函数)(x f y =在[]4,1上的解析式；
（3）试求函数)(x f y =在[]9,4上的解析式.
3．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每
张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时），每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
（1）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为)(x f 元)4015(≤≤x ，在乙家租
一张球台开展活动x 小时的收费为)4015)((≤≤x x g ，试求)(x f 和)(x g .
（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？
4．已知a x x x a x f ),2,2((,2
1)(32
-∈-=为正常数. （1）可以证明：定理“若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若0)(>x f 在)2,0(上恒成立，且函数)(x f 的最大值大于1，求实数a 的取值范围，
并由此猜测)(x f y =的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a ，设1x x =时，)(x f 取得最大值.试构造一个定义
在},24,2|{N k k x x x D ∈-≠->=且上的函数)(x g ，使当)2,2(-∈x 时，)()(x f x g =，当D x ∈时，)(x g 取得最大值的自变量的值构成以1x 首项的等差数列.
5．设函数b a bx ax x f ,(1)(2
++=为实数），???<->=时）（当
时）当0)(0)(()(x x f x x f x F （1）若0)1(=-f 且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立，求)(x F 表达式；
（2）在（1）的条件下，当][2,2-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围；
（3）设0>m ,0,
6．已知定义域为[]1,0的函数同时满足以下三条：①对任意的∈x []1,0，总有0)(≥x f ；
②1)1(=f ；③若,
1,0,02121≤+≥≥x x x x 则有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立.解答下列各题：
（1）求)0(f 的值；
（2）函数12)(-=x x g 在区间[]1,0上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在∈0x []1,0，使得∈)(0x f []1,0且()[]00x x f f =，求证00)(x x f =.
7．对于函数)(x f ，若存在,0R x ∈，使)0)(x x f =成立，则称0x 为)(0x f 的“滞点”？已知函数2
2)(2
-=x x x f . （1）试问)(x f 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（2）已知数列{}n a 的各项均为负数，且满足1)1(4=?n
n a f S ，求数列{}n a 的通项公式.
8．设函数d cx bx x a x f +++=233
)(的图像关于原点对称，)(x f 的图像在点),1(m P 处的切线的斜率为－6，且当2=x 时)(x f 有极值.
（1）求d c b a ,,,的值；
（2）若[]1,1,21-∈x x ，求证：3
44)()(21≤-x f x f .
9．已知函数x x x x f 1
ln )(--=.
（1）判定函数)(x f 的单调性；
（2）设1>a ，证明：a
a a 11ln <-.
10．设函数)(x f 定义域为R ，对于任意实数,,y x 总有)()()(y f x f y x f ?=+，且当
0>x 时，1)(0< （1）求)0(f 的值； （2）证明：当0 （3）证明：)(x f 在R 上单调递减，并举两个满足上述条件的函数)(x f ； （4）若{}{} ,,1)1(|,)1()1()(|2R x y x ax f y N f a f y f y M ∈=-++=≥-=且φ=N M 试求a 的取值范围. 参考答案 1．解：（1）由题意得：45141 a b a b ???=???=? 解得：54a -=，4b =； （2）5()4n f n -=，2log ()210n a f n n ==- ∵{}n a 为等差数列 ∴1()(9)2 n n n S a a n n =+=- 由0≤?n n S a 得 0)9)(5(≤--n n n ∴95≤≤n ∵+∈Z n ∴9,8,7,6,5=n ． 2．解：（1）依题意有：? ??+-=---=)51()1()1()1(f f f f ∴0)1()1()2()1(=-+--=+f f f f ． （2）设kx x f =)()11(≤≤-x 和5)2()(2 --=x a x f )41(≤≤x 由（1）知：054=-+a k ① 又5)1(-==a k f ② 由①②解得：2=a ，3-=k ． （3）5)2(2)(2 --=x x f )41(≤≤x x x f 3)(-=)11(≤≤-x ∵)5()(-=x f x f ∴当94≤≤x 时，451≤-≤-x ，