圆的标准方程
全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）
4.1.1 圆的标准方程 一、温故互查：
1、两点间距离公式：
2．（1）在平面直角坐标系中，如何确定一条直线呢？
（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
首先回忆一下初中讲过的一个圆最基本要素是 和
二、设问导读
1、如图，在直角坐标系中，圆心点A 的位置用坐标(a ,b ) 表示，半径r 的大小等于圆上任意一点M (x , y )与圆心
A (a ,b ) 的距离．符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
2.则点M 、A 间的距离为：=MA ___________________________________________ 即：
把这个方程称为圆心为A (a , b )，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程 【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.
减号 r 是________ 平方
222)()(r b y a x =-+- b 是_______________
a 是_______________ y x ,的系数都是____
探究一 探究圆的标准方程
1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。
方程 圆心坐标 半径 方程 圆心坐标 半径
6)1()4(122=-+-y x ）（ __________ ________ 8)3(42
2=-+y x ）（ __________ ________ 4)4()1(222=++-y x ）（ __________ ________ 222)3(5-=+y x ）（ __________ ________ 9)2(322=++y x ）（ ___________ _________ 222)(6a y a x =+-）（ ___________ ________
总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为________________________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。
(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________
(4)经过点P(5,1)，圆心点C(8,3-) _________________________________
探究二 如何确定点与圆的位置关系？
点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>上等价于 ；
点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>内部等价于 ； 点00(,)x y 在圆222()()(0)x a y b r r -+-=>外部等价于 ．
1. 写出以点A(2,3-)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,7-)，N(2,1-)，P(10,9-)与该圆的位
置关系．
2. 已知点(41,2)P a a +在圆22(1)1x y ++=上，求a 的值．
探究三 圆的标准方程的求解
阅读第119页例2、例3，完成下列练习
1.在平面直角坐标系中，求与x 轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程.
三、自学检测：
课本第120页练习1、2、3、4 四、巩固训练：
1．圆22(8)(8)10x y ++-=的圆心和半径分别为( )
A ．(8,8),10-
B ． (8,8),10-
C ． (8,8),10-
D ． (8,8),10-
2．已知一圆的圆心为点A(2,3-)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ).
A ．=++-22)3()2(y x 13
B ．=-++22)3()2(y x 13
C ．=++-2
2
)3()2(y x 52 D ．=-++2
2
)3()2(y x 52
3．直线230x y ++=将圆22()(5)3x a y -++=平分，则a =（ ）。
A ．13
B ．7
C ．-13
D ．以上答案都不对 4．圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程为( )．
A ．22(2)(3)13x y ++-=
B ．22(2)(3)13x y -++=
C ．22(2)(3)13x y ++-=
D ．22(2)(3)13x y -++=
五、拓展延伸：
已知点(3,5)(7,2)A B 、．(1)求以AB 为直径的圆C 的标准方程；(2)已知点5
(3,)2
P -，若点Q 在圆C 上，求||PQ 的
最大值和最小值．
222
()()x a y b r
-+-=
圆的标准方程 练习题
第四章 4.1 4.1.1 A 级 基础巩固 一、选择题 1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．在圆外 3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2 B ．(1，－2)，2 C ．(－1,2)，4 D ．(1，－2)，4 4．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1 5．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－4 3 B ．－34 C ．3 D ．2 6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 二、填空题 7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 . 8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程． 10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值； (2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．
圆的标准方程和一般方程
§4-1 圆的标准方程和一般方程 1. 圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆的方程可表示为 ,称为圆的标准方程. 2. 圆的一般方程为 , 其中圆心是 ，半径长为 . 圆的一般方程的特点： ① x 2和y 2的系数相同，不等于0; ② 没有xy 这样的二次项; ③ 2240D E F +-> 3.求圆的方程常用待定系数法：大致步骤是: ①根据题意,选择适当的方程形式; ②根据条件列出关于a,b,c 或D,E,F 的方程组; ③解出a,b,c 或D,E,F 代入标准方程或一般方程. 另外,在求圆的方程时,要注意几何法的运用. 4. 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）当满足 时,点在圆外; （2）当满足 时,点在圆上; （3）当满足 时,点在圆内.
1. 圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是( ）. A ．(2,3)-，1 B ．(2,3)-，3 C ． (2,3)- D ．(2,3)- 2. 方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是 A. 114 m << B. 1m > C. 14 m < D. 1m < ( ) 3.若(2,1)P -为圆22(1)25x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）. A. 30x y --= B. 230x y +-= C. 10x y +-= D. 250x y --= 4. 一曲线是与定点O (0,0)，A (3,0)距离的比是12 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.
5. 求下列各圆的方程： (1).过点(2,0) -； A-，圆心在(3,2) (2).求经过三点(1,1) C-的圆的方程. B、(4,2) A-、(1,4) 6. 一个圆经过点(5,0) x y --=上，求此圆的 B-，圆心在直线3100 A与(2,1) 方程.
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题 一、选择题 1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为()． A．5B．5 C．25 D．10 2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()． A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()． A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16 C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝19 4．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()． A．0或2 B．2 C．2D．无解 5．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是()． A．8 B．6 C．62D．43 6．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()． A．内切B．相交C．外切D．相离 7．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()． A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 8．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()． A．4条B．3条C．2条D．1条 9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述： 点M关于x轴对称点的坐标是M1(a，－b，c)； 点M关于y oz平面对称的点的坐标是M2(a，－b，－c)； 点M关于y轴对称的点的坐标是M3(a，－b，c)； 点M关于原点对称的点的坐标是M4(－a，－b，－c)． 其中正确的叙述的个数是()． A．3 B．2 C．1 D．0 10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是()． A．243B．221C．9 D．86 二、填空题 11．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为． 12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为． 13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是． 14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值． 15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为． 16．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．
高中数学-圆的标准方程练习题
高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.
圆的标准方程优秀教案
第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知
圆的方程练习及答案
考点四十 圆的方程 知识梳理 1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程 (1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为????x ＋D 22 ＋????y ＋E 22 ＝D 2＋E 2 －4F 4 . (1) 当D 2 ＋E 2 －4F >0时，方程表示以????－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2 为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点????－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 专题：直线与圆 1．圆 C1 : x2＋ y2＋ 2x＋ 8y－ 8＝0 与圆 C2 : x2＋ y2－ 4x＋4y－ 2＝ 0 的位置关系是 ( ) ． A ．相交B．外切C．内切D．相离 2．两圆 x2＋ y2－4x＋ 2y＋ 1＝ 0 与 x2＋ y2＋ 4x－4y－ 1＝ 0 的公共切线有 ( ) ． A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条 3．若圆 C 与圆 ( x＋ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 关于原点对称，则圆 C 的方程是 ( ) ． A ． ( x－ 2) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1 B． ( x－ 2) 2＋ ( y－ 1) 2＝1 C． ( x－ 1) 2＋ ( y＋ 2) 2＝ 1 D．( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 1 4．与直线 l : y＝ 2x＋ 3 平行，且与圆x2＋ y2－2x－ 4y＋ 4＝0 相切的直线方程是 ( ) ． A ． x－ y± 5 ＝ 0 B． 2x－ y＋ 5 ＝ 0 C． 2x－ y－ 5 ＝ 0 D．2x－ y± 5 ＝ 0 5．直线 x－ y＋ 4＝ 0 被圆 x2＋ y2＋ 4x－4y＋ 6＝ 0 截得的弦长等于 ( ) ． A ． 2 B． 2 C．2 2 D． 4 2 6．一圆过圆 x2＋ y2－ 2x＝0 与直线 x＋ 2y－ 3＝0 的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( ) ． A ． x2＋ y2＋4y－ 6＝ 0 B． x2＋ y2＋ 4x－ 6＝ 0 C． x2＋ y2－ 2y＝ 0 D． x2＋ y2＋ 4y＋ 6＝ 0 7．圆 x2＋ y2－ 4x－4y－ 10＝ 0 上的点到直线 x＋y－ 14＝ 0 的最大距离与最小距离的差是( ) ． A．30 B． 18 C．6 2 D． 5 2 8．两圆 ( x－ a) 2＋ ( y－b) 2＝ r 2和 ( x－ b) 2＋( y－ a) 2＝ r 2相切，则 ( ) ． A ． ( a－ b) 2＝ r2 B． ( a－ b) 2＝ 2r2 C． ( a＋ b) 2＝ r 2 D．( a＋ b) 2＝ 2r 2 9．若直线 3x－ y＋ c＝ 0，向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位，平移后与圆 x2＋ y2＝ 10相切，则 c 的值为 ( ) ．A．14 或－ 6 B．12 或－ 8 C．8 或－ 12 D．6 或－ 14 10．设 A( 3，3，1) ，B( 1，0，5) ，C( 0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 | CM| ＝( ) ． 53 B．53 53 D． 13 A ．C． 2 4 2 2 11．若直线 3x－ 4y＋ 12＝ 0 与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________． 12．已知直线x＝ a 与圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1 相切，则a 的值是 _________． 13．直线 x＝ 0 被圆 x2＋ y2― 6x― 2y―15＝ 0 所截得的弦长为_________． 14．若 A( 4，－ 7， 1) ，B( 6， 2， z) ， | AB| ＝ 11，则 z＝ _______________ ． 15．已知 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 上的动点， PA，PB 是圆 ( x－ 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1 的两条切线， A， B 是切点， C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为． 三、解答题 16．求下列各圆的标准方程： ( 1) 圆心在直线y＝0 上，且圆过两点A( 1， 4) ， B( 3， 2) ； ( 2) 圆心在直线2x＋ y＝0 上，且圆与直线x＋y－ 1＝ 0 切于点 M( 2，－ 1) ． 1 圆的方程练习题 1.圆x 2+y 2 -4x=1的圆心及半径分别是 ( ) A .(2,0),5 B . C . D .(2,2),5 2 .方程x 2+y 2 +2x-4y-6 =0表示的图形是 ( ) A .以(1,- 2)为圆心 B .以(1,2)为圆心 为半径的圆 C .以(-1, -2)为圆心 D .以( -1,2)为圆心 3.过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程为( ) A .(x+3)2+(y+2)2=13 B .(x+3)2+(y-2)2 =13 C .(x-3)2+(y-2)2=13 D .(x-3)2+(y+2)2 =13 4.方程(x-a )2+(y-b )2 =0的图形是 ( ) A .一个圆 B .两条直线 C .两条射线 D .一个点 5.已知点A (2,4),B (8,-2),以AB 为直径的圆的方程 ( ) A .(x-5)2+(y-1)2=18 B .(x-5)2+(y-1)2 =72 C .(x+5)2+(y+1)2=18 D .(x+5)2+(y+1)2 =72 6.与圆x 2+y 2 -2x+4y+3=0的圆心相同,半径是5的圆的方程是( ) A .(x-1)2+(y+2)2=25 B .(x-1)2+(y+2)2 =5 C .(x+1)2+(y-2)2=25 D .(x+1)2+(y-2)2 =5 7.已知圆x 2+y 2 +2x-4y-a=0的半径为3,则 ( ) A .a=8 B .a=4 C .a=2 D .a=14 8.圆心在C (-1,2),半径为 ( ) 11A. B.2213cos 1C. D.23sin 2x x y y x x y y θθ θθ θθ θθ ? ?=+=-+????=-=?????=-+=-+????=+?=+?? 第四章4．1 ４.1.1 A级基础巩固 一、选择题 1．圆心是(4,－１),且过点（５,2)的圆的标准方程是（) A．（x－4)２+(y＋1)2=10 Ｂ．(ｘ+4)2＋（y-1)2=１0 C.(x－４)２＋(y+１）2＝1０0 Ｄ．(x-4)２＋(y+1）2＝错误! 2．已知圆的方程是(x－2)2+(y－３)２＝4，则点P(3,２)满足( ） Ａ．是圆心?Ｂ．在圆上 C.在圆内?D.在圆外 3.圆(x＋1）2＋(y－2)2=4的圆心坐标和半径分别为（) Ａ.（-1,2)，2 B.（1,－２)，2 C.(－1,2)，4 D.（1,－2)，4 4.(2０１6·锦州高一检测）若圆Ｃ与圆(x+2)2＋(ｙ-1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(） A．(x-２)2+（y＋1)2＝1?B．(ｘ－2)2＋(y-1)2＝１ C．(x－1)2＋(y＋2)2=１D．（ｘ＋1)2+（y+２)2=１ 5.(2016·全国卷Ⅱ)圆ｘ２＋y２－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1=0的距离为1，则ａ= （) A.－错误! B.－错误!? C.错误!?Ｄ．2 6．若P（２，－1）为圆(x-１)2＋y２＝25的弦AＢ的中点，则直线AB的方程是( A） A.x－y-3=0 ? B.2x+y－3=0 C.x+ｙ-1=0? D.2x－ｙ-5＝0 二、填空题 7.以点(2，-1)为圆心且与直线ｘ＋y＝6相切的圆的方程是． 8．圆心既在直线x-y＝0上，又在直线x+ｙ－４＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题 9.圆过点A（1，-２)、Ｂ(-１,4），求 (1)周长最小的圆的方程； (2)圆心在直线2x－y－４=0上的圆的方程． 10．已知圆N的标准方程为(x－5)2+(ｙ-6)2=a2（a＞0). (1）若点M(6,9）在圆上,求a的值; (2)已知点P（3，３）和点Ｑ（5,3)，线段PQ(不含端点）与圆Ｎ有且只有一个公共点，求a的取值范围. 圆的方程练习题答案 A级基础演练 一、选择题 1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．A．－1 B．1 C．3 D．－3 解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－ 1)＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案 B 2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0 圆的方程测试题及答案 命题人：伍文 基础练习 1、圆心在)3,8(-，半径为5的圆的方程为()()5382 2=++-y x 2、圆22220x y x y +-+=的圆心是 (1，-1) ，周长是22π 3、方程x 22 +20表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ B ）（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ） 2、-4、-4 4、以点A(1,4)、B(32)为直径的两个端点的圆的方程为()()10122 2=-+-y x . 5、方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的条件是 （B ） A ．141< 直线与圆的方程测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分. 1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（ ） A.-9 B.-1 C.-9或-1 D. 12 2. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（ ） A.5 B. -5 C. 1 D. -1 3. 直线的倾斜角是3 2π，则斜率是（ ） A.3-3 B.3 3 C.3- D.3 4. 以下说法正确的是（ ） A.任意一条直线都有倾斜角 B. 任意一条直线都有斜率 C.直线倾斜角的范围是(0,2 π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π) 5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（ ） A. 2x+y+2=0 B.2x-y-5=0 C. 2x+y+5=0 D. 2x+y-5=0 6. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（ ） A.x=0 B.y=0 C.x=2 D.y=2 7. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（ ） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=0 8. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分且必要条件 D.非充分非必要条件 9. 直线3x-y+2 1=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（ ） A.平行 B.重合 C.相交不垂直 D.相交且垂直 10.下列命题错误．． 的是（ ） A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直 B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数 C. 两条平行直线的倾斜角相等 D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合 11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（ ） A. 2x+y+2=0 B. 2x-y-2=0 C. 2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 12. 直线ax+y-3=0与直线y=2 1x-1垂直，则a=（ ） A.2 B.-2 C. 21 D. 2 1- 13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（ ） A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 课时作业23 圆的一般方程 (限时：10分钟) 1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为2 2，则a 的值为( ) A ．－2或2 或32 C ．2或0 D ．－2或0 解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(1,2)，圆心到 直线的距离|1－2＋a |12＋－1 2＝22，解得a ＝0或2. 答案：C 2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：圆心为? ?? ??a ，－32b ，则有a <0，b >0.直线x ＋ay ＋b ＝0变为y ＝－1a x －b a .由于斜率－1a >0，在y 轴上截距－b a >0，故直线不经过第四象限． 答案：D 3．直线y ＝2x ＋b 恰好平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则b 的值为 ( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．1 解析：由题意可知，直线y ＝2x ＋b 过圆心(－1,2)， ∴2＝2×(－1)＋b ，b ＝4. 答案：C 4．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程为________，最短的弦所在的直线方程是________． 解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M 的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM 垂直的弦．易求出圆心为C (4,1)， k CM ＝1－04－3＝1，∴最短的弦所在的直线的斜率为－1，由点斜式，分 别得到方程：y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0. 答案：x－y－3＝0x＋y－3＝0 5．求经过两点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心在直线2x＋y－5＝0上的圆的方程． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为? ? ? ? ? － D 2，－ E 2， 由题意得 ?? ? ??42＋72＋4D＋7E＋F＝0， －32＋62－3D＋6E＋F＝0， 2· ? ? ? ? ? － D 2＋? ? ? ? ? － E 2－5＝0. 即 ?? ? ??4D＋7E＋F＝－65， 3D－6E－F＝45， 2D＋E＝－10， 解得 ?? ? ??D＝－2， E＝－6， F＝－15. 所以，所求的圆的方程为x2＋y2－2x－6y－15＝0. (限时：30分钟) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为() A．(2，－3)；16B．(－2,3)；4 C．(4，－6)；16 D．(2，－3)；4 解析：配方，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以，圆心为(－2,3)，半径为4. 答案：B 2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是() 一、单选题 2．圆心是()3,4C -，半径是5的圆的方程为（ ） A ．()223(4)5x y -++= B ．()223(4)25x y -++= C ．()223(4)5x y ++-= D ．()223(4)25x y ++-= 3．圆心为()1,2-，半径为3的圆的方程是（ ） A ．()()22129x y ++-= B ．()()22123x y -++= C ．()()22123x y ++-= D ．()()22129x y -++= 6．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（ ） A ．()()22125x y -+-= B ．()()221225x y -+-= C ．()2255x y -+= D ．()2 2525x y -+= 7．圆2221x y y ++=的半径为( ) A ．1 B C ．2 D ．4 8．已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( ) A ．()()2234100x y -++= B ．()()2234100x y ++-= C ．()()223425x y -+-= D ．()()22 +3425x y +-= 4．圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( ) A ．22(1)1x y -+= B ．22(1)1x y ++= C ．22(1)1y x +-= D ．22(1)1x y ++= 1．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的标准方程为（ ） A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22(2)(2)1x y -++= D ．22(1)(2)1x y ++-= 5．圆()()22141x y +--=关于直线y x =称的圆是（ ） A ．()()22141x y --+= B ．()()22411x y --+= C ．()()22411x y +--= D ．()()22141x y ---= 9．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．2 27(3)13x y ??-+-= ??? C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ??-+-= ??? 10．已知圆C 与圆()2211x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为（ ） 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一.椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 ( ）的 点的轨迹叫做椭圆,用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质 椭圆的图象和性质 数学定义式 ｜M Ｆ1|+｜ＭF 2|=2a 焦点位置 x 轴 y 轴 图形 标准方程 焦点坐标 焦距 顶点坐标 a ， ｂ, c 的关系式 长、短轴 长轴长=2a , 短轴长＝２b 对称轴 两坐标轴 离心率 a c e = = （ 0 < ｅ ＜ 1) 椭圆方程的总形式为 ［经典例题］： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B,C 是两个定点，｜ＢC|=6,且ABC ?的周长等于１6,求顶点Ａ的轨迹方程 已知F 1, F ２是定点,| F 1 F 2|＝８, 动点M 满足|Ｍ F １|+|Ｍ Ｆ2|=8，则点M 的轨迹是 (A ）椭圆 （B ）直线 (C ）圆 (Ｄ）线段 y x o y x o 例2．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是（-4,0)、（4,0）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于1０； ⑵两个焦点坐标分别是(0,－２)和（0,2）且过（23-，2 5） 例３ 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(３,0)，椭圆经过点(5,０）. （2)两个焦点坐标分别是(０,5),(0，-５),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例４ 已知椭圆经过两点()5,3()2 5 ,23与-,求椭圆的标准方程 例５ 1．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍,则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3．若椭圆的两个焦点F １、Ｆ2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形,则椭圆的离心率为 ; [典型练习]： 1 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5,则P 到另一个焦点的距离为（ ) Ａ.5 Ｂ.６ Ｃ.4 D.１０ ２.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是( ） A ．（±５,0） B ．(0，±5） C.(0,±12) D.（±１2，0) ３.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上,则其焦距为( ) A.228m - B.2m -22 C.28 2-m D.222-m 圆的标准方程与一般方程(二) 教学目标：了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等），掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化；2010年考试说明要求为C 级。 知识点回顾： 1．圆的方程求法：（1）待定系数法；（2）几何法。 2. 点与圆的位置关系：设圆C ∶222()()x a y b r -+-=点M 00(,)x y 到圆心的距离为d ，则有： (1)d ＞r 点M 在圆外；(2)d=r 点M 在圆上；(3)d ＜r 点M 在圆内． 基础训练： 1.过点P （-2，2），圆心是C （3，0）的圆方程为_________________ 2.与两坐标轴都相切，且圆心在直线 2x-3y+5=0上的圆方程为_________________ 3.经过点A(3，5)和B （-3，7），且圆心在x 轴上的圆方程为_________________ 4.经过三点A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)的圆方程为________________ 5.已知圆0sin sin 2cos 22222=---+θθθa ay ax y x 截x 轴所得弦长为16，则a 的值是 典型例题： 若直线的取值范围数恰有一个公共点，求实与曲线b y x b x y 21-=+=。 （09年江苏改编）已知圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(4)(4)4C x y -+-=.(1) 若直线l 过点 (4,1)A -，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；(2) 是否存在一个定点P ，使过P 点有无数条直线l 与圆1C 和圆2C 都相交，且l 被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 17、已知以点P 为圆心的圆过点A （－1,0）和B （3,4）,线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 、 D ，且|CD|=求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程；（3）设点Q 在圆P 上，试探究使△QAB 的面积为8的点Q 共有几个？证明你的结论. 检测与反馈： 1.已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则b=_______ 2.过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准方程为_____________ 3.已知点P(1，1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围_____________ 4.已知m n s t *∈、、、R ，2m n +=，9m n s t +=其中m n 、是常数，且s t +的最小值是49 ，满足 圆的方程专项测试题 一、选择题 1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( ) ＜a ＜7 ＜a ＜4 ＜a ＜3 ＜a ＜19 2.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) 个 个 个 个 3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1) D.(2 +2，2-3) 4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A. 2 2 B .1 C.2 5．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ） A ．2 1± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或- 6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) B.4 2 2 7．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=2 9.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1 B.｜a ｜＜ 5 1 C.｜a ｜＜ 12 1 D.｜a ｜＜ 13 1 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) =0，且A=C≠0 =1且D 2+E 2-4AF ＞0 =0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 =0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.( 3 14 ，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1) 12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) 5 1 ＜k ＜-1 5 1 ＜k ＜1 高中数学-圆的标准方程测试题 自我小测 1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 2．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的最大距离为( ) B ． C ． D ． 3．从点P(3，b)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1作切线，则切线长的最小值为( ) Ａ.5 B ．4 C ．5.5 D ．2 6 4．过点(－2,0)且倾斜角为45°的直线l 被圆x 2＋y 2＝5截得的弦长|MN|为( ) B ．3 C ． D ．6 5．经过原点的直线l 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝4有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A.[,33? -??? C ．( D.,?-∞???∪?+∞???? 6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2 ＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是__________． 7．过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为__________． 8．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程． 9．已知△ABC 的三个顶点A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆的方程． 10．有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地距离10千米，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 精心整理 直线与圆的方程练习题 1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是() A 、(1,－1) B 、(21,－1) C 、(－1,2) D 、(－2 1,－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（） A ．(x －3)2+(y+1)2=4 B ．(x －1)2+(y －1)2=4 C ．(x+3)2+(y －1)2=4 D ．(x+1)2+(y+1)2=4 3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（） A 、以 4．两圆A ．5．方程 A ． 41<6．圆x 27．圆O 1D ．内 切 8．圆x 22D ．1 9．±2 D ．±4 10．当程为( A ．4y ＝0 11．设P ( ) A ．12．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2 ，)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．B ．C ． D ． 13.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0 14．圆22220x y x y +-+=的周长是（）A ． B ．2π C D ．4π 15．若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有（） A 、ac>0,bc>0 B 、ac>0,bc<0 C 、ac<0,bc>0 D 、ac<0,bc<0 16．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2 －2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（）(完整版)高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练).doc
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